Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Несмотря на то, что приложенные силы стремя~ел придать устойчивость движению, оно необходимо неустойчиво для волн бесконечно малой длины; и этот вывод можно распространить на вихревые слои любого вида и на приложенные силы любого типа. Если Т вЂ” конечно, то, наоборот, необходимо имеется устойчивость для воли бесконечно малой длины, хотя возможна неустойчивость для волн конечной мины. Для дальнейшего исследования мы можем принять более простые условия, получающиеся при бесконечных 7 и Р. Тогда критерий устойчивости принимает вид; (р+р') (д(р — р')+ Т)га) — /грр'(Р— Р)Я) О, (9) и критический случай определится путем приравнивания левой части нулю.
Это дает квадратное уравнение для И Если корни этого квадратного уравнения мнимы, то критерий (9) удовлетворяется для всех промежуточных значений И так же как и для бесконечно малых и бесконечно больших значений, которые удовлетворяют ему во всех случаях, если только р ) р'. Таким образом, условие полной устойчивости есть ааа а(ь ь ) 4д(р — р') Т) (10) Пусть 1г' обозначает минимальную скорость (Э 353) волн при 1/ = 0 и Рт = О.
Тогда, в силу (7), (р+ р )з )У~4 — 4д(р р ) Т (11) и условие (10) можно записать в виде К' ) а.„~(1 1 )а (а + а')а (12) (ус(й И+р'с(й И ) ',8'(р — р )+ Т)га)— — )грр' с1п И с('и И'(Ъ" — Ъ")з ) О. (8) 367 365] ХАРАКТЕР НЕУСТОЙЧИВОСТИ Если (à — ~") не превосходит определенного таким образом значения, то стационарное движение устойчиво для всех возмущений; в противном случзе будут существовать некоторые конечные длины волн, для которых возмущения возрастают экспоненциально.
Если мы теперь опустим в уравнении (7) члены, зависящие от тяжести и от капиллярности, то это уравнение примет вид: р (и + 7е 'г')э с15 й)+ р' (л + И")Я с15 Ж' = О. (13) При 1=5 или, когда обе эти величины бесконечны, мы имеем просто р(п -+ И')я+ р'(п+ 7еЪ")я = О, Р Р + Р'А" — г )' РР' О' — ~") (14) или (15) я+Р' Из уравнения (15) мы видим, что, как и следовало ожидать, движение, общее для обеих частей жидкости, не имеет динамического значения.
Прибавление одной и той же величины к И и У" равносильно вычитанию той же величины из и!и. При р =р' уравнение (15) принимает вид: л 2( + ) 2 Существенные черты этого случая обнаруживаются уже з простом случае, когда 1' = — 'Р', так что стационарные движения обеих масс жидкости равны и противоположны. Тогда мы имеем — 1(г, л (17) а для поднятия И = Не ~ А~ г соз (лх+ а), (18) соответствующее начальному л = Н соя (пх+ а). Если при Г= О дй/д1= О, то й = Ней йЪ7 соз(ах+ е), (19) (20) У" = И(1 + а), что показывает, что волны на поверхности раздела стационарны, и амплитуды их увеличиваются со временем по закону гиперболического косинуса. Быстрота возрастания члена с положительным показателем исключительно велика. Так как в=2п/А, то амплитуда умножается на л", или приблизительно на 23, за время, требующееся для того, чтобы тот или другой поток прошел расстояние Л.
Если (г' = И, то корни уравнения (16) равны, однако, общее решение можно получить обычным методом. Таким образом, если мы положим Збй вихрявоя движвння н чхвствитвльныя пллмянл [гл. ххг где а в пределе обращается в нуль„ то л 1 — — У вЂ” ~- — га У л 2 й = еоы кг1(Аеу «агт'+ Ве у г'кы), где А и  — произвольные постоянные. Переходя теперь к пределу при а = О и беря новые произвольные постоянные, мы получаем Ь = ева1л-гг1(С+ ОГ) или, в действительных величинах, Ь = (С -)- ПГ) соя й (х — УГ -(- 3). Если первоначально и = сових, дй!дт= О, то л = соз Й (Уà — х) + л УГ з1п я (Уà — х).
