Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Случай сферы важен потому, что сфера представляет собой тело, ограниченное во всех направлениях. Симметричные радиальные колебания, чисто дилатационные по характеру, были впервые исследованы Пуассоном и Клебшем з). Полная теория была дана Иеришем з) и особенно Лэмбом з). Изложение этой теории можно найти в уже цитированном труде Лава.
Вычисления частоты осложняются наличием двух упругих постоянных х и и 9 373 или л и р 9 214. Из принципа, изложенного в 9 88, можно вывести, как заметил Лэмб, что частота увеличивается при любом возрастании как х, так и и, ибо, как оказывается иа (1) 9 343, и то н другое изменение увеличивает потенциальную энергию данной деформации. 38! з). В настоящем труде мы часто имели случай отмечать важность заключений, получаемых методом размерностей, Теперь, когда мы в состоянии извлекать иллюстрации из большого числа разнообразных акустических явлений, относящихся к колебаниям как твердых тел, так и жидкостей, удобно будет резюмировать и несколько подробнее развить принципы, на которых основывается этот метод, В случае таких систем, как колокола или камертоны, состоящих иэ однородного изотропного материала и совершающих колебания вследствие упругости, акустическими элементами являются форма, линейные размеры с, упругие постоянные д и р (9 149) и плотность р.
Следовательно, на основании метода размерностей период при прочих равных условиях пропорционален линейному размеру, по крайней мере, если амплитуда колебаний находится в той же пропорции; если же допустить закон изохронизма, то последнее ограничение можно отбросить. Действительно, поскольку г) Ргое. 1опй. МаГЛ. Вов., том Х)г!1, стр. 4, 1885; том ХХ, стр. 225, 1889. в) РосЬЬапппег, Сгегге, том 1.ХХХ!, 1875; СЬгее, Яиаг!.
Уоигп., 1888. в) С!евзсЬ, Тдеог!е лег Егазг!в!!а! 7езгег Кдгрвг, 1.рг, 1862. з) )аег1всЬ, Сгейе, том ьХХХ)Г!11, 1879. з) ЕашЬ, Ргос. Еопп, Магд. 3ос., том Х!11, стр. 189, 1882. в) Этот параграф был в первом издании под номером 348. 3811 пгинцип динамнчвского подоена размерности и и р равны соответственно ~1ЛбЕ-' Т-а1 и 1МЕ-з1, а р †отвлеченн число, то единственная комбинация раамерностей, которая может дать в результате размерность времени, есть Основание, на котором строится эта математическая стенография, — следующего рода.
Рассмотрим два геометрически подобных тела, механическое строение которых в соответствующих то ~как одинаково, и пусть они совершают подобные движения таким образом, что соответствующие изменения требуют времени '), пропорционального линейным размерам, — скажем, в отношении 11п. Тогда, если одно движение возможно как следствие упругих сил, то и другое будет возможным.
В самом деле, массы, которые должны двигаться, находятся в отношении 1(из, ускорения — в отношении 1/и-', а потому необходимые силы находятся в отношении 1/из; а так как деформации одинаковы, то это отношение в действительности есть отношение упругих сил, создаваемых ими и отнесенных к соответствующим площадям, Если упругие силы в состоянии выавать предположенное движение в первом случае, то они также в состоянии произвести предположенное движение во втором случае.
Динамическое подобие нарушается действием силы, подобной силе тяжести, пропорциональной кубам, а не квадратам, соответствующих линейных размеров; однако в случаях, когда тяжесть является единственной движущей силой, динамическое подобие можно сохранить, введя другое соотношение между соответствую- шими пространственными н временными величинами. Так, если отношение соответствующих пространственных величин равно 1уп, а отношение соответствующих времен равно 11п'Ь, то ускорения в обоих случаях одинаковы и могут являться действием сил, находящихся в отношении 1/аз и действующих на массы, которые находятся в том же самом отношении.
В качестве примеров, подходящих под эту рубрику, можно упомянуть простой маятник, морские волны, скорость которых изменяется прямо пропорционально корню квадратному из длины волньп и всю теорию подобия кораблей и их моделей, на основании которой Фроуд предсказывал поведение кораблей, исходя из экспериментов, проделанных над моделями небольших размеров. То же самое сравнение, которое мы применяли выше к упругим телам, применимо также к воздушным колебаниям.
В сравниваемых случаях давления одинаковы, а потому при действии на площади, находящиеся в отношении 1/па, они дают силы, находящиеся в том з) Понятие изменения масштаба в пространстве стало обычным вследствие широкого употребления карс и моделей;но соответствующее понятие для времени часто менее отчетливо. Воображеняю читателя может помочь ссылка нз музыкальное пронзведенне, исполняемое з различных темпах. 1гл. ХХИ1 4! б КОЛЕБАНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ же самом отношении. Эти силы действуют на массы, находящиеся в отношении 11лз, а потому вызывают ускорения, находящиеся в отношении 1/л-', которое представляет отношение действительных ускорений, когда пространственные и временные величины относятся, как 11а. В соответствии с этим периоды подобных друг другу резонирующих полостей, наполненных одним и тем же газом, прямо пропорциональны линейным размерам — чрезвычайно важный закон, впервые сформулированный Саваром.
