Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 85
Текст из файла (страница 85)
В определенных пределах можно выразить соотношение между частотой и и этими данными в виде и = 0,136 — „, (1) где за единицы приняты сантиметр и секунда, Если скорость такова, что волов тон совпадет с одним из собственных тонов проволоки, которая закреплена так, что может совершать независимо свободные колебания, то звук значительно усиливается, и благодаря этому преимуществу Струхаль нашел возможность расширить диапазон наблюдений.
При самых крайних условиях, которые можно было в то время осуществить, наблюдаемая частота ваметно отклонялась от значения, определяемого форму- г) 81гоасЬа1, яттел. Аии., том Ч, сгр. 216, 1878. См, также %. КоЫ- гапзсй, %Ъя'. Агш., том ХШ, сгр. 645, 1881. 400 вихгввоз движзния и чувствитзльныв пллмвна (гл. хх1 лой (1). Далее он показал, что при данном диаметре и данной скорости повышение температуры сопровождалось падением частоты.
Наблюдения над струной|), совершающей колебания подобно эоловой арфе, под действием потока воздуха в дымовой трубе показали, что вопреки обычно высказывавшемуся мнению колебания возникают в плоскости, перпендикулярной направлению ветра. По формуле (1) расстояние, проходимое воздухом за одно полное колебание, приблизительно в шесть раз больше диаметра проволоки. Если, как это представляется вероятным, можно не учитывать сжимаемости жидкости, то можно рассматривать п как функцию от о, а1 и т — кинематического коэффициента вязкости. В этом случае выражение для и необходимо должно иметь вид: и= — „° уЯ (2) где) представляет произвольную функцию; при этом, если ч ос1, то имеется динамическое подобие. При наблюдениях над воздухом при одной и той же температуре ч постоянно; и если с1 изменяется обратно пропорционально о, то иг1/о должно быть постоянным— результат, находящийся в полном согласии с наблюдениями Струхаля.
Далее, если температура растет, то т увеличивается, и для того, чтобы оставаться в согласии с наблюдением, мы должны предположить, что функция 7 уменьшается с увеличением аргумента. Изучение действительных аначений в экспериментах Струхаля показало, что чгой всегда мало; таким образом, мы приходим к выводу о возможности представления 7' несколькими членами ряда Маклорена. Если положить 7(х) = а+Ьх+схз, то получим а=а — „+Ь вЂ” „, +с — „,. (3) Если можно пренебречь третьим членом в (3), то соотношение между и и о будет линейным. Этот вакон был сформулирован Струхалем, и его графики показали, что коэффициент а отрицателен, как зто и нужно для того, чтобы выразить наблюдавшийся эффект от повышения температуры. Далее, мп сФ И ° — = а — —., ч'и еяйз ' (4) ал так что с( — очень близко к постоянной — результат, также данае ный Струхалем на основании его измерений.
В целом, повидимому, эти явления удовлетворительно отображаются формулами (2) и (3), однако динамическую теорию еще предстоит разработать. Было бы также интересно произвести подобные опыты с жидкостями. ') РДП. Май., том ЧП, стр. 161, 1879. ГЛАВА ХХП КОЛЕБАНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 4 а+ — и ая = — —, 3 ЬЯ =— г то мы имеем (аэ — Ьэ) — +Ьз'г'Яа+Х'= — О и т. д., дх (2) где Х', У', л.' — приложенные силы, отнесенные к единице массы. Если выделить в этих уравнениях реакции, действующие против ускорения, то по принципу Даламбера получим - —, =(аз — ЬЯ) — +Ьз7эа+Х' (3) и еще два аналогичных уравнения.
В уравнении (3) 3 есть растяжение, отнесенное к а, р, т по формуле 3= — + — +— да дй дг дх ду дз ' (4) дза Если а, р, т и т. д. пропорциональны еым и — —,, = — рэа, то уравдгт пение (3) принимает вид: (иэ — Ьэ) — + Ьэ т за + рза + Х' = О. (5) Дифференцируя уравнение (3) и аналогичные ему уравнения по х, у, г и складывая, получим в силу (4) дЖ, дХ' дУ' дУ' — = из7ЯЬ+ — + — + —. дгг дх ду дл ' (5) 26 зак 177э гьвыь н 373. В настоящем труде невозможно пытаться хотя бы приблнвиться к полному рассмотрению задач, связанных с колебаниями твердых тел; и все же простейшие части теории, повидимому, невозможно обойти.
Мы ограничимся здесь случаем изотропнозо вещества. Общие уравнения равновесия уже были приведены в й 345 Если р — плотность и 402 (гл. ххп колевлния тВеРдых тел Аналогичные уравнения можно получить для вращений (ср. 9 239), определяемых соотношениями дй' дй" дй'а — + — + =О. дх ду дг (9) Теперь рассмотрим вкратце некоторые случаи распространенна плоских волн при отсутствии приложенных сил. В уравнении (6), если Х', у', Г' равны нулю, а 6 является функцией только от х, то два дзз (10) решением этого уравнения, так же как в 9 245, будет 3 = 7(х — аг) + Ь(х+ а1).
