Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 68
Текст из файла (страница 68)
равенство потока не предполагает равенства средних скоростей, так как рассматриваемые площади различны. Средние скорости будут обратно пропорциональны соответствующим площадям, т. е. будут находиться в отношении 7: (а+а'), если через е' обозначить площадь непробитой каналами части стены, соответствующей каждому каналу.
В силу (1) и (6), связь между движением внутрь и наружу выражается в виде 322 [гу, х~х тРвниз и тзплопРОводность В случае, когда действуют диссипативные силы, этому условию всегда можно удовлетворить, полагая каналы достаточно длинными. Необходимая длина канала или толщина стены будет зависеть от свойств газа и от размеров и формы каналов. Отражение, даже при отсутствии диссипативных сил, должно происходить, за исключением крайнего случая у=0. Полагая в (8) й=!зе, имеем В= —,— К 2-,'- Р 1 Если я=1, т. е.
если вырезана половина стены, то В= —, а 1 Ва = —, так что отражение мало. Если каналы — круглого сечения и расположены в виде квадратной сетки насколько возможно близко один к другому, то д=(4 — и)/в, откуда В = 0,121, а ВЯ= 0,015, и почти все движение проходит насквозь. Если каналы имеют круговое сечение и настолько малы, что величиной пгв!ч можно пренебречь, то мы имеем из (24) $350 — вв= тз= —, 84~л'а Ьзгз ' (10) так что (21) волна, распространяющаяся внутрь канала, пропорциональна е""* з! п1пг+ швх+3у), (1 1) где л 2 У"рЛт 2 У!1~'уд ш =гл Ьг аг 0,00115 гв лу У Г (13) так что при г= 0,001 см, а 1,15.
В этом случае амплитуда уменьшается в отношении е: 1 после прохождения расстояния 1/ш', т. е. около 1 см. Расстояние, на которое проникает звук, пропорционально радиусу канала. Амплитуда отраженной волны, в силу (8)„ равна: В ~' (1 хр А') (1 — 0 — ло л" (1+ ~) (1 — 0 + Ль ' а у — отношение удельных теплот Я 246). В качестве числового примера предположим, что высота звука равна 256, так что и = 2п 256. Значение р' для воздуха равно 0,16 единиц СОЯ, а значение ъ равно 0,256.
Если положить г= 0,001 см, то найдем, что пгз/8у равно примерно 0,001. Если бы г было в 10 раз больше, то приближение, принятое в (10), было бы, пожалуй, еще достаточным. Из (!2), в случае, если и = 2г. ° 256, 323 35!1 гвзонлнс в вдлниях илн, как мы можем написать, М вЂ” ! — 1М в= —— М+! — ГМ ' (14) гле М-(1+8) — '. ло (15) Если обозначить интенсивность отраженного звука через !, а интен- сивность падающего звука принять за единицу, то 2Мв — 2М+ 1 2Ма ! 2М+ 1' (16) Интенсивность звука, вошедшего внутрь стены, определится соот- ношением 4М 2Мэ-(-2М -(- 1' (17) В силу (12) и (15), М 2 (! + Л) )г ~'т г )'л (18) л ~ +т'(! — 0 ~ (19) Это значение следует подставить в (8).
Если ради простоты мы положим д= О, то найдем т'(! — 0 (20) лы 4гвл' (21) Если предположить, что г=0,001 сж и у=1, то мы должны име гь стену достаточно плотной структуры. В этом случае, в силу (18), М =47,4 и 1 — 7=0,0412. Потеря 4е!е может показаться незначительной; однако нужно вспомнить, что при продолжительном резонансе мы имеем дело с накоплением эффекта от большого числа отражений, так что сравнительно малая потеря при одном отражении может оказаться существенной.
