Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Если 7ЬЬ бесконечно велико, то Т = О, и неравенство (18) удовлетворяется; таким образом, движение устойчиво, когда длина волны возмущения мала по сравнению с толщиной 2Ь струи. С другой стороны, как легко доказать, разлагая в ряд Т или е-ьь в выражении (18), движение неустойчиво, если длина волны велика по сравнению с толщиной струи. Значения левой части неравенства (18) можно оценить легко, если представить эту часть в виде (6+ 2[ьЬ вЂ” е -эьь)а — 16 (1 + 2йЬ). (19) Некоторые соответствующие значения (19) и 2йЬ даны в таблице. Мнимая часть и, если она существует, пропорциональна квадратному корню из (19).
Длина волны максимальной неустойчивости определяется, таким образом, приближенно значением 2[ЬЬ = 2,5 нли ь = 2,5 2Ь. Критическая длина волны дается значением 2(ЬЬж3,5 2 ЬЬ (19) 2ДЬ (19) 0,5 — 0,054 2,5 — 0,975 — 0,279 — 0,599 — 0,676 3,0 — 0,794 3,5 — 0,263 4,0 +0,671 приблизительно, или ).=1,8 25; более короткие длины воли, чем эта, приводят к устойчивости, а более длинные — к неустойчивости. В этом отношении здесь имеется очень близкая аналогия с цилиндрическими столбиками жидкости, находящейся под действием капиллярных сил (9 357), хотя природа самого равновесия и характеР отклонения от него ф„„ 74 совершенно различны.
Можно сделать дальнейший шаг к обобщению, предполагая, что максимальная скорость Г распространяется на слой конечной толщины Ь' в середине струи(фиг. 74). В соответствии с этим в этом 384 еихгевое движение и чгвствитвльныв пллмвнд [гл. хх~ слое нет завихренности, между тем как в прилежащих слоях, толщиною Ь, взвихренность и скорость остаются прежними. Взяв, как в выражении (11), четыре постоянные А, В, С, О, для того чтобы представить разрывы на четырех поверхностях, рассматривая их по очереди, и положив 7 = е-"ь и 7' = е "ь, имеем на первой поверхности и=о, б(',~)=+ ~, о = А+[В+ д'С+.[Я7'О, Д( — ) = — 2[еА; на второй поверхности о = '[А+ В+ ('С+ 7 ('!), о (д ) — 2зВ; на третьей поверхности „(Ь(7) !г '=Л'~+'('В+С+Ф й(,—,)= — 2ДС и на четвертой поверхности и=б, б( ~)=+~, о = "[я !'А + 7['В+ 1С+ В, Л ! — ! = — 2И).
(ду ) (21) Воспользовавшись зтими значениями в (4) $ 367, получим А [1 + — ~+ [В+ П'С+7з7'О = О, (20) А+ В ~1 — 2Ь(й+Г)1+, С+.д О = О, 77'А + 7'В+ С ~1 — 2Ь (Ь + р)~ + 7О = О, (22) 7яу'А+ 7.['В+ тС+ О ~1 + — ~ = О. (23) Исключение отношений А: В: С: ь) дало бы биквадратное уравнение по и, которое, однако, можно разбить на два квадратных уравнения — одно, относящееся к симметричным возмущениям, для которых А + 0 = О, В+ С = О, и другое, относящееся к возмущениям, для которых А — ь! = О,  — С = О. Результирующее уравнение по п можно написать в виде: ( —,) +( 7'~7'7Я+2ЙЬ) —- 7' — 1+2[1Ь+1Я(1:, [':,2ДЬ7) = О. (24) 368! жидкость, нв огглничвннля стенками 385 В уравнении (24) верхние знаки относятся к симметричным возмущениям. Корни действительны и соответствующие возмущения устойчивы, если (-~-7' — 7'Р-~ 2И)Я вЂ” 4(+ 7' — 1+2ЬЬ+7Я(1~7'~2ЬЬ7')! (25) положительно.
