Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 80
Текст из файла (страница 80)
!р Р В первом приближении дзи- р! ! жение, изображенное на фиг. 71, л, находится на границе между ! ! ! ! устойчивостью и неустойчиво- ! !Р стью для возмупгеннй с боль- Ь'! ! ! ! ! шой длиной волны; однако ! если мы продолжим наши вы- Фиг. 70. Фиг. 71. числения, то найдем, что в действительности оно неустойчиво. Если мы положим в (23) 378 Вихвевов дВижение и чэвствительные плАменА [Гл.
хх! чивости будет, следовательно, алгебраическое неравенство 1 р) — —. Ь' В переходном случае (27) '1" Ь+ Ь') )Ь Ь' (28) этот случай изображен на фиг. 70. Если Р1;> наклонена вниз больше, чем показано на этом рисунке, как, например, на фиг. 71, то стационарное движение заведомо неустойчиво.
Возвращаясь к общим уравнениям (11), (12), (!3), (14), (15), предполо>ким, что йз = О, что приводит к исчезновению соответствующей поверхности разрыва. Получаем В = Ь (У> + Уэ) з И Ь (Ьэ+ Ь'+ Ь!) + б, ЯИ ЬЬ, ВИ Ь (Ьэ+ Ь') Вз — 4АС= [й(Ц вЂ” У)ВИ Ь(Ь +Ь+Ь )+ ~ ~, ВИ ЬЬ, ВИ Ь (Ьв [- Ь') [э, так что (29) или а> ВИ ЛЬ> ВИ Л (Ьз + Ь~) ВИ Л (Ь> + Ь' + Ьз) (30) Последнее выражение представляет собой общее решение для двух слоев постоянной взвихренности шириною Ь, и Ь'+ Ь.. Эквивалентный результат можно получить, полагая в уравнении (11) и т.
д. Ь'=О или Ь,=О. Наличие соотношения (29) заставляет сделать вывод, что в качестве значения и допустимо любое значение — ЬУ; смысл этого очевиден из основного уравнения (7) 9 366. В самом деле, в том месте, где и+ЬУ=О, уравнение (1) не должно удовлетворяться, т. е. произвольные постоянные в выражении (2) могут изменять свои значения. Очевидно, что при заданных значениях и и )з можно найти решение, удовлетворяющее требуемым условиям у стенок и у поверхностей, где дУ)ду изменяет значение, так же как и уравнению (3) у плоскости, где а + ЙУ= О. В этом дан>кении предполагается, что жидкости в рассматриваемой плоскости сообщается добавочная завихренность, которая движется вместе с жидкостью при скорости У.
Мы можем спросить, что >ке происходит во втором месте в жидкости там, где случайно скорость одинакова со скоростью в первом месте, месте добавочной завихренности. Второе место может находиться либо в слое с первоначально однородной завихреиностью, либо на поверхности перехода. В первом случае не происходит ничего особенного. Если во втором месте нет новой завихренности, то значение и определено, как обычно, с точностью 3681 жидкость, не ОГРАниченнля стенклми 379 до некоторого произвольного множителя.
Однако возможно наличие новой завихренности, совместной с заданным значением п, во втором месте, так же как и в первом, и тогда полное значение о для данного и можно рассматривать, как состоящее из двух частей, каждая из которых пропорциональна одной из новых завихренностей и каждая из которых имеет произвольный множитель. Если второе место расположено на поверхности перехода, то из уравнения (4) следует, что о =О, поскольку б(дУ/ду) конечно.
Из этого факта мы могли бы попытаться сделать вывод, что рассматриваемая поверхность ведет себя подобно неподвижной стенке, однако, более подробное исследование показывает, что этот вывод не оправдывается. Для того чтобы понять это, полезно будет исследовать соотношение между о и смещением поверхности, которое предполагается пропорциональным ееш е'л*. Таким образом, если уравнение поверхности есть Р=у — Де (31) то условие, которому нужно удовлетворить, имеет видт): — +У вЂ” +о — =О, дР дР дР дг дх ду (32) так что искомое соотношение есть (33) — И(п+ 1ЕУ)+ о = О.
о =о,+М,зййу, а от у= д до у=+ оо п = ив+Я зй1е(у — д). ') Ьашп, Нудгодглаттса, 5 1О. Следовательно, конечное л совместимо с исчезающим ТА. 368. В задачах, рассмотренных в 3 367, жидкость была ограничена неподвижными стенками; в задачах, к которым мы сейчас переходим, мы будем предполагать жидкость неограниченной. В качестве первого примера предположим, что на верхней стороне слоя толщины д не- возмущенная скорость У равна+ Ъ', а на нижней Аг стороне она равна — )г, внутри же слоя она равномерно изменяется(фиг.
