Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Широкий класс явлений, не только интересных самих по себе, но и проливающих свет на другие, еще более темные явления, получает объяснение в связи с изменениями, которые претерпевает цилиндрическое жидкое тело, медленно смещенное из положения равновесия и затем отпущенное„ Такой цилиндр образуется при истечении жидкости под давлением сквозь круглое отверстие по крайней мере в случае, когда можно пренебречь силой тяжести; при этом поведение струи, изученное экспериментально Саваром, Магнусом, Плато и другими, практически независимо от общего движения вперед всех частей ее.
Во избежание повторений и для того, чтобы вести изложение в соответствии с общим характером настоящего труда, мы начнем исследование с теории бесконечного жидкого цилиндра, рассматриваемого как система, находящаяся в равновесии под действием силы капиллярности. Большинство экспериментальных результатов легко будет связать с решением этой механической задачи. В цилиндрических координатах г, г, э уравнение слегка возмущенной поверхности можно написать в виде где Ду, я) — всегда малая величина. По теореме Фурье произвольная функция 7' может быть разложена в ряд, состоящий из членов вида а„соз ау соз Йя; и, как мы увидим из дальнейшего исследования, каждый из этих членов можно рассматривать независимо от других.
Каждый косинус можно заменить синусом; суммирование распространяется на все положительные значения и и на все целые положительные значения и, включая нуль. Величина аз не остается абсолютно постоянной во время движения; ее значение должно определяться условием неизменности заключенного в цилиндре обвема. Для поверхности г = аз+ «„соз и'р соэ лз находим объем = — ~ ~ г ггргЬ=г(паз+ — и«„)' 2 г) «Оп Ше гогш о1 81апщпя 97ачеа оп Ше Зпг1асе о1 Кппп!пя %а1ег«, Ргос. Лола. Л1агв. Кос., том Х'ч стр. 69, 1888.
(гл. хх 342 капиллягность таким образом, если обозначить через а радиус сечения невозмущенного цилиндра, то 2 2 1 а п = не+ — ая откуда приближенно лз = л (1 — 1 —,) . (3) Это соотношение хорошо удовлетворяется при а = 1, 2, 3, ... При а= О формула (2) дает вместо (3) 1 аох ле = в(1 — — — ).
4 азг" (4) Потенциальная энергия системы в любой конфигурации, создаваемая силой капиллярности, просто пропорциональна поверхности. В выражении (2) 2 поверхность= ~ ~ ( +(д ) +( д ) ) гдедл= э з 1 2 я = в ~2яаз + — пй а„а+ — пл — ~, 4 " 4 ' а так что в силу (3), обозначая через а поверхность, соответствую- щую в среднем единице длины, а = 2яа + — я((зэав+ лв — 1) — "-. Следовательно, потенциальная энергия, связанная с силой капиллярности, определенная на единицу длины из равновесной конфигурации, есть (б) 2 4 ( + (6) в соответствии с г = аз+ "о соз лл.
(9) Из соотношения (6) следует, что когда и равно единице, или какому-нибудь большему целому числу, то Р имеет положительное значение, что показывает, что при всех смещениях такого рода где Т, как обычно, обозначает поверхностное натяжение. В выражении (6) предполагается, что ни Й, ни п не равны нулю. Если л = О, то нужно удвоить (6), чтобы получить потенциальную энергию, соответствующую г = 0„+ ач соз п<~, (7) а если и = О, то нужно положить 1 а, Р= 2 Т(вал — 1)— (8) 857] ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ Если плотность есть р, то кинетическая энергия движения, в силу теоремы Грина (2) 2 242, равна — р ) ) [ф — 1 аг(фг(з = — ярз ° йа °,У„(йа)(,,(!Иа) ° р„; так что, если обозначить через К кинетическую энергию на еди- ницу длины, то, в силу (12), При и =0 вместо (13) следует принять 2 Иааф га(йа) дГ (13) (14) начальное полом~ение равновесия является устойчивым, Лля сл1ччя смещений, симметричных относительно оси (и = О), из (8) мы виаим, что равновесие устойчиво нли неустойчиво в вависимости от того, будет ли ага больше или меньше единицы, т.
е. в зависимости от того, будет ли длина волны (2яй) симметричной деформации меньше нли больше окружности цилиндра, †положен, впервые установленное Плато. Если выражение (2) для г содержит несколько членов с равличными значениями и и Й и с произвольной заменой косинусов на синусы, то соответствующее выражение для Р находится путем простого сложения выражений, соответствующих отдельным компонентам, и содержит только квадраты величин а (но не произведения их). Нам нужно теперь рассмотреть кинетическую энергию движе- ния. Поскольку жидкость предполагается невязкой, существует потенциал скоростей ф, который уловлетворяет чравнению Лапласа в силу несжимаемости жидкости. Так, 1(4) э 241), дгф 1 дф 1 дзф дзф — + — — + — — +- — =О, дгз г дг гз дтз дзд или, если для получения соответствия с (2) мы предположим, что переменная часть пропорциональна сов ар соя дз, то д ф+ 1 д — ( — "+И)ф=О.