В дальнейшем мы ограничимся симметричными возмущениями, т. е. верхними знаками в (25) и членами порядка не выше первого по Ь'. Выражение (25) можно тогда привести к виду (1 — 7в — 2И)в+2ЬЬ'(1+7Я)(1 — 1Я вЂ” 2ЬЬ). (26) Если И очень мало, то это выражение обращается в 4)е4Ь' — 8ЬЬ' ° 71вЬЯ. (27) Если Ь' равно нулю, то выраженив (27) положительно, и возмущение устойчиво, как мы нашли выше; если же Ь и Ь' — одного порядка величины и оба малы по сравнению с ), то из (27) следует, что возмущение неустойчиво, хотя оно и симметрично. Если положить в выражении (24) Ь'=О, то мы снова возвратимся к предыдущей задаче.
Для симметричных возмущений, полагая в (24) 7'=1, получим (2Ы'~ ( я ) 21т ( что показывает, что значения 2Ь»7'17 равны 7Я вЂ” 1 и — 2ЙЬ. Первое значение совпадает с (16), а второе дает»+ФУ=О. Мы уже видели, что любое значение — Ь(7 представляет возможное решение для». С другой стороны, если мы предположим, что Ь= О, то мы вернемся к случаю струи с одинаковой повсюду скоростью !7 и с толщиною Ь', движущейся в спокойной жидкости. Уравнение для» после деления на Ьв принимает вид: »Я+ (1 — 7') Н' »+ 2 (1 — т') Ь У - О, или (»+7г!7)Я т, +»Я=О. 1+тг В уравнении (28) " =с!6 — И',, =1!7 — И', так что 1 — 1' 2 ' 1+1' 2 результат находится в согласии с (22) и (29) $365, где величине — Ь соответствует 1. 1 2 Другой частный случай уравнения (24), сравнимый с предыдущими результатами, получится, если предположить, что Ь' бесконечно велико.
23 зак !779 Рэлеа, и 386 вихгввоя лвнжвнив и чхвствитвльныв плхмвнл [гл. хх! 369. Если дзУ!дуе конечно, то мы должны вернуться к общему уравнению $366 ( + )Х з ) дз которое повволяет теоретически построить кривую, изображающую о как функцию от у, если известно и (которое действительно).
Действительно, мы можем рассматривать уравнение (!) как определяющее кривизну, которую мы будем иметь в какой-либо точке прн следовании по кривой. В месте, где и+ФУ исчевает, т. е, где скорость потока равна волновой скорости, кривизна становится бесконечной, если о не исчеаает. Характер бесконечности в таком месте (предполагая, что у = О) можно было бы более удовлетворительно исследовать посредством полного решения для какого-нибудь частного случая.
Однако достаточно исследовать вид решения в соседстве с у = О, и для этой цели дифференциальное уравнение можно упростить. Так, если у мало, то можно рассматривать а+!сУ как пропорциональное у, а дзУ!йуэ — как приближенно постоянную. По сравнению с ббльшнм членом йэо можно пренебречь, и достаточно рассмотреть уравнение — +у- о=О, (2) где ради краткости опущен известный постоянный множитель при у. Это уравнение относится к типу уравнения Риккати йзо — з+уьо = О, (3) решением которого вообще является (и дробное)' ) о = у у[А.! ([)+Ву,„(Е)), (4) гле и = — $ = 2иуЧеи.
1 Если, как в данном случае, и целое, то з „,($) следует заменить (6 341) функцией второго рода Уи($). Следовательно, общее решение уравнения (2) есть о = [! у [Аз, (2 [! у) -[- В з", (2 ) у)[. (6) При переходе черев нуль у ивменяет знак, а вместе с тем и характер функций. Если мы будем рассматривать решение (6) как применимое на положительной стороне, то на отрицательной стороне з) Ьоюше!, В!ой!еп дает йте Веззе!зсаеп Риис!!опвп, 6 31, Ье1рс13, 1868; С!ау апй Мапйехсз, Веззе! Випсггопз, стр. 283, 1895.
