Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Если о — скорость струи, а т — период колебания, то цилиндрический столб жидкости, вытекающей из кругового отверстия, подвергается возмущению с длиной волны л, равной от. Если эта длина волны превосходит длину окружности отверстия 2яа, то возмущение нарастает экспоненциально, пока, наконец, столб жидкости не разбивается на отдельные массы, разделенные одинаковыми промежутками ) и проходящие через фиксированную точку со скоростью о и частотой 1/т. Хотя никакое правильное колебание не имеет доступа к отверстию, все же неустойчивость не может исчезнуть, и случайные возмущения сложного характера будут приводить к разбиению струи. Удобно исследовать в первую ') <Оп 1йе Тепа1оп о1 йесеайу Еогшев 1.!ппЫ 3ш1асезэ, Ргос.
Роу. 3ос., том Х1.Ч11, стр. 281, 1880. [гл. хх 350 капиллягность очередь несколько детальнее теорию для случая, когда п = 0 в выражениях (16) и (17) 2 357, а затем рассмотреть ее применение к удивительным явлениям, описанным Саваром и в значительной степени объясненным Плато. Если ула = « н если ввести обозначения, принятые в 6 22!а, то выражение (17) 9 357 примет вид: 7 ' (е) !уз = — — — — (1 — «Я). еа» 7»!«) Т ьа Ч = з— Гал 2' так что г) опять мало.
Для некоторого значения «, заключенного между 0 и 1, д имеет максимум, и исследование этого значения очень важно, потому что, как уже было показано в 9 87, н.устойчивое равновесие устраняется преимущественно таким путем. Функция, максимум которой нужно найти, есть «(! «з) лл («) 7» («) (2) или, разлагая в ряд по степеням «, Для определения максимума находим путем дифференцирования 4 +2' 2»» +2п 3 +' 9 7 100 9! Если пренебречь последни»ли членами, то из биквадратного уравнения имеем «а = — 0,49!4.
Если подставить это значение в малые члены, то уравнение примет вид: 0,98928 — — «з + «4 0 откуда «а=0486, «=0,697') Значения выражения (2) или его квадратного корня, которому л) пропорционально, можно вычислить из таблиц для )в и ул, (см. 9 221а), л) »Оп йле 1пл!аЬ|!йу о! )е!а», Ргоа Еоиа. Ма!а. Кос., том Х, стр. 7, !878, [В значении « исправлена опечатка в оригинале.
Ред.) В этом выражении lл(«) и уа(«) оба положительны, так что с уменьшением «(илн с увеличением Е) лу впервые становится действительным при « = 1. В этой точке начинается неустойчивость, причем сначала степень неустойчивости бесконечно мала. Таким образом, когда « очень мало или Е очень велико, то в конце концов 860) ЗАКОН САВАРА Имеем: !12))ш я !(2)УА з !(2))' е Н2)) 0,0 0,0000 О,! 0,0703 0,2 0,1382 0,2547 0,0000 0,9 1,0 0,8 0,7 0,8 0,3321 0,3433 0,3269 0,2012 0,2567 0,3015 0,3 0,4 0,5 Из этих значений находим по интерполяционной формуле Лагранжа максимум г =- 0,696, соответствующий А = — = 4,61 ° 2а.
<а) Следовательно, максимальная неустойчивость наступает, когда возмущение имеет длину волны, равную примерно половине его длины волны в момент первого появления неустойчивости. Принимая для воды в единицах СОЯ Т= 73, р = 1, получаем в случае максимальной неустойчивости Ч ' = , 1, ) = 0,120 !2а)6ь (4) 73 8 ° 2" ° 0,343 В этот момент возмущение возрастает в отношения е: 1. Так, .в случае, если отверстие имеет диаметр 1 слг, возмущение возрастает в 2,7 раза приблизительно за '!з секунды. Если возмущение увечичивается в 1000 раз за время Г, то г)1=3!и 10=6,9, так что Г= 0,828!2а)е)ь Например, если бы диаметр отверстия был равен одному миллиметру„то возмущение увеличилось бы в 1000 раз приблизительно за !/4а секунды.
В свете этих оценок быстрое разбиение струи воды уже не представляется неожиданным. Развитую выше теорию неустойчивости цилиндрической поверхнос!и, отделяющей жидкость от газа, можно распространить на случай, когда жидкость находится снаружи цилиндрической поверхности, а газ, инерцией которого мы пренебрегаем, внутри ней. Этот случай представляет струя газа, выпускаемая под поверхностью жидкости; и оказывается, что уровень максимума неустой~ивости даже выше, чем прежде, и что оп наступает при А= =6,48 ° 2а').
Едва ли, однако, надо для нашей цели проводить дальнейшее исследование этой стороны вопроса. 860. Применение наших математических результатов к реальным струям не представляет больших трудностей. Возмущения, благодаря которым равновесие нарушается, действуют на жидкость как только она оставляет отверстие, и длина непрерывной части струи представляет собой расстояние, проходимое струей !) «Оп !)!е !пз)атдщу о! Суйпйг!са! Е!пш 8ш!асезэ, РИ1. 54и8., том ХХХ1Ч, стр. !77, 1892. 1гл.