(21) Особенность зтого случая состоит в том, что до смещения совершенно нет действительной поверхности раздела. Общее решение, содержащее 1 и !', можно приспособить для представления определенных случаев возмущения двумерной струи ширины 2(, вливающейся в покоящуюся жидкость. В самом деле, если возмущение симмешричио — так, что средняя плоскость является плоскостью симметрии, то условия — такие же, как если бы была введена неподвижная стенка.
Если окружающая жидкость безгранична, то 1' = со и сйч М' = 1, и уравнение, определяющее 1, при У'= О и р'=р принимает вид: (и+ и У)вс1п И+ив = О; (22) решение зтого уравнения есть л — 1 '-1 )Гй й1 аь' 1+ Ф лг (23) Следовательно, й = НГ ~ аз~ ~ соя и '(х уг 1+1ЬЫ ' ) (24) где (25) 1+ ФЛГ д = Не х У "1'"" соз й (х — УГ). (26) Это выражение представляет распространение симметричных возмущений в струе шириною 21, выливающейся в покоящуюся окружающую жидкость той же плотности.
Если И весьма мало, так что длина волны велика по сравнению с толщиной струи, то 366) 369 влияния вязкости (!сследование асимметричного возмущения струи требует решения задачи с одним вихревым слоем, в которой при з = 1 должно быть удовлетворено условие ~у = 0 вместо требовавшегося до сих пор условия дада = О. Значение м есть 1(ц+ДК) 11 '" ( ) аь~~вп Лспш (27) откуда, если, как прежде, др'/дг= 0 при з= — 1', р(в+ /гав)в!й И+ р'(и+ дР")в с(й И'= О. Если 1' = со, р' = р, Ъ" = О, то (и .+ /г Ъ )Я ((> И+ вз = О. (29) Это уравнение можно применить к струе шириною 21, движущейся со скоростью г' в спокойной жидкости и смещающейся таким образом, что изгибы обеих ее поверхностей параллельны.
Если И мало, то мы имеем приближенно й = Не а ">""" соз л (х — И гг). (28) (30) 24 зам !>>з. Рвача, >г Комбинируя решения, представленные выражениями (26), (30), мы можем определить последствия любых смещений в двух измерениях обеих поверхностей тонкой струи, движущейся со скоростью Р в спокойной жидкости той же плотности. 366.
Можно считать, что исследование ф 366 дает удовлетворительное общее объяснение чувствительности струй. В идеальном случае внезапных изменений скорости, образующих вихревые слои в жидкости, не обладающей трением, движение всегда неустойчиво и степень неустойчивости возрастает по мере уменьшения длины волны возмущения. Непосредственное применение этого результата к реальным струям привело бы нас к выводу, что их чувствительность бесконечно возрастает с частотой.
Действительно, в случае некоторых пламен частота наиболее сильно действующих звуков весьма велика и прибли>кается к верхнему пределу человеческого слуха; однако имеются другие типы чувствительных струй, на которые эти высокие звуки не оказывают действия и которые требуют для своего возбуждения средних или даже низких тонов. Возможное объяснение этого расхождения напрашивается само собой. Наши вычисления основывались на предположении, что изменения скорости происходят с разрывом — предположение, которое, пожалуй, нельзя примирить с действительностью. Вследствие тренин в жидкости поверхность разрыва, если бы даже она и могла образоваться, мгновенно исчезла бы, и переход от одной скорости к другой становился бы все более и более постепенным до тех пор, пока переходный слой не достиг бы заметной ширины.
Когда эта ширина сравнима с длиной волны синусоидального возмущения, то 37О вихгввов движвнив и чгзствитвльныа пламень 1гл. хх~ Решение этого уравнения для случая, когда и в начале имеет заметную величину только при у = О, имеет вид: ам и= Уа 2 )' тг4 (2) где ч = 1ь7р, а У есть начальное значение ) иг(у. Если ув = 4чб то аначение и меньше значения, которое будет найдено для того же самого момента времени при у = О, в отношении е: 1.
Для воздуха « = 0,16 СОЯ и, следовательно, через промежуток времени 1 толщина 2у струи будет сравнима по величине с 1,6 у' 1; например, через одну секунду толщину струи можно считать равной приблизительно 1'/я см. Таким образом, имеется полное основание полагать, что на явления чувствительности струи может сильно влиять трение жидкости, которое может существенно отклонить результаты от вычисленных, основанных на предположении раарывных изменений скорости. При этих обстоятельствах важно исследовать характер равновесия слоистого движения в случаях, более блиако подходящих к тому, который встречается на практике.