Толщина пористого слоя, необходимая для того, чтобы вызвать такой эффект, меньше 1 слг. Допустим опять, что г = 0,01 см, д = 1. Находим М = 4,74, 1 — 7= 0,342, и необходимая толщина должна быть меньше 10 см. Если г значительно больше 0,01 см, то теплообмен между воздухом и стенками канала уже недостаточно свободен, чтобы можно было пользоваться выражением (24) $ 350. Если диаметр настолько велик, что тепловые и вязкостные эффекты проявляются в пределах лишь небольшой его части, то мы имеем случай, рассмотренный Кирхгоффом [(15) э 3501. Здесь 324 ТРение и теплопРОВОдность (гл. х!х Однако условие е =0 несовместимо с круговым сечением; поэтому предпочтительнее пользоваться решением, соответствующим выражению (27) 8 350, и применимым в случае, когда каналы имеют вид узких щелей').
Нам следует просто заменить г в (19), (20) и (21) через 2у,, где 2у,— ширина щели. Падающий звук поглощается все более и более полно по мере возрастания ширины канала; но в то же самое время становится необходимой большая длина канала или ббльшая толщина стены для того, чтобы предотвратить возврат звука от задней стороны. Если д= — О, то теоретически нет предела поглощению; и, как чы видели, не очень большое значение а само по себе может обусловить лишь сравнительно малое отражение. Слабо сбитый стог соломы, повидимому, является настолько же хорошим поглошателем звука, как и любой другой подобный предмет.
В обширных помещениях, ограниченных непористыми стенами, потолком и полом и имеющих мало окон, продолжительный резонанс, повидимому, неизбежен. Заглушающее влияние толстых ковров в подобных случаях хорошо известно. Применение подобного материала для стен и потолка, повидимому, представляет наилучший путь к дальнейшему усовершенствованию. 352. Одним из наиболее любопытных следствий вязкости является образование в некоторых случаях правильных вихрей. Один из таких примеров, открытый Дворжаком, уже был упомянут в ф 250.
В идеальной невязкой жидкости подобное явление не могло бы возникнуть Я 240), и даже если жидкость обладает вязкостью, это— явление второго порядка, т. е. определяется квадраглом смещений. Три задачи подобного рода были рассмотрены автором в) в другом месте, но здесь мы должны ограничиться явлением Дворжака и упростить вопрос, ограничиваясь двумерным случаем и пренебрегая членами, зависящими от образования тепла и от теплопроводности. Если предположить, что р = авр и вместо 1п — писать в, то во основные уравнения (12) ф 345 будут иметь вид: дв ди ди ди, „д !ди дп1 аз — = — — — и — — Π— +!ь' тзи+пч — ( — + — !, (1) дх д! дх ду ' дх (,дх ду) ' с соответствующим уравнением для О и уравнением непрерывности 8 238 ди до дв дв дв — + — + —, + и — + п — = О.
дх ду д! дх ду (2) г) Следует заметить, что даже в случае двумерной ввдачн допущение и = 0 предполагает бесконечную тепвоемкость материала, составляющего поры. в) «Оп !Ье С1гсп!айоп о! А!т ОЬветтеб !и Кппб!'в ТпЬев, впд оп воще а!!!ед Асопв!!св! Ртов!ешв», РЬГЬ Тгаив„том 175, стр. 1, 1883, 3521 325 двгмкгнык гглвнкния Каковы бы ни были действительные значения и и о, мы можем написать дг д' о= — — — р ду дх' ду дф и= — + —, дх ду' (3) где Чзф = — +— ди до ду дх дп дп Чф= — + —, дх ду' Из (1) и (2) (' и) = и дтдг дп а + рп — ~ — ' = — — + р'Чзи— дт/дх дс ди дп „д ( дг дг'~ — — — — — р" — (~ — +.— (.
