Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Достаточно будет подробно рассмотреть первый ряд. Имеем (г — п) (г-(- л -1- 1), (г+и) (г — л-1-2) (а+и+1) (г+л+3) 1 ° 2 3 ° 4 (- — ")(-"+-"+-.) 1 1 °вЂ” 2 (2 — И2 --"+')(-+-" 2И2 + -л+-+') 1 3 1 ° 2 ° — °вЂ” 2 2 338) ОТСУТСТВИЕ ИСТОЧНИКОВ В ПОЛЮСАХ что представляет стандартный вид (8) $ 336: +аЬ+ а(а+ !) Ь(Ь+1) + сл с (с+ 1) л (л'+ 1) прн 1 ! а= — г — — л, 2 2 Н = —. ! 2' 1 1 1 Ь = — г+ — в+в 2 2 2' с=!, значением а+ Ь вЂ” с — с(, коразложении бинома дает для Степень расходнмости определяется торое алесь равно г — 1. С другой стороны, теорема о разложения (1 — рв) "' 1 1 /! — г — г~ — г 1+ !р+ 2 2 12 ~!) ! это выражение имеет стандартный вид, если а = — г, с = 1 и 2 1 Ь= с(, что дает и+Ь вЂ” с — с(= — г — 1.
2 1 Так как г — 1 ) — г — 1, то оказывается, что ряды, входящие 2 в выражение функции ф„представляют собой бесконечности высшего порядка по сравнению с (1 — рэ) 'ь., а потому остаются бесконечнымн после умножения их на (1 — рэ)Ч»'. Следовательно, ф„не может быть конечным на обоих полюсах, если ни один иа рядов не обрывается, что возможно только тогда, когда л — г есть нуль илн целое положительное число. Если это целое число — четное, то нам следует еще положить В=О; если же оно нечетное, то нужно положить А = О для того, чтобы обеспечить конечное значение ф„на полюсах.
В обоих случаях выражению ф, для полной сферы можно придать вид: где А„постоянно по отношению к р и и, но как функция времени изменяется пропорционально ~)/л(в+1) а!+ Для большинства задач, однако, удобнее группировать вместе члены с одинаковыми л, а не члены с одинаковыми г. Так, для (8) где опущен постоянный множитель. Полное выражение для той части ф, которая содержит в качестве множителя соа га или з!и гм, имеет поэтому внд: 288 1гл. хтчп оэвгичвскив слои воздтхл любого значения и ф = ~~ чв — ' — '„(А, соз зм + В, з1 п зог), мч д Р„( ) (11) .уа где каждый коэффициент А, и В, можно рассматривать как содержащий временной множитель вида (10). В начале ф является произвольной функцией р и м, а потому любая такая функция может быть представлена в виде ф= ~ ~ чв — ' — '(А,соззоо+В, з1пзог), (!2) а э=о в=о что является разложением Лапласа по сферическим функциям двух переменных.
Из дифференциального уравнения (5), или из его общего решения (5), легко вывести, что ф, имеет тот же вид, что и дф„г7др„ так что мы можем написать фв (дэ) фо (где не предполагается никакой связи между произвольными постоянными) или, выражая через ф при помощи (7), ф =(1 р )л '(д ) ф .
! дчв в гдо) О (14) Уравнение (13) представляет обобщение свойства функций Лапласа, использованного в выражении (8). Соответствующие соотношения для плоской задачи можно вывести как прежде, приписывая бесконечное значение и, которое имеет произвольное значение в (13) и (14), и полагая ич = йг.
Так как рз+чв= 1, то р д)в, где фо РассматРиваетсЯ как фУнкциЯ от ч. В пРеделе 1в (хота и подлежащую дифференцированию) можно считать равной единице и, таким образом, положить ф.=( — 2! )( д ) ф. (15) Если полюс не есть источник, то ф, пропорциональна з„(йг).
