Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Еше более интересна теория вынужденных волн растяжения, распространяющихся наружу из некоторого центра. Простейшим случаем является тот, когда волны, создаваемые периодической силой, скажем Л', действуют в пространстве Т вблизи начала. Если мы предположим, что в уравнении (8) 2 373 Л", 'г" исче- зают и что все величины пропорциональны еая', то найдем Ч~а'+ Иа'+ ~ б-з — - = О, 1 дЯ' (8) Чз-е РИэ-," 1 д-а д О 2 дх Чвй"'+ Иой'е = О, 37 5) ГАРмоничвскхя силл, пРиАожвннъя В точка 405 (14) Вследствие симметрии относите шно оси х достаточно рассмотреть точки, лежащие з плоскости хХ. Тогда м' исчезает, так что вращение происхолит вокруг оси, перпендикулярной как к направлению распространения (г), так и к направлению силы (г).
Если обозначить через 0 угол между этими направлениями, то результируюцее вращение, совпадающее с м", есть Тг.'ып 0 д 7 е-ш" 1 Зяаа дг ( Если ограничиться точками, находящимися на большом расстоянии, то это выражение принимает простой вид: 1ЛТ2' МП 0 Е-~аг 8гЬЯ г (16) Сме~цение, соответствующее (16), перпендикулярно к г и находится в плоскости яг.
Его значение определяется формулой ТЕ' мп 0 е-гаг — 2 ~вг(г =— 4еЬ' г или, если мы восстановим множитель ешь' и отбросим мнимую часть решения, ТХ' ып 0 соя Л (01 — г) — 2 ~ юг(г = — -- — — — —, 4нш г (1 7) Эти уравнения решаются так же, как в 8 277. Получаем Т Р ~д~,-~" а'е = 0 и м' = — ) 1 ) — г(х ду г(з, где через г обозна8ядз .! „!,1 ду г чено расстояние между элементом с координатами х, у, з вблизи начала (0) и рассматриваемой точкой Р.
Если проинтегрировать это выражение по у, то найдем 1 ~ ~ ~~,д(еа ) проинтегрированный член исчезает вследствие условия, что е.г конечно только внутри пространства Т. Кроме того, поскольку предполагается, что размеры Т очень малы по сравнению с длиной д(г 'е 'м) волны, — можно вынести из-под знака интеграла. удобно ду будет также изменить значения х, у, е так, что теперь они будут представлять координаты точки Р относительно О. Таким образом, если считать теперь е,' средним значением Л' внутри пространства Т, то ТГ а ге- м'~ у (12) 8таа дг( г 7 г' Подобным же образом тх' д ге — 'ы~ х (13) 8гэа дг(, г ) г 406 (гл.
ххп кояввлния тввгдых твл Если обозначить через 2,соз(еИ полную силу, приложенную в начале, то 2„= Т2' ° Р, (18) так что решение (17) мо!кно записать в виде ( 2,з!и 0 соя д(Ы вЂ” г) „! 4ягза г Таким образом, амплитуда колебания, распространяющегося наружу, обратно пропорциональна расстоянию и прямо пропорциональна синусу угла между лучом и направлением, в котором действует сила. В последнем направлении не распространяется никакое поперечное колебание. Эти выражения можно применить для нахождения вторичного колебания, рассеивающегося в различных направлениях, когда плоские волны ударяются в небольшое препятствие, имеющее плотность, отличную от плотности остальной части тела.
Мы можем предполо!вить, что плоские волны выражаются формулой у = 1' соз уг (И вЂ” х) (20) и что они ударяются вначале о препятствие объема Т и плотности Р'. ,Цополнительная инерция твердого тела в этом месте могла бы компенсироваться силой (р' — р) т или — (о' — Р) 7!я!у!1' соа у!И, действующей во всем пространстве Т; и если бы такая сила была действительно приложена, то первичные волны распространялись бы без перерыва. Таким образом, можно рассматривать вторичные волны как создаваемые силой, равной и противоположной указанной и действующей в точке О в направлении, параллельном 2. Полная величина силы определяется выражением 2 соз у!И = (р' — Р) мэЬЯ ТЕ соз ЙИ, (21) так что в силу(19) вторичное смещение в удаленной точке(г, 0) равно (уг — Г) Даур з!и 0 соз Д(Ы вЂ” г) 4яу г (22) Следовательно, интенсивность рассеянного колебания обратно пропорциональна четвертой степени длины волны (1' задано) и прямо пропорциональна квадрату синуса угла между лучом и направлением колебания первичных волн.
Таким образом, если первичный луч направлен вдоль х, а вторичный — вдоль г, то вторичных колебаний совершенно не будет в случае, если (как предположено выше) первичные колебания параллельны з; но, если первичные колебания параллельны у, то имеются вторичные колебания с полной амплитудой (сйп 8 = !), и эти колебания совершаются в направлении, параллельном у ').
!) «Оп !Пе 1.!КВ! йоги !Ье 8ву, !Ь Ро!аг!гапон апв Со!опгю Рйт!. 7!4ахг,, том Х).1, стр. 107, 274, 1871; см, также Рлг!. Мак., том Х!.1, стр. 447, 1871, где помещено исследование случая, когда препягстзие отличается по упругости и по плотности от остальной среды. 376) 407 сил ц Рлспгвдвлвннля по пгямоп (2) Отсюда можно непосредственно получить,. Имеем 1 3ц Ггп -4("хт — ) 1= — 2 ~я>" >7х= " — =е 4, (5) 2яЬЯГ Гг2йх или, если мы восстановим временной множитель и опустим мнимую часть решения, —;= — соя й ( й( — х — — ь) ° 3ц Угв ! 1, (6) 2 Ваа 4Г2 376.