дх ду дх х дх дуу' ( я и да де до а +р. — ) — = +р Чяп дг) ду дГ дп до и д Г дг дг~ — и — — о — — рп — (и — + о — ~. дх дУ ду (, дх ' ду!' (4) (5) (6) Далее, из (5) и (6) ( ) ,д пдт дтг а +р — + р — 1Ч'г — — = дт дГ / дтя (7) В первом приближении члены второго порядка по и, о, г следует опустить, Если предположить, что все периодические функции, как функции от Г, пропорциональны еьм и писать а вместо аз + (ир' + + 1ар", то уравнение (7) принимает вид: ЧЧвг+ из. = О. (8) Но, в силу (2) и (4), Чаю= — Гиг=-1 ~ Чзг, так что (9) тп дг дф о= — — — —— и ду дх' (10) (р'ЧЯ вЂ” Ги) — = О, дф дх т) здесь нет необходимости добавлять дополнительную функцию т', удовлетворяющую уравненвю Чзт' = О, так как соответствующее движение можно рассматривать как выражающееся целиком функцией ф.
ау дг дф и — — + —, и дх ' ду' Подставляя в (5) и (6) и получаем, учитывая (8), (р,'Чз — (и) — О, дф ду опуская члены второго порядка, 326 (гл, х~х тгвнив и твплопвоводность откуда ( — — й )е=0, где Й"'=Йя — лв/и, и (да й.а)ф 0 (13) (14) где й' =-Йа+гл)и'. Если начало отсчета у-ов поместить посредине между двумя параллельными граничными плоскостями, то е должна быть четной функцией от у, а ф должна быть нечетной функцией.
Таким образом, можно написать е = А сй й"у ° еом ° е'ь*, ф = В эп й'у ° еом ° е'"*, (15) и = ( — — ~ А ой й"у+Й'Вс)1Й'у) еще еш", л т йи о = ( ~ ° А зй Йиу — 1ЙВ аЬ й'у) есм ° е'"'. ~ л (16) Если неподвижные стенки расположены у у= ~уо то и и о должны обращаться в нуль прн этих значениях у. Исключая из (16) отношение А к В, получаем для определения Й уравнение Йв.(й Й'у, = й Йи 13 Й"у„ где й' и й" — функции от й, определенные выше.
Уравнение (17) можно рассматривать как видоизмененную и упрощенную форму уравнения (11) й 350, видоизмененную ввиду перехода от осевой симметрии к двум намерениям, а упрогценную — вследствие отбрасывания членов, обусловленных теплопроводностью и представленных через ч. Сравнение легко произвести. Так как Йэ = со, то третий член в (11), содержащий ()я, совсем исчезает, и тогда Х, 1 выделяется. В уравнениях (1 1) и (1 2) г следует заменить через у, а ев — через косинус, как уже было объяснено.
Далее, тэ= — Йэ, й =1л. Введем теперь дальнейшие приближения, зависящие от допущения, что непосредственное влияние вязкости распространяется Ь'ЧЯ вЂ” гл)ф=о (11) Если исключить е непосредственно из уравнений (1), то получим = — (оЧэф) + — (иЧзф) = ~ — + — ) Чэф+ и — + о — ' . (12) д э д, I ди дот до ф дт ду ' дх ~дх ду) дх ду ' Если теперь мы предположим, что, как функции от х, величины е, ф и т. д, пропорциональны е'аи, то уравнения (8) и (11) можно написать в виде 352! движзнив мвждт пюлллзльнымн станками 327 на слой, толщина которого представляет только небольшую часть у,. В этом случае йз аз/аз, так что й'у1 есть малая величина, а й'у,— величина большая, н мы можем положить 13 й'у, = 1, [й й"у, = й"у,.
Соотношение (17) тогда принимает вид: йз й,й~,г (18) или, если подставить значения й' и й" из (13) и (14), то йз=у,(й — — "')(й+'") . Таким образом, приближенно 2у| ~~ (19) в согласии с уже указанным в $350 результатом. Беря приближенную форму уравнений (16), мы должны указать, какую половину симметричного движения мы рассматриваем. Если мы выберем ту половину, для которой у олгрииаглельио, то мы заменим си й'у и зп й'у череа — е "Я. Вместо си й у мы можем писать 1 и 2 единицу, а вместо зЬй"у — просто й'у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
