Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Так, если мы предположим, что (/ всюду положительно, а дз(7/дуз всюду отрицательно, и что (г есть наибольшее значение (7, то мы найдем, что п+ Ю должно быть положительно, 367. Предполагая зазихренность Л постоянной во всех слоях конечной толщины н изменяющей значение только при переходе ограниченного числа плоскостей, для каждой из которых у постоянно, мы получим класс задач, допускающих весьма простое решение. В этих случаях кривая скорости состоит из отрезков прямых, пересекающих друг друга под конечными углами.
Предполагается, что такое положение вещей нарушается изгибанием поверхностей перехода, На протяжении всего слоя постоянной завихренности дз(//дуз =- О, а потому, в силу (7) В 366, всюду, где и- — , '/з(/ не равно нулю, мы имеем — — /ззо= 0; дзо решением этого уравнения является о = Аезе+Ве-ьк. (2) Если имеется несколько слоев, в каждом из которых е. постоянно, то следует скомбинировать вместе различные решения вида (2), 373 367! слОи постоянной ЗАВихгвнности выбрав произвольные постоянные так, чтобы удовлетворить определенным граничным условиям.
Первым из этих условий, очевидно„ является непрерывность о или, как это можно выразить иначе, Ьо = О. (3) А(ругое необходимое условие можно получить путем интегрирования уравнения (7) й 366 по поверхности перехода. Таким образом ( — + У) ° б( — ) — б( — ) ° = Ю. (4) Таковы условия, необходимые, чтобы скорость была непрерывной в местах, где дУ/ду меняет свое значение. В задачах, которые мы будем рассматривать, жидкость либо ограничена неподвижной плоскостью, на которой у постоянно, либо же имеет бесконечное протяжение.
Для первого случая условие просто имеет вид о = О. Если имеется г слой, простирающийся в бесконечность в поло>кительном направлении, то в выражении (2), применимом к этому слою, А должно быть равно иул>о; если >ке слой имеет бесконечное протяжение в отри- 1 Ь цательиом направлении, то должно исчезать соот1 ветствующее В. 1 В качестве примера первого случая мы рассмотрим задачу, имеющую довольно обьций характер, 1 1 когда ламинарное стационарное движение происходит между неподвижными стенками у = О и у=д,+Ь'+Ьв Завихренность постоянна на протяжении каждого из трех слоев, ограниченных у =- О, у = Ь,; у = Ь„ у = Ь,+Ь'1 у = Ь, +Ь', у = — Ь>+Ь'+Ья (фиг. 67).
Мы имеем, таким образом, две внутренние поверхности, на которых завихренность изменяется. Значения У на этих поверхностях можно обозначить через У,, Ув, В соответствии с условием (3) и при условии, что о = О при у=О, мы можем положить в первом слое и= о, =вЫгу; (5) и> и Фиг. 67 во втором слое о = ов = о, + М, враг (у — Ь,); в третьем слое о = оз —— ов+ Мв в» Ь (у — Ь, — Ь').
(7) Условие, что о = О при у = Ь, +Ь' + Ь, теперь дает О=МввйЬЬв+М,в(>Ь(дя+Ь)+в(>Ь(Ь,+Ь'+Ьг). (3) Нам остается еще выразить два других условия (4) на поверхностях перехода. На первой поверхности о = в)> ЬЬы б — = ЙМ>; ду 374 вихвввов движение н чгвствитвльныв пллмзн* [гл. хх1 на второй поверхности о= М1 з)э йь'+ и'и й(Ь1+Ь'), Ь вЂ” = Йм. дв ду Обозначив значения Й(ди/ду) на обеих поверхностях соответственно через Йы Ьэ, мы придадим нашим условиям вид: (и+Йиг) Мг — Ь1 з3 йьг = О, (9) <~-~-Йи )м,— ь,(м, 3 йь'+.й й <ь„+ь)) = о. (1о) В силу (8), (9), (10) значения М„М, и определены. Уравнения для п найдем, приравняв нулю определитель этих трех уравнений. Это уравнение можно записать в виде Апэ+ Вл+С = О, (1! )  — 4АС = 4ЬгЬ зй4 йь-)- .+<й <и, — и) зй Й <2Ь+Ь)-1-<Ь вЂ” Ь~ зй ЙЬ ай й <Ь+Ь))в, <19) где А = зй Й (Ь, +К+Ь,), (12) В = Й(У +из) зИ й(Ь, +Ь'+Ь )+ +Ьв зй ЙЬэ з!1 й (Ь, +Ь )+ е, зя И, зп й (Ьэ+Ь ), (13) С = Йви,и зй Й <Ь +.Ь'+-Ь,)+ + Й У1дэ зп Иэ зп Й (Ь, + Ь')+ Й У Ь, зп йь, зп й (Ь +Ь')+ +д,дв зп И, зп Ия зй И'.