хх 352 клпиллягность за время, необходимое для того, чтобы произвести разбиение. Следовательно, длина непрерывной части необходимо зависит от характера возмущений в отношении амплитуды и длины волны. Эта длина может быть значительно увеличена, как показал Савар'), путем соответствующей изоляции сосуда от сотрясений, создаваемых как внешними источниками, так и прикосновением самой струи к сосуду, помещенному для приема жидкости. Однако это удлинение, повидимому, нельзя продолжить очень далеко.
Имеют ли остаточные возмущения внешнее происхождение, создаются ли они трением, илн какими-нибудь другими особенностями движения жидкости внутри верхнего сосуда в не выяснено достаточно удовлетворительно. Объяснения Плато в этом пункте не очень ясны, н он иногда выражается так, как будто время, потребное для разбиения, зависит только от капиллярного натяжения, совершенно безотносительно к тому, каковы были начальные возмущения. Савар сформулировал два закона относительно длины непрерывной части струи, которые были в известной мере объяснены Платов).
Лля данной жидкости и данного отверстия эта длина приближенно пропорциональна квадратному корню из высоты напора. Это следует из теории непосредственно, если можно допустить, что возмущения сохраняют свой характер все время, так что время разбиения постоянно. Савар нашел, что если напор задан, то длина пропорциональна диаметру отверстия. Из выражения (4) й 359 видно, что время, в течение которого малое возмущение увеличивается в данном отношении, изменяется не пропорционально а, а пропорционально аьь Лалее, если переменить жидкость, то время это изменяется пропорционально рз«Т '.
Однако можно с большим основанием усомниться в том, что длина непрерывной части струи подчиняется каким бы то ни было простым законам, даже когда внешние возмущения по возможности устранены. Если струя падает вертикально вниз, то обстоятельства, от которых зависит ее устойчивость или неустойчивость, непрерывно изменяются, в особенности, если начальная скорость очень мала. Тип возмущения, к которому струя наиболее чувствительна по выходе из отверстия, это в возмущение, которое накладывает на струю волнообразные колебания, имеющие длину, приблизительно в 4>1з раза превышающую начальный диаметр.
Но по мере падения скорость струи увели !нвзется, вследствие чего увеличивается длина волн колебаний, а диаметр струи уменьшается, так что степень неустойчивости скоро сильно снижается. С другой стороны, тот тип возмущения, который будет эффективным в дальнейшей стадии, ') Вача«1, Алп, >Ге СдгтГе, том 1.П!, «тр.
337, 1883. з) Р1з!еа>>, «8!а!!Ч»е ехрЫп>еп1з!е е! Феог!япе Вез 1!Чп1чев зо»ш1« апх зеп1еа 1огсез то!есп1а1«ез>, Рзг!з, 1873. 353 йлконь1 схвлгд. твогия плато совершенно не эффективен в начальной стадии. Таким образом, изменение условий во время падения имеет защитное влияние, и непрерывная часть стремится стать длиннее, чем в случае, если бы при тех же начальных возмущениях скорость была постоянной.
Если обстоятельства таковы, что на сосуд (с водой) действуют толчки, вызываемые ударяющейся струей, то разбиение струи часто приобретает полную регулярность и сопровождается музыкальным тоном (Савар). Прикосновение правильной последовательности капель, которые ударяются в приемник жидкости, определяет разбиение на подобные же капли части струи, проходящей в этот момент сквозь отверстие. Высота тона, хотя она и не определена, не может сильно отличаться от высоты тона, соответствующей разбиению столба жидкости на части, равные длине волны максимальной неустойчиности. И действительно, Савар нашел, что частота прямо пропорциональна квадратному корню из высоты напора, обратно пропорциональна диаметру отверстия и не зависит от природы жидкости, т.
е. законы, непосредственно вытекающие из теории Плато. Из наблюденной высоты тона, вызываемого струей данного диаметра, вытекающей при данной высоте напора, можно непосредственно получить длину волны начинающегося дробления струи. Исходя из некоторых наблюдений Савара, Плато нашел таким путем значение 4,38, как отношение длины каждой части струи к ее диаметру. Но так как длину части можно определить а рпоп, то предпочтительнее обратить вычисления Плато и выразить частоту колебания через другие данные задачи.
Так, частота = 4,51 ° 2а ' н во многих случаях, когда струя не слишком тонка, можно с достаточной точностью заменить о через ~Г2фг. Однако наиболее надежный метод для получения полной правильности разбиения струи это †воздействова на сосуд внешним вибратором, частота которого приблизительно одинакова с частотой, свойственной струе. Магнус' ) применил молоточек Нефа, прикрепленный к раме, поддерживающей сосуд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