(10) Решение уравнения (10) при условии, что пет притока и оттока жидкости вдоль оси симметрии, имеет вид (э 200): ф = 3„У (йг) соз пф соз 1гг. (11) Постоянную ~3„ следует определить ив условия, что радиальная скорость при г = а совпадает со скоростью, предпочагаемоя в выра- жении (2). Таким образом, й8„,/„(й~) = — "- . (12) (гл. хх 344 клпилляггюсть Наиболее общее значение К получается из частных значений, определяемых выражениями (13) и (14), простым сложением. Поскольку выражения для Р и К содержат только квадраты, а не произведения величин а, да/дс и соответствующие величины, в которых косинусы заменены синусами, то отсюда следует, что движения, выражаемые соотношением (2), происходят совершенно независимо друг от друга, пока смешение в целом мало. Для свободного движения получаем методом Лагранжа из (6) и (!3) дса„Т Теа ° У„'(Теа) — "+ — " (ив+/сзаз — 1) а О, д~з раз У (Иа) ч что без всяких изменений примениью и к случаю и=О.
Таким образом, если а„изменяется пропорционально соз(рс — з), то Т Таа У„(Таа) рв — ч (ив+ ьзаз 1) 1) ра' .~„(аа) (15) (16) или, если совершенно пренебречь /га, то получим двумерную формулу: рв = (из — и) —. Т (19) раз' При и 1 нет восстанавливающей силы при чисто двумерном смешении. Если обозначить через Х длину волны, измеренную по окружности, то Х=2ха/п.
Таким образом, в (!9) при бесконечных п и а а Т (~~) (20) в согласии с теорией капиллярных волн на плоской поверхности. Сравните с (7) 9 353. Аналогичное заключение можно вывести, рассматривая волны, длина которых измеряется по оси. Так, если Х=2к/й и а=со, ') Ргос. Роу. Босо том ХХ1Х, сгр. 94, 1879. определяет частоту колебаний в случаях устойчивости. Если и= О, а йа с.
1, то решение меняет свой вид. Если предположить, что аз изменяется пропорционально е* ас, то т гл у,'(гла) 4з — (1 — пзаз). раз оо (Теа) Когда п больше единицы, то условия обычно таковы, что движение приближенно происходит только в двух измерениях. Тогда мы можем с успехом предположить в (16), что /га мало. Таким путем получим [(б) 9 200) рв= п(ив — 1+Реваз) — "1 + " ", (18) раз [ п(2и+2)) ' 345 358! НАВЛЮДВНИЯ БИДОНА И МАГНУСА а=-0, то (!6) приводится к (20) в силу соотношения (Я 302, 350) г4 (гл) Бш =П го (гя) 358. Много лет назад Бидон (ВЫопе) экспериментально исследовал поведение водяных струй, вытекающих под большим давлением горизонтально из отверстий в тонких пластинках, Если отверстие †кругл, то сечение струи, хотя и уменьшается по площади, но сохраняет круговую форму. Но если отверстие не круглое, то происходят любопытные трансформации.
Особенности отверстия усиливаются в струе, но в обращенном виде. Так, в случае эллиптического отверстия с горизонтальной большой осью сечения струи с увеличением расстояния от отверстия постепенно теряют эллиптическую форму, пока, наконец, на известном расстоянии не принимают круговую форму. Еще дальше от отверстия сечения снова принимают форму эллипса, но уже с вертикально расположенной большой осью, эллнптичность (в условиях, при которых производились эксперименты Бидона) усиливается, пока в конце концов струя не превращается в плоский слой, расположенный в вертикальной плоскости — очень широкий и тогпсий.
Этот слой сохраняет непрерывность на значительном расстоянии (например, шесть футов) от отверстия и, наконец, в него проникает воздух. Если отверстие имеет форму равностороннего треугольника, то струя расслаивается на три слоя, симметрично расположенных вокруг оси, причем так, что плоскости слоев перпендикулярны к сторонам отверстия; подобным же образом, если отверстие представляет собой правильный многоугольник с любым числом сторон, то образуется соответствующее число слоев, перпендикулярных к сторонам многоугольника. Бидон об.ьясняет образование этих слоев, пользуясь более простыми случаями встречи потоков. Так, одинаковые струи, движущиеся вдоль одной и той же прямой с равными и противоположно направленными скоростями, сплющиваются в диск, расположенный в перпендикулярной плоскости.
Если оси струй пересекаются под углом, то образуется симметричный слой в плоскости, перпендикулярной плоскости встречи струй. Поведение тех частей сгруи, которые истекают из внешних частей одного и того же несимметричного отверстия, рассматривается им как в некотором отношении аналогичное поведению независимых пересекающихся струй.
Во многих случаях, в особенности при малых отверстиях и низких давлениях, расширение слоев достигает предела. Сечения струи на еще ббльших расстояниях от отверстия обнаруживают постепенное слияние слоев, пока струя снова не принимает компактной формы, похожей на форму струи в месте первого сжатия. За этой точкой, если струя сохраняет когерентность, слои посте- (гл. хх 346 капиллягность пенно вновь выступают, но в направлениях, делящих пополам углы между направлениями прежних слоев.
Зтн слои в свою очередь могут достигнуть предела развития, снова сжаться и т. д. Магнус тщательно изучил и изобразил те формы, которые принимает струя в случаях отверстий различной формы, включая прямоугольник, равносторонний треугольник и квадрат. Явления этого рода встречаются на каждом шагу; их можно обычно наблюдать, когда жидкость выливается через край сосуда, расположенного на небольшой высоте. Как предположили впервые Магнус ') и Буфф э), причину сжатия слоев после их первоначального развития следует искать в капиллярной силе, благодаря которой жидкость ведет себя так, как будто бы она заключена в оболочку с постоянным натяжением; а повторяющаяся форма струи создается колебацишяи столба жидкости около круговой равновесной конфигурации, налагающимися на общее движение текущей жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