В 2 3?5 мы исследовали действие периодической силы Л> соз йЫ, локализованной в начале отсчета. Теперь мы перейдем к рассмотрению случая силы, равномерно распределенной вдоль бесконечной прямой. Имеются дза принципиально различных случая такой силы: первый †ког сила, оставаясь сама все время параллельноп оси л, распределена вдоль оси г, второй †ког сила распределена вдоль оси у. В первом случае, с которого мы и начнем, все движение происходит в двух измерениях симметричноотносительно ОЛ, причем оно таково, что а и 6 равны нулю, а 7 — функция только (ха+уз). Если, — что вполне достаточно, — мы ограничимся точками, расположенными вдоль ОХ, то е>' и е>ге исчезают, и нам остается только найти е>".
Простейшим путем, ведущим к цели, является интегрирование результата, представленного в выражении (16) 3 375. р77.' заменится 3> г(л, величиной силы, распределенной на элементе г(г; г обозначает расстояние от точки Р на ОХ до элемента да на Ох; 6 †уг между г и а. Вращение ь>е вокруг оси, параллельной у, вызываемое этим элементом силы, есть, таким образом, гйх»ле хе — ев~ 3яаяе гг При интегрировании х остается постоянным, и гэ=-хэ+гэ; так что, если положить г — х = й, то нужно рассмотреть выра>кение ге-шг Лг Ге->вм е-™ чй или г)Ггй — ха 2 (х+ й) ~l 2х+ lю 7гй Из этого интеграла можно получить строгое решение, но мы удовлетворимся, так же как в Э 342, предельной формой, получающейся при очень большом йх.
Таким образом, в качестве эквивалента выражений (2) получим 1 Ю вЂ” (ь — —.) 2е- а' '1' Ь -ев>~ Нй 2 гг яе хуг2х 1 )Гй х гг2йх и, следовательно, в качестве интеграла выражения (1) будем иметь й3 Угя '(Ь г) е (4) 4яааа >Г 2йх [гл. тхп 408 колгвлния твердых твл ЙЛггыу ма а е — е"" где г — расстояние между ~1у и Р, так что Ыу Лг аг г у Тг«я — Угя Полагая г — )с = л, получим, так же как в выражениях (2), (3) и (4), ЛЕн мп В )г и -'(гл-т") 4 леер ТГ 2ИГ (8) а для смещения, перпендикулярного Й, Ен з|п а У Я вЂ” ~1л~ч — ') (9) 2яавр )Г 2ЛР Следовачельно, силе Лы соя лЫ на единицу длины оси у соотвегствует смешение, перпендикулярное )т в точке Я, з), Емвща Р я ~ 1 соз л(М вЂ” )С вЂ” — 11. 2яввр р' 2Иг (10) 377.
Так же как в 2 375, мы можем воспользоваться результатами 9 316 для составления выражений вторичных волн, рассеиваемых малым, совпадающим с ОЕ и имеющим плотность р' цнлин- Это соответствует силе Лы соя ЙЫ на елииицу длины оси л. Вследствие симметрии мы можем применить выражение (6) к точкам, не расположенным на оси х, ваменив х через р'ха+уз.
То, что значение Т обратно пропорционально квадратному корню из расстояния от оси я, можно было предвидеть на основании принципа энергии. Можно было бы исследовать решение и непосрелственно, вырааив его через т, без ввеления вращений в. Остается рассмотреть случай, когда приложенная сита, все еще параллельная оси г, распределена вдоль 01', а не вдоль ОЕ. Точку Р, в которой рассматривается аффект, можно считать расположенной в плоскости ЛХ на большом расстоянии 17 от О в таком направлении, что угол ХОР равен О. Вслелствие двумерности силы р = О, а а и 7 не зависят от у.
Следовательно, е' и й'е равны нулю. Однако, хотя эти компоненты вращения равны нулю в результирующем зффекте, действие отдельного злемента силы Лы е1у, расположенного на оси у, будет более сложным. Но мы можем не входить в его рассмотрение, ибо, как и прежде, аффект зависит в действительности только от злементов, расположенных в соседстве с точкой О. Таким образом, вместо выражении (1) мы можем взять 409 377] ЛИНЕЙНОЕ ПРЕПЯТСТВИЕ дрическим препятствием, о которое ударяются первичные параллельные вочны.
Если выражение первичных волн дается (20) 9 375, то мы имеем р) ЬЯЬЯ ° ясв ° Г, (!) где ясз — площадь поперечного сечения препятствия. Таким образом, если обозначить )ггхз+уэ через г, будем иметь из (6) 9 376 в качестве выражения для вторичных волн (рг — р) Лз гся Г )Г я 1. — — — сов/г ~Ь/ — г — — л)= 2яр Рг 2лг 'л 8 я (рг — р) ° яся ° Г 2я ! 1 — — С05 — (Ьà — à — — г ргр у". л 8 где величина /г заменена эквивалентной величиной 2я/л. В этом случае вторичные волны симметричны, а их интенсивность изменяется обратно пропорционально расстоянию и кубу длины волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