337 369) точки ввсконвчной злвихтвнности мы можем написать о = р' у (С7, (2 у' у) + 7) У4 (2 Г' у)), (7) причем аргументы функций в решении (7) — чисто мнимые. Из известного вида функций (й 341) мы можем вывести следующее решение, применимое при малом у: .= (У вЂ” — 2'«)+ Г! г 1 + В ~ — (! — У+ — УЯ) — !и (2 ~/У) ° (У вЂ” — УЯ7!+У вЂ” — Уэ~, (3) 12 (, ) 2 7 4 так что в конечном счете 1 лв 1 лэч 1 и = — В, — = А — — В1пу, — „,, = — А — — Ву-з, (9) 2 ' лу 2 ' луз 2 причем и остается конечным во всех случаях. Покажем теперь, что любое значение — ЙУ является допустимым значением и в уравнении (1). Место, где п+7РУ=О, примем за начало у-ов; сначала мы предположим, что и+7гУ не исчезает нигде в другом месте. В непосредственном соседстве с у = О решениями, применимыми на обеих сторонах, будут (6) и (7), причем они подчиняются условию, что о должно быть непрерывным.
Следовательно, в силу (9), В = О, а три постоянные остаются произвольными. Определив таким образом характер функций в начале, при у = О, подчиняем дал ььейший их ход первоначальному уравнению (! ), которое полностью определяет их, если известны эти три произвольные постоянные. В данном случае заданы два соотношения условиями, которые должны выполняться на неподвижных стенках или других границах жидкости, и таким образом весь вид и определен с точностью до постоянного множителя.
Если В и 7) конечны, то в начале имеется бесконечная завихренность. Любые другие места, в которых и+АУ=О можно рассматривать аналогичным образом, и самое общее решение будет содержать столько произвольных постоянных, сколько имеется мест с бесконечной завихренностью. Однако завихренность не должна обязательно быть бесконечной только потому, что п + !РУ= О; и действительно, можно получить частное решение с одной лишь бесконечной завихренностью.
В любом другом критическом месте, например в таком, каким мы можем считать начало, В и 0 могут исчезать, так что о = О, г!Япфуз = А или С. На основании этих рассуждений казалось бы, что бесконечности, которые появляются при и+ЙУ=О, не оказывают серьезного влияния на применение общей теории, коль скоро мы пренебрегаем квадратом отклонения от стационарности движения.
388 Вихгввов дВиз<янив и чзтвствитвльныв пллмвнл 1гл. хх1 Значительная часть предыдущих параграфов заимствована нз некоторых статей автора !). Читатель может обратиться также к работам лорда Кельвинав), в которых рассматриваются эффекты вязкости. 370. Остается описа ь явление чувствительного пламени и показать, насколько это возможно, применение теоретических принципов. В принципе комбинация пламени и резонатора, описанная в 2 322Ь, может быть названа чувствительной; однако в этом случае название это следует скорее отнести к резонатору, а роль пламени состоит только в поддержании путем периодического снабжения теплотой однажды начавшегося колебания резонатора.
Следуя Тиндалю, мы можем с успехом ограничить применение этого термина изолированными пламенами и струями, в которых происхождение чувствительности следует, несомненно, искать в неустойчивости, сопровождающей вихревое движение, Самым ранним наблюдением по этому вопросу было наблюдение профессора Леконта з), который заметил прыжки пламени обыкновенной двойной горелки, дающей пламя в форме рыбьего хвоста (!!Вп(а!1Ьцгпег) в ответ на определенные ноты виолончели.
Условием чувствительности было, чтобы при отсутствии звука пламя было на границе вспышки. Когда давление газа уменьшалось, то чувствительность пропадала. Произведенное независимо наблюдение такого же рода привлекло внимание проф. Барретта к чувствительным пламенам; при этом он исследовал тип горелки, наилучшим образом подходящей для работы при обычных давлениях газа в газовой сети ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
