Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Решение, представченное выражением (10) 9 376, показывает, что если первичные волны 3 = В соз /г(Ь/ — х) (3) ударяются о то же самое малое цилиндрическое препятствие, то смещение, перпендикулярное к вторичному лучу, т. е, г, будет я( ' — ) "лся В соз а соз — (Ьà — г — — л), (4) где через 8 обозначен угол между направлением первичного луча (х) и вторичного (г). В этом случае вторичное возмущение пропадает в одном направлении, а именно, вдоль луча, параллельного первич- ным колебаниям. Возвращаясь к первому случаю, когда я и Р исчезают всюду, а у есть функция только от х и у, предположим, что вещество цилиндрического препятствия отличается от окружающего вещества по жесткости п', а также по плотности р'.
Условия, которые должны быть удовлетворены у цилиндрического препятствия, сугь у (внутри) = у (снаружи), и' — (знутри) = и — (снаружи). ду дг дг Во внешнем пространстве у удовлетворяет уравнению (9 373) д,, + д -+ Ь'у = 0 дзу дру дуз где /г = р/Ь, а в пространстве внутри цилиндра 7 удовлетворяет уравнению — '+ — +Ь'у=о, д'у дзу гв дхз дуз где й' = р/Ь', а Ь' обозначает скорость поперечных колебаний в веществе цилиндра. У(сследование вторичных волн, отбрасываемых 410 (гл. ххп колввания тввгдых твл препятствием, когда первичные плоские волны ударяются в него, при этом аналогично проведенному в $343; и мы приходим к заключению, что первичным волнам 2я т = рсоа —.' (Ьà — х) (5) соответствуют вторичные волны, отбрасываемые малым цилиндром под углом 0 с осью х, определяемые выражением 2я ясз ° 1'~З' — р и' — и 1 2вГ 1 — соз 8 ~ соз — ~Ьà — г — — )), (6) >,Выы ! 2р и'+ и 8 (аз — Ьв) — + Ьз т ва + рза дх (ав — Ьв) — „;+ Ьвтзр+ рвЗ (а — Ь ) — + Ьзр т+ р т дз д» (2) =О, (3) Положим — Р= т= + дзг дзу дат дхда ' дудг ' дхз (4) и соответственно д (тат), дгв (5) Подстановка этих значений в уравнение (1) дает дг дх дг (авгий+рв)(+ (ав — Ьз) тв)= О, так что (1) и (2) будут удовлетворены, если аж7ву 4- рву + (аз — Ьз) тв = О.
Та же подстановка в уравнение (3) дает (6) д, (азу~у, + рзу + (ав — Ь ) тв) + Ь~1зтв + рвтв+ а' = О, которое содержит выражение (2) как частный случай. 378. Теперь мы возвращаемся к основной задаче, уже частично рассмотренной в ф 375, — задаче о колебаниях в безграничном твердом теле, вызываемых периодической силой, приложенной в начале координат.
Уравнения (12), (13) и (14) ф 375 дают решение, позволяющее оценить аначения компонент вращения. Если, как мы в конце и предположим, твердое тело несжимаемо, то мы имеем в добавление к этому 8=0. На этом основании решение можно дополнить, однако будет более поучительным провести независимое исследование.
Так как в обозначениях ф 373 Х' = У' = О, то в силу (5) имеем 3781 4!1 силА, пРилОженнАя В точке или, в силу 16) откуда, в силу (6), «РЯ ) ьа) (РЯ л ЬЯ) у — О (9) Решение должно удовлетворяться всюду за исключением начала, уравнения (9) есть Р-Гз» Е-Р"г Х=А — +В г г (10) 3, в силу где А и  — постоянные. Соответствующие значения тв и (6) и (5), суть е-'Аг . д Р е-Р"»1 тв = ИА — — и е = — ЬЯ — ~ — ) . г да 1 г )' (11) Для того чтобы связать А и В с х,', имеем из уравнения 17), так же, как в 9 375, 4 ЬЯ,~,! ! ~ л~ ~У~~ 4 ЬЯ так что А= 4тЛЯЬЯР ' Далее, в силу (6) 9 373, , дГ !Рзб-+ ЬЯ3+ а-в — = О, дл так что, так же как в 9 375, '= '" ~И вЂ” "";"' -" " = ", Я""') Таким образом, сравнивая с (11), получаем (12) (13) я, е-~А~ — е-ал» Х= 4«л»ЬЗР г 114) Из определенных таким образом полностью значений у н м можно найти простым дифференцированием а, р, т, как указано в 14).