(11) Для этой волны 8=да/дх, а р и т равны нулю; таким образом, этот случай подобен случаю распространения волн в сжимаемой жидкости. Следует, однако, заметить, что в силу (1) скорость зависит от коэффициента жесткости (л), так же как и от сжимаемости (х). В волне растяжения (11) вращения й', й", йеа исчезают, как непосредственно следует из их выражений в формулах (7). Теперь нам нужно рассмотреть волну поперечного колебания, для которого о исчеаает. Если, например, мы предположим, что и и р равны нулю и что т есть функция только от х (н от Г), то будем иметь дх уравнение для йа имеет вид: дайа да у' ЬЗ дГЗ = дХа ' (12) т.
е. такой же вид, как уравнение (10); такое же уравнение получается для т. Таким образом, поперечное колебание распространяется в виде плоских волн со скоростью Ь вЂ меньш, чем скорость а волн растяжения. На образовании стоячих волн прн наложении бегущих положительных и отрицательных волн одинаковой длины оста2я вваливаться не приходится. Если в= — „, где ) — длина волны, д! д3 ~ да д! „ дз д» вЂ” — — = 2й, — — — = 2й, — — — = 2й"'. (7) ду дг ' дг дх ' дх ду Таким образом, если мы продифференцируем тре|ьз из уравнений (3) по у, а второе — по а н вычтем одно из другого, то получим — = ЬБЧай' -!- — — — — —— дай' ., 1 д2' 1 д1' дтз ' 2 ду 2 дл (8) и лва аналогичных уравнения для й" и й".
Следует заметить, что й', й", й" связаны соотношением ОГРАНИЧВННОВ НЛЧЛЛЬНОВ ВОЭМУЩВННВ 403 374) то наложение положительной волны 7 = Г соэ уэ (И вЂ” х) на отрицательную волну 1= 1'соя я(И+х) дает 7 = 2Г соэ )гИ соз )гх. (13) Второй бегущей волной может быть отражение первой от граничной поверхности, непроницаемой для энергии волн. Такой поверхностью может быть либо свободная поверхность, либо такая, у которой изменение 7 прекращается.
374. Задача о распространении в трех измерениях возмущения, первоначально ограниченного конечной областью тверлого тела, была впервые успешно рассмотрена Пуассоном, а исчерпывающее исследование всего вопроса было проведено Стоксом'). В силу (6) и (8) 9 373 растяжение и вращения удовлетворяют уравнениям — = аэ7Я8 — дэРЯй дэв, дч1г' дуя ' дгэ решения которых, применимые к нашей цели, уже были полностью рассмотрены в Я 273, 274. Оказывается, что в направлении наружу распространяются с различными скоростями отдельные волны растяжения и сдвига, так что на достаточном расстоянии от источника эти волны разделяются. Если мы посмотрим, что происходит в отдаленной точке, то увидим, что в начальный момент там нет ни растяжения, ни сдвига.
Когда приходит волна растяжения, то эффект начинается, но слвига еще нет. По прошествии некоторого времени волна растяжения проходит, и в течение некоторого промежутка времени нет ни растяжения, ни сдвига. Затем приходит волна сдвига и в течение некоторого времени производит определенный эффект, после которого опять нет ни растяжения, ни сдвига. Полное рассмотрение требует выражения смещений через 8, й', й", э"', для вывода которых у нас нет места.
На основании этих выражений можно доказать, что до прихода волны растяжения и после прохождения волны сдвига среда остается в покое. Между обеими волнами среда не является абсолютно невозмущенной, хотя здесь нет ни растяжения, ни сдвига. Если начальные возмущения таковы, что нет волны сдвига, то все возмущение полностью ограничивается волной растяжения. 375. Темой $ 374 было свободное распространение волн, возникающих в результате произведенного в начале возмущения. По меньшей мере не менее важной является задача о расходящихся волнах, поддерживаемых гармоническими силами, действующими по соседству с данным центром. Сначала мы можем взять случай гармонической силы такого рода, что она создает волны растяжения. В силу уравнения (6) !) Яохез, «Оупаш1са1 Тпеогу о! Юййгасцоп», Сатэ. Рдгд Тгапз., тои 1Х, стр.
1, 1849. 404 (гл, ххн кол"вопия твеедых тзл 2 373 мы можем предположить, что во всех точках, аа исключением начала координат, даа —,= аврзо, дга (1) или, если 3, рассматриваемая как функция х, у, л, зависит только от г или 1а хо+уз+ха, а рассматриваемая как функция времени она пропорциональна е'р'(2 241), то даа 2 да — + — — + Иэо = О, дгз г дг (2) где И =р/а. Решение уравнения (2), так аке как в 2 277, есть е (3) Выражая это в действительных величинах, получим А соз (ре — Иг+ е) г где А и е произвольны.
Преобразуя выражение (4) $ 373, можно показать, что соотношение между 3 и радиальным смещением тв имеет вид: (6) или, на большом расстоянии от начача, просто ды о= —. дг ' (6) Таким образом, если г велико, то з соответствии с выражением (4) я/ = — — 5!п (рг — иг+ о). А йг (7) где через И обозначено — . р 0' В этих волнах чистого растяжения движение радиально, т. е. па- раллельно направлению распространения, а распределение симмет- рично относительно начала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