72). Завихренность внутри Фиг. 72. слоя равна г'/д, а вне слоя она равна нулю. Наиболее непосредственно ведущим к цели методом разрешения этой задачи является, пожалуй, метод, изложенный в 9 367. От у= — оо до у=О нам нужно взять выражение вида о„=еле, удовлетворяющее необходимому условию при у= — сю. Тогда от у= О до у=д 368! 381 жидкость, нв огглничвннья стенками а при у = Ь пь = Ае-ьь+В, д ( — ) = — 2/ьВ, !дМ ~ду)ь причем (ЬВ) 2 Условия, которым должны удовлетворять В/А и и, следовательно, таковы: А( — И + — „)+В(1 — „)=О, А(Р—е ,ь ) — В ( + ~Ь)=0, 16) 16) откуда, исключая В/А, ая = — !гйЬ вЂ” 1)я е-зьь) рз 17) Если /ьЬ мало, т. е. если длина волны велика по сравнению с Ь, то этот случай приближается к случаю внезапного перехода от скорости — 17 к скорости + 1г. Тогда, из соотношения 17), пя /Ьзуз 18) в согласии с уже найденным значением !(17) 9 366!.
В этом случае стационарное движение неустойчиво. С другой стороны, если ЬЬ велико, то нз !7) находим пз = /ьзрв, /9) и так как оба значения п действительны, то движение устойчиво. Таким образом, оказывается, что при таком отдалении от неустойчивости, безгранично возрастающей с уменьшением до нуля длины волны, как это бывает при внезапном переходе от — 17 к + К уменьшение длины волны ниже определенного значения сопровождается неустойчивостью, которая постепенно уменьшается и, наконец, заменяется действительной устойчивостью. Приводимая таблица более детально показывает ход Ьзиз/Уз, взятый в функции /ьЬ.
ЛЬ 52лм17з !! ЬЬ Ьапь/рз — 0,13534 — 0,05072 +0,0!573 +0,98168 0,2 ' — 0,03032) 1,0 — 0,08933! 1,2 — 0,14120' 1,3 — 0 !6190! 20 0,4 0,6 0,8 Ыы видим, что неустойчивость — наибольшая прн ЬЬ 0,8, т . е. при ), = 3Ь, и что переход от неустойчивости к устойчивости происходит прн ЬЬ 1, 3 или при ), = 6Ь. В соответствии с обоими значениями а имеются два отношения В/А, определяемые уравнениями 16) или !6), причем каждое из них дает нормальный тн п возущения, а посредством этих нормальных 382 вихвввоя движения и чувствитвльныв пллмвнл [гл.
хх~ ~= 1'(1 ='ь) (10) где анак минус относится к верхней, а знак плюс к нижней половине струи (фиг. 73), Теперь имеются три поверхности у= — Ь, у = О, у = + Ь, на которых вид о испытывает разрыв. Так же как в (4), мы можем положить о = Аеа ь~егИ+ Вез ад + Сея "~Я (1 1) так что при Л(д — ) = — 2ЙА; у= — ь, и=о, о = А+Ве-"в+Се з"ь при о(д ) — 27зВ у=о, Ае -иь+ В +Се -"ь и при и=о, о=Ае-эль+Ве "ь+С, Л( — ~1= — 2йС. (ду) Подстановка этих значений в уравнения условия (4) й 367 дает глА-+-Тв+ 7яс = о, (12) ТА + ( — — — т — йЬ) В+ (С = О, 7яА+7В+глС= О. Эти уравнения определяют А: В; С и а, Из симметрии, характеризующей этот случай, или же из иссле- дования уравнений (12), (13) и (14) мы видим, что одно из нормаль- ных возмущений определяется соотношениями В=О и А+С=О, (15) возмущений можно представить произвольные начальные условия.
Мы увидим, что для устойчивых возмущений отношение В/А действительно; это показывает, что изгибы обеих поверхностей в ..Р каждый момент находятся в одной и той же фазе. В качестве примера мы можем теперь взять струю фи„73 толщиною 2Ь, движущуюся в спокойной жидкости, предполагая, что скорость в середине струи равна У и что по обе стороны скорость равномерно падает до нуля (фиг. 73). Помещая начало оси у-ов на средней линии, мы можем написать 368[ жидкость, нв огваничвниая станками и что соответствующее значение т равно Тв. Таким образом, для симметричного возмущения и = — — (1 — е-Я"ь), ы 2Ь (16) что указывает на устойчивость в случаях, когда речь идет об этой частоте. Общий определитель системы трех уравнений можно представить в форме (т — Тэ) [тв+(Тэ+2)ЬЬ вЂ” 3) т+тэ(1+2[40)[= О, (17) где первый множитель соответствует уже рассмотренному симметрич- ному возмущению. Остальные два значения и будут действительны, если (Тя+ 2)ЬЬ вЂ” 3)в — 4тэ(1+ 2М) ) О, (18) но не иначе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