Имеем дз /е-'"»! хле «А» / ЛЯ ! Зрл 3 ! дл да 1 г ! га !, г+ га «л!' (15) 1рб) Ьа!7атв+ рзтв+ л' = О. Это уравнение определяет тв и отсюда, в силу (6), Х. В обозначениях 9 375 /з=р/Ь, й» р/а. Так как х.'=0 во всех точках, кроме начала, то уравнение (7) принимает вид: 1»а+ /РЯ) те = — О, (8) 412 [гл. ххп колгвлния твввдых твл Так как полные выражения довольно длинны, то мы ограничимся случаем несжимаемости (а = О). Таким образом, если восстановить временной множитель е'ж и отбросить мнимую часть решения, получится Аязхх ! Г 3 3 и = ~ ! — 1+ — [ соя (р1 — йг) — — ' з!п(р! — Iгг)— гз ,ага,~ Лг ' 3 —,, совр(~, (17) АЛЯ Гl аз Згз ! т = — [ [! — —. + — — 1 соз (рг — аг) + гз ' Лзгз Лзгя ! г ! Зля ~ / Заз ! + ~ — — — ) гйп(р! — йг) — [ — — ! совр!1' (18) '1лг л.~) [, Лзгз Лзгя г значение 8 отличается от значения а простой заменой х на у. Значение А определяется выражением (12), а лгсозр1 — полная сила, действующая в начале в момент времени !.
На большом расстоянии от начаза выражения (17) и (18) приводятся к виду и= — —— Х! хх соз !рà — Лг) (19) (20) в согласии с (19) 9 375. В. Кбниг !) отметил расхождение полного решения (!7) и (18), впервые данного в другой форме Стоксом Я), с результатами аналогичного в некоторой степени исследования Герца з), в которых отсутствуют члены, содержащие соз р! и сйп р1, причем он склонен бь!л рассматривать результаты Стокса как ошибочные.
Суть, однако, заключается в том, что рассмотренные обоими исследователями задачи существенно ралли шы, ибо задача, рассмотренная Герцом, не имеет никакого отношения к упругим твердым телам. Источник расхождения находится в первых членах (1) и т. д., которые были опущены Герцом в его теории эфира.
Но в теории упругих твердых тел эти члены, конечно, нужно сохранить. Если лаже вещество предполагается несжимаемым, так что 3 равна нулю, они все же должны быть сохранены, ибо, как это было полностью объяснено Стоксом в цитированной работе, множитель (аз — Зз) оказывается в то же самое время бесконечным. Если предположить в (17) и (18), что р и 7г очень малы, и проследить предельный вид решения, то получится решение статической задачи о деформации несжимаемого твердого тела силой, локализованной во внутренней точке тела. 1) 1(оп!я, !уг!еФ, Алл., том ХХХЧ!1, стр. 851, 1889. я) 8!охав, Сать.
РЫ!. 7гапг., том 1Х. стр. 1, !849,' Со!гастев' %'огдю том !1, стр. 243. з) Нег!г, !Гг!еа, Алп., том ХХХ!Г1, стр. 1, !889. 370) 413 отглжвнив плоских волн 379. В $ 373 мы видели, ~то в однородной среде плоские волны поперечного колебания и = О, р = О, Т = Г соа (р1 — йх) (1) могут распространяться безгранично. Теперь мы предположим, что на положительной стороне плоскости х = 0 среда изменяется так, что плотность вместо р равна р,, а жесткость вместо л равна л,.
В проходящей волне р остается тем же самым, но й переходит в й,, причем д плгд й лдг (2) Предполагая, как это будет сейчас доказано, что изменение фазы отсутствует, мы можем написать выражения для проходящих и отраженных волн в виде Тд = Гд сов (р1 — й,х), Т = 1 соз(рт+ йх), (3) так что полное значение т в первой среде есть т = Г соз (рà — йх) + Г' соя(рГ+ йх), а во второй Тд = Гд соя (рг — йдх). (4) (6) Условия, которые должны быть удовлетворены на промежуточной плоскости х=О, не подверженной действию внешних сил, суть дтд дч (6) так что Г+ Г' = Гд, лй (à — 1') = л,йдрд.
(7) Если, что вполне возмодкно, Г' и Г, определяются в соответствии с (7), то все условия выполнены. Имеем 1' лй — лдйд )д пя — и' пдвд лй+ пдйд ~Гпр+ ~лдяд ' 1'д Г+Г' 2 дд лг г =У вЂ” — „аЧУ вЂ” „„, (8) эти уравнения определяют отраженные и проходящие волны. Частные случаи, когда р, = р или л, = и, можно отметить особо. Когда падение волн на плоскость, разделяющую оба тела, происходит наклонно, то задача становится более сложной и распадается на две части в зависимости от того, совершаются ли колебания (всегда перпендикулярные к падающему лучу) в плоскости падения или же в перпендикулярной плоскости.
Мы не будем вхолить в рассмотрение этих вопросов, которые часто дискутировались с оптической точки зрения. Метод исследования, созданный в основном Грином, подобен методу, примененному в й 270. )гл. ххп колязлния тэзгдых тгл Полное изложение его с необходимыми ссылками дано в книге Ваззе), Тгеаг!зе оп Рйуз!са! Орг!сз, гл. ХН. 880. Колебания твердых тел, ограниченных свободными поверхностями, имеющими плоскую, цилиндрическую или сферическую форму, можно исследовать без больших затруднений; однако этот вопрос относится скорее к теории упругости. Искомые функции координат для бесконечной пластинки постоянной толщины являются просто круговыми и экспоненциальными функциями '). Решение аадачи для бесконе пюго цилиндра Я) связано с функциями Бесселя и представляет интерес, так как дает более полный обзор продольных н изгибных колебаний тонкого стержня.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