<14) Для того чтобы определить характер корней, нам нужно образовать выражение Вв — 4АС. Сделав приведение, получим ВЯ вЂ” 4АС = (й (У вЂ” У ) зй й (Ьэ+Ь'+Ь,)+ +Ь, зп ЙЬ, зй й (Ьз+Ь') — б зп йьэ вй й (Ь,+ Ь'))з+ +41,ья зйэ И, з3э И . (15) Следовательно, если Ьд, о имеют одинаковый знак, т. е. если кривая скорости <3 366) направлена выпуклостью всюду в одну и ту >ке сторону, то Вя — 4АС положительно, и оба значения и действительны. При этих обстоятельствах возмушенное движение устойчиво. Предположим теперь, что поверхности, на которых происходит изменение завихренностн, расположены симметрично, так что Ь, = да = Ь.
В этом случае находим А = ай й(2Ь+Ф), (16) В = й (У1+УД зй Й (2Ь+Ь)+(Ь,+йя) зй И зй й(Ь+Ь ), (17) С йяи,и зпй(2Ь+Ь)+й(У1ьв+ИДДзййьзйй(ь+Ь')+ +Дав зйэ йь зн ЙЬ', (18) 367) 375 ЗАКРЕПЛЕННЫЕ СТЕНКИ Здесь имеются два подслучая, которые можно отметить особо. Первый — это тот, в котором значения У одинаковы по обе стороны от средней плоскости, так что средний слой представляет область постоянной скорости без завихренности; кривая скорости для этого случая изображена на фиг. 68. Мы можем предположить, что в среднем слое У= )г, а на стенках У= О, не жертвуя общностью, поскольку любая постоянная скорость Уо, наложенная на эту систему, просто изменяет а на соответствующую величину в РАУВ, как это очевидно из уравнения (7) Э 366.
Таким образом, )г У =У=$', б =б =б= —— Ь ВЯ вЂ” 4АС = 4бэ зй' )зЬ; следовательно, )г АГ1 ЛЬ зп Ь(Ь+ Ь') =' з)1ЕЬЬ Ь ай Ь (2Ь+ У) (20) Как и следовало ожидать, поскольку кривизна кривой скорости всюду одного знака, значения а в выражении (20) действительны. Легко видеть на основании симметрии, что оба нормальных возмущения таковы, что значения о ! на поверхностях раздела либо равны, либо противоположны для данного значения х.
В первом слу- л~ чае поверхности изогнуты в одну и ту же сторону и (как это легко получить из уравнений л или вывести из частного случая, который будет ! сейчас упомянут) соответствующее значение л в вы- г— ражении (20) имеет верхний знак. Во втором случае движение симметрично относительно средней плоскости, которая ведет себя подобно неподвижФиг. 68. ной стенке.
Если средний слой отсутствует (Ь'= 0), то одно из значений и — то, которое соответствует симметричному движению, — исче. зает. ОстаЮшееся значение дается соотношением 2ЕПЯЬЬ Р)П ЬЬ зп 2ЛЬ Ь (21) (22) Здесь В=О и С = — И1гз зп Ф (2Ь+Ь')— — 2/г)А)/Я зй Н зй lз(Ь+Ь) — )АЕ)ГЕ з)1э ЬЬ ЕФ )зЬ'. Другой случай, который мы рассмотрим,— это случай, когда скорости У по обе стороны от средней плоскости противоположны друг другу, так что У = — Уя — — (г, бя — — — б = — )А)г. 376 ВихРЯВОе дВижение и чувствителы!Ые пламенл [Гл.