Постоянный коэффициент, оставшийся в выражении (15) неопределенным, можно легко найти путем сравнения главных членов. Таким образом, мы найдем д чв !в(йг) =( — 2йг)в(д (йг)г) .7о(йг) (1б) т. е. хорошо известное свойство функции Бесселя '). г) Тоавппгег, !.ар!псе'з !'ииомоиз, й 390, 339) ДВУМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЙ Несомненно, гораздо легче иметь дело с колебаниями плоского слоя газа, чем с колебаниями слоя конечной кривизны, но я предпочел привести косвенный и прямой методы исследования ради самой сферической задачи и соответствующего разложения по функциям Лапласат), а также потому, что связь между функциями Бесселя и Лапласа, повидимому, не всегда понимается достаточно четко, Теперь же мы можем продолжать независимое исследование плоской задачи, 339.
Если в общем уравнении простых колебаний воздуха Чэф+дэф=О мы положим, что ф не зависит от л, и введем полярные координаты на плоскости, то получим (9 241) или, разлагая ф в ряд Фурье, ф = фо+ фг+ + ба+ (2) где ф„имеет вид А„сов л8+Ве в)п лб, дгв +г дг +( гз)ф" (3) Это уравнение имеет такой же вид, как и уравнение, с которым мы имели дело при исследовании круглых мембран (9 200); главное математическое различие между этими двумя задачами заключается з том, что в то время как в случае мембран условие, которому нужно удовлетворить на границе, есть ф = О, в данном случае нас скорее интересует граничное условие дф/дг = О, соответствующее ограничению газа жесткой цилиндрической оболочкой з).
Так как в полюсе нет источника, то решение уравнения (3) есть ф„= Аея (уаг), (4) и уравнение, определяющее возможные периоды колебаний внутри цилиндра радиуса г, имеет вид: е'„(уаг) = О. (Б) Наименьшие значения йг, удовлетворяющие (5), даны в приведенной на стр. 290 таблице 4), которая вычислена по таблицам Гансена для 4) Я в значительной мере пользовался книгой Не1пе, Оалдйисй 4(ег 7Талег~йпсг!олен; Вегйп, 1861 и статьями У. Томсона по теории приливов Лапласа; йг. Тйошвоп, Рйу! Маее том Ь, 1875.
в) Здесь я прибега4о к обычным обозначениям, но читатель поймет, что л соответствует з в предыдущих параграфах; и в функциях Лапласа теперь бесконечно. в) (Симметричные колебания внутри цилиндрической оболочки, соответствующие случаю л = О, были рассмотрены Люамелем (Рпйаше!, Ьгаио!!7е 1оги. Маей., том 14, стр. 69, 1849).) 4) «1Чо1ев оп Вевверв рппсйопвз, Рд«!. Мак., ноябрь 1872. 19 эаи !77в.
Рьлев, и 290 (гл. хшп севгичзскив слои воздгхл функций 1 при помощи соотношений, позволяющих выразить 1„ через уз и 1 . е (Для корней уравнения 1„(г) = 0 профессор Мак-Магон ') находит <е! е т+ 3 4 (7тв+ 82т — 9) 89' 3 (88')в 32 (83тв + 267 5 те — 3039т + 3527) 15 (88')в ( ) где т= 4ив и р'= — в(2и+4в+!). Можно убедиться, что при 4 и=О (6а) дает такой же результат, как (4) 9 206 при и=1, е в соответствии с тождеством 1е(я) = — 1,(в).! Частное решение можно написать в виде ф„=(А сов п8+В сйп п8)1м(йг) сов (еаГ+ +(Ссов и8+1) сйп п8)1„(йг) в(п паГ, (6) где А, В, С и О произвольны для всякого допустимого значения и и 7е.
Так же, как и в соответствующих задачах для сферы и круглой мембраны, сумма всех частных решений должна быть достаточно общей, чтобы представлять проиавольные значения ф и ф при Г= О. В качестве примера сложных колебаний мы можем предположить, так же как в 9 332, что начальное условие для газа определяется соотношением ф=О. ф=л=гсов8, При этих обстоятельствах выражение (6) приводится к виду: ф = Ат соз 91, ())аг) соз й,а Г+ Ав сов 81, (й. г) сов йваГ+..., (7) и если мы предположим„что радиус цилиндра равен единице, то допустимые значения 7е будут корнями уравнения У,(й)-о.