Так как один и тот же метод сравнения применим как к упругим твердым телам, тзк и к упругим жидкостям, то можно распространить его на системы, в которых участвуют оба вида колебаний. Так, например, можно предположить, что при изменении масштаба системы, состоящей из камертона и воздушного резонатора, в движении произойдут только такие изменения, которые связаны с изменением времен колебания пропорционально изменению линейных размеров. До сих пор изменение масштаба предполагалось одинаковым во всех направлениях, но бывают случаи, не подходящие под эту рубрику, когда можно очень плодотворно применить принцип динамического подобия. Рассмотрим, например, колебания изгиба системы, состоящей ив тонкой упругой полоски, плоской или изогнутой. На основании Я 214, 215 мы видим, что толщина полоски Ь и механические постоянные д и р будут входить только в комбинациях рйз и Ьр и, следовательно, можно делать сравнения, хотя изменения толщины находятся в ином отношении, чем изменения других размеров.
Вели при пренебрежении толщиной линейная размерность есть с, то при прочих разных условиях времена должны изменяться пропорционально д-Ч ° р'Л ° ся ° Ь-'. Для данного вещества, данной толщины и формы времена поэтому пропорциональны квадратам линейной размерности. Не следует, однако, забывать, что подобные результаты, выражающие закон, только приближенно справедливый, находятся на ином уровне, нежели более непосредственные следствия принципа подобия. ГЛАВА ХХ!!1 ФАКТЫ И ТЕОРИИ СЛУХА 382. Тема настоящей главы имеет непосредственное отношение к уху как органу слуха, однако, она может быть рассмотрена здесь только с физической стороны.
Обсуждение анатомических или физиологических вопросов выходило бы за рамки данной книги и не соответствовало бы квалификации автора. Мы не можем при этом избежать постоянных ссылок на большой труд Гельмгольца' ). Хотя, как мы увидим, некоторые положения, выставленные автором, были отвергнуты (пожалуй, слишком поспешно) последующими исследователями, важность наблюдений и рассужденлй, содержзщнхся в этом труде, а равно и изящество, с которым они изложены, надолго обеспечивают этому труду роль исходной точки всех рассуждений, касающихся звуковых ощущений. 383.
з!иапазои частот, в пределах которых ухо способно воспринимать звуки, очень широк. Естественно, что предел не может быть точно определен. Гельмгольц на основании своих опытов заключил, что ощущение музыкального тона начинается примерно с 30 колебаний в секунду, но что различение высоты начинается не ниже примерно 40 колебаний в секунду. Г!рейер з) уверен, что он слышал чистые тоны даже при 15 колебаниях в секунду, но наи представляется сомнительным, чтобы октава была абсолютно исключена, При обзоре последних данных и в свете некоторых новых экспериментов ван-Шайка) не видит оснований для больших отклонений от оценки Гельмгольца и определяет предел примерно в 24 колебания в секунду. Относительно верхней границы расхождения еще больше. Несомненно, многое зависит от интенсивности колебаний.
В экспериментах с птичьими манками Я 371) выше 10000 колебаний ничего не было слышно, хотя чувствительные пламена отвечают на звук до 50000. Однако аккуратно возбужденные смычком камертоны ') Не!шйойг, ТолетрутлгуилЛел, 4 ебрйоп, 1877; ЗелеаГГоле оу Топе, второе английское издание, переведенное с 4-го немецкого издания Эллисом. Ссылки делаются нз зго английское издание, которое было дополнено многочисленными цепными примечаниями переводчика. з) Ргеуег, Рдуегоуолгееве Авйалг))илпел, Зепз, 1876. з) Зузп 5сьз!К, Агед. №егг., том ХХ1Х, стр. 87, !895. 27 зак 1лз взлез, и ФАКТЫ И ТЕОРИИ СЛУХА 418 1гл.
ххш или металлические стержни при ударе по ним молотком, повидимому, порождают слышимые звуки еше более высокой частоты. Прейер дает цифру 20000 как приблизительный верхний предел для нормального уха. В случае очень высоких звуков оценка частоты почти, или совершенно, исключается, так что для музыкальных целей не приходится рассматривать частоты выше 4000 сек. Следующим вопросом является вопрос о том, насколько точно можно оценить высоту тона невооруженным ухом, Здесь предполагается, что звуки прослушиваются последовательно, так как (8 59) при двух одновременно звучащих нотах точность сравнения, достигаемая методом биений, беспредельна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