Полное исследование, которое учитывало бы все эффекты вязкости, наталкивалось бы на множество больших трудностей. Для цели„ которую мы преследуем здесь, мы будем считать жидкость лишенной трения и удовлетворимся получением решений для законов расслоения, свободных от разрыва. Для невозмущенного движения компоненты скорости и, ш равны нулю, а и является функцией только у, которую мы будем обозначать через У. Кривая, ординатой которой служит У, а абсциссой у, представляет закон расслоения; ради краткости ее можно назвать кривой скорости. Завихренность Л 1 (в 239) стационарного движения равна — дУ/ду. Если в возмущенном движении, которое предполагается двумерным, обозначить скорости через У+ и и о, а завихренность через решение, полученное для внезапного перехода, перестает быть применимым, и мы не имеем оснований предполагать, что неустойчивость будет возрастать для значительно более коротких длин волн.
Общее представление о влиянии вязкости в смысле расширения струи можно получить из решения Фурье для этой задачи при условии, когда начальная ширина предполагается бесконечно малой. Так, если в общих уравнениях о н ш исчезают, а и является функцией только от у, то уравнение, которому удовлетворяет и, имеет вид (так же как в $ 347): ди и д~и лг да 3661 371 овщвв углзнвнив Л + "., то общее уравнение (4) $ 239 принимает вид: д(Х-)-)),, д(л+() ~ д(а+С) где дЯ д3 — =О, — =О. дг ' дх Таким образом, если пренебречь квадратами возмущений, то уравнение можно записать в виде д; д".
дх — +У вЂ” '+о — =О; дг дх ду (3) уравнение же непрерывности для несжимаемой жядкости дает ди до — + — =О. дх ду (4) Если подставить в уравнение (3) значения х. и 6, выраженные через скорости, то получим (б) Введем теперь предположение, что и и о, как функции от х и Г, пропорциональны ес"'е'а'. Из уравнения (4) имеем Йа+ — =О; 8о ду (6) если это значение и подставить в уравнение (5), то получим ( —,+У)( —,,— Ю ) — —,,о О.
(7) ') ') Ргас. Л4ата. Яос., том Х1, стр. 68, 1880. 24* В уравнении (7) можно рассматривать м как действительную величину, а во всякой частной задаче, которую только можно себе представить, главной целью является определение соответствующего значения п, и, в частности, определение того, будет ли оно действительным или мнимым. Одно важное общее предложение относится к случаю, когда дЧ/!дуэ не меняет знака, так что кривая скорости целиком выпукла или целиком вогнута на всем пространстве между двумя неподвижными стенками, у которых удовлетворяется условие о=О. Пусть лгн=р+-м7, о= а+)р, где р, о, а, р действительны. Подставляя в уравнение (7), получаем д2а 8ЯР ( э д~У р+ У вЂ” !ч ) +18са+луа(р)(Г)а)ля(а+9)О 372 ВихРВВОВ ДВижзнив и чквствитзльныв плАИВИА (гл хх! или, приравнивая нулю порознь действительную и мнимую части, дза з, дз(/(Р+ (7) «+ЧР дуз +дуя (р+(/)з+лз ' (8) а-~ д,3, д (7 — ч.+(р+ и) 6 дуз /з ~ дуз (р+ (/)з+ Зз Умножив (8) на р, (9) иа а и вычтя одно из другого, получим дз«дзг д ! да дР1 дз(/ е (аз+ (~з) р — — а — = — ~~ — — а — /=— (10) дуз дуз ду 1 ду ду/ дуз (р 1.
())з 1 аз На границах значение о, а следовательно, и а и р, по предположению, равны нулю. Поэтому, интегрируя уравнение (10) между границами, мы находим, что з/ должно равняться нулю, если дз(//дуз имеет один и тот же знак во всей области интегрирования. Следовательно, п действительно, и движение, если не абсолютноустойчиво, то во всяком случае не является экспоненциально неустойчивым. Из уравнения (7) можно вывести и другое общее заключение, заслуживающее внимания. Записывая это уравнение в виде дВ дзгу — /за+ и, дуз ду и+и мы видим, что при а действительном, о не может перейти от одного нулевого значения к другому нулевому значению, если дз(//дуз и и+/з(/ не имеют где-нибудь противоположных знаков.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