(8) г) МсМайоп, Аипаге оу Магдетаисе, том 1Х, № 1. 339! 29! СлучАЙ сложных кОлеБАниЙ откуда, так же, как в 9 332, А= (Ла — 1) У, (Д) Поэтому полное решение будет иметь вид'. (10) %х 2 созе./г(дг) ф= д„аэ ' сояяа(, (11) где суммирование распространяется на все значения я, определяемые уравнением (8). Если мы положим 1= О и г = 1, то из (9) и (10) получим ~дэ 1=' (12) — уравнение, которое может быть проверено численно или аналитическим методом, подобным тому, который мы применили в случае уравнения (14) 9 332. Мы можем докааать, что ! и У* (г) = сопя! + «„1п 1! — Л,.-1, откуда после дифференцирования ,г, (а) 2з — = — Х-. У() л — г Отсюда мы можем получить (12), полагая г=! и приняв ао внимание основное дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция у„; это показывает, что ,г," (1) 1 У, (1) (Более обще, при,/, ((е) = О, 2п А(о сих пор мы предполагали цилиндр полным, так что ф повторяется после каждого оборота, что требует, чтобы а бы.чо целым числом; если же вместо полного цилиндра мы возьмем сектор, заключенный между В = 0 и В = р, то вообще будут иметь место дробные значения а.
Так как дф/дВ исчезает на обоих границах В, то ф должно иметь вид: ф= А соя(йа!+з) созда„(!Ег), (13) 19э Условием для определения коэффициентов А будет то, что для всех значений г, от г = 0 до г = 1, г= А У (й,г)+Азу(дэг)+ ° ° ° (9) сеиричзскив слои воздэхл (гл. тщп где л = эк1р и р — целое число. Если р в целое число раз меньше к (или равно к), то полное решение содержит только целые значения и, как и можно было предвидеть заранее; но вообще необходимо ввести функции дробного порядка.
Интересный пример представляет случай р=2к, соответствующий цилиндру, пересеченному 'жесткой стенкой, распространяющейся от центра до периферии (ср. й 207). Действие стенки заключается в том, что она создает возможность существования разности давлений по обе стороны от нее; если же такой разности нет, то стенку можно убрать, и получающиеся колебания не отличаются от колебаний, рассмотренных в теории полного цилиндра.
Такое положение вещей получается при р четном. Если же э — не- 11 четное, то п имеет вид (целое число + †), и давление по обе 2)' стороны стенки различно. В последнем случае можно выразить У„ в конечном виде. Основной тон получается, если положить э = 1, 1 или п = — когда 2' ф = А соя(йа1+е) ° соз — 0 (14) 2 г'Ь' и допустимые значения й являются корнями уравнения 1йй = 2Й. Первый корень (после нуля) есть й= 1,1655, что соответствует тону, значительно более низкому, чем любой тон, который возможен для полного цилиндра.
Предыдущий анализ имеет интересное приложение к математически аналогичной задаче о колебаниях воды в цилиндрическом сосуде одинаковой повсюду глубины. Читатель может обратиться к статье о волнах, помещенной автором в Р1гг!озорИ(са1 Мапаггпе в апреле 1876 г. и к статьям профессора Гэтри (Оп1Иг(е), иа которые там делается ссылка. Наблюдение периодов очень просто, и таким путем можно получить экспериментальное решение задач, теоретическое исследование которых выходит далеко за пределы мощности известных методов. 340. Возвращаясь к полному цилиндру, предположим, что он ограничен жесткими поперечными стенками на высотах а=О и и отбросим ограничение, состоящее в том, что движение должно быть одинаковым во всех поперечных сечениях.
Общее дифференциальное уравнение (й 241) есть 8ЬР 1 аФ 1 аэ) Ээ) Разложим ф по теореме Фурье в ряд: =Нз+Нгсоз 1+Насев 1 +... +Нрсоз(р 1)+..., (2) где коэффициенты Н могут быть функциями г и 0. Такой вид обеспечивает выполнение граничных условий при г = О, г = 1 и 233 3411 овщяе Решение каждый член должен независимо удовлетворять дифференциальному уравнению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