хх! откуда 1 1 2 р.= — или р = — — —— Ь Ь Ь'' (24) Когда р лежит между этими пределами (и только тогда) пз отрицательно, и возмущение (с большой длиной волны) возрастает со временем экспонендиально. Мы можем выразить эти результаты через скорость [гз у стенки, где у = О. Имеем ь+ть 1 Ь+ — Ь' 1 +Вгб= И, ' +рЬ 2 ЬГ 2 — Ь' Следовательно, предельные значения уз суть И"/ — Ь и О. Кривая 1 2 скорости, соответствующая первому пределу, изображена на фиг.
70 линией ь7РОР'Ц', точку Я найдем, проведя прямую АЯ параллельно ОР до встречи со стенкой в ('). Если Ь' = 2Ь, то ЯР параллельна ОА, или скорость постоянна в каждом из крайних слоев. Лля второго предела Уз = О; кривая скорости изображена на фиг. 71. Ради краткости обозначим зб=р, )ЬЬ'= р', так что уравнение для п принимает вид; пз аззй(23+3')+2амаййай(Р+Р')+разняла зйзр' ая)гя лз з)!(2Р + В!) [! зьз зь з +ьзь(В+Я )[з ьззьгр ьз зь Ь' зп (2[! + В') (23) Здесь оба значения и равны и противоположны; и поскольку В! и ая имеют противоположные знаки, постольку вопрос о том, является ли а действительным или мнимым, остается открытым.
Непосредственно очевидно, что и действительно, если р положительно, т. е, если б! и Р имеют Р, , 'одинаковые знаки, как на фиг. 69. ,О д Даже если р отрицательно, пз необходимо положительно для больших значений (з, т. е. для малых длин волн. В самом деле, в конечном счете Ь [ '— [ Ь мы имеем из (23) р' в = ~)г1'. Фяг. 69, Теперь мы можем исследовать, для каких значений р лз может быть отрицательньщ, если !з очень мало, т.
е. если длина волны очень велика. Приравнивая числитель выражения (23) нулю и разлагая в ряд гиперболические синусы, мы получаем в качестве квадратного уравнения для р выражение: рвь Ь-[-2, Ь(Ь-+Ь')-~-2Ь+Ь' = О, 3671 377 злкгвплзнныз стенки 1 2 Ь Ь'' то получим, после приведения, Ьвав Ьв1гв 3 (26) что указывает на неустойчивость. Из соотношения (23) в его второй форме мы видим, что, каково бы ни было значение К можно р определить так, чтобы возмущение было неустойчивым.
Условиеч этого будет просто, чтобы р было заключено между пределами в1! Ь (Ь + Ь') =!- вп ЬЬ вп ЬЬ в)! ЬЬ! или — Ь ( с()вЬЬ+сЯ вЂ” ЬЬ')(, — Ь ( с(п )гЬ+16 2 ЬЬ'); (26) первое из этих условий соответствует верхнему пределу численного значения )в. Если Ь очень велико, то пределы очень велики и близки друг к другу.
Если )г мало, то они принимают вид: 1 2 1 — -- — — и — —, Ь Ь' Ь' что уже было доказано. По мере того, как Ь возрастает от 0 до оо, численное значение верхнего предела непрерывно растет от 1/Ь+2/Ьг до оо, и подобным же образом численное значение нижнего предела растет от 1/Ь до оо. Поэтому движение не может быть устойчивым для всех значений !г, если (в (будучи отрицательным) превосходит по численному значению 1)Ь. Окончательным условием полной устой- Сушественно заметить, что движения, изображаемые кривыми скорости, промежуточными между этими предельными случаямн, обладают неустойчивостью такого характера, который был бы невозможен для движения, кри- ! вая скорости которых имеет ! ! ! ! ! всюду кривизну одного знака, ! как на фиг. 68.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
