Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 10
Текст из файла (страница 10)
319, 1808. 251! соотношения между сковостью и плотностью 43 предить образование отрицательной волны. Ясно, что ответ па вопрос, возникнет или нет в какой-либо точке отрицательная волна, зависит от состояния в непосредственном соседстве с этой точкой, а не от состояния в областях, удаленных от нее, и будет поэтому определяться критерием, приложимым к малым возмусцениям.
Применяя этот критерий, мы должны рассматривать скорости и с>катия не как абсолютные, а как относительные — относительно тех, которые господствуют в соседних частях среды; таким образом, выражение (1) нужно для настоящей цели взять в форме ГЭр лз'р (2) откуда и= (3) это н есть зависиьюсть между и и р, имеющая место в положительной бегущей волне, Урав>сессна (2) было получено аналитичеасн Ирн шоу '). В случае закона Бойля 1г — постоянно, и соотношение ме>кдг д,.О г1; скоростью и плотностью, впервые выведенное, повидимому,! ельчгольцем ), имеет вид: (4) и =а1п — ' зв ' ') Еагпвйаж, Рдгг. Тглг>е., стр.
146, 185Ц е! Не!шйойх. Рог>еедгг!Ге ссег Рйкеге, !Ч, стр. 106, 1852. в! 8!окей «Оп в Р!!!!спйу !и Ше 'срйеосу о1 атос>пд», РЬИ, Ма8., ноябрь !848. если рв — плотность, соответствующая и = О, В этом случае интеграл Пуассона позволяет нам составить себе определешюе представление об изменении типа, сопровождающем ранние стадии перемещения волны, и приводит пас, в кс,пце концов, к аатруднению, которое до сих пор еще пе преодоленов). Если мы построим кривую, представляющую распределение скорости, отложив х по оси абсцисс и и по оси ординат, то соответствующую коивую по истечении времени Г мы можем найти с помощью следусощего построения.
Через всякую точку первоначальной кривой проводим параллельно оси х-ов в положительном направлении отрезок прямой липни длиною (а + и)Г или, поскольку пас интересует только форма кривой, длиною иб Геометрическое место концов этих лнпнй есть кривая скорости по истечении времени б Но этот закон построения кривой не может бьчть справедливым пеопределесшо дол~о. Гребни кривой скорости непрерывно нагонюот впздины ее и должны, в конце концов, их догнать. После этого кривая давала бы два значения и для одного значения х, и картина, )гл.
хс возлхшные колввлния изображаемая ею, перестала бы соответствовать действительности. В самом деле, мы не вправе применять интеграл дальше той точки, в которой скорость претерпевает разрыв, или кривая скорости имеет вертикальную касательную. Чтобы найти, когда это случится, возьмем две соседние точки какой-нибудь части кривой, опускающейся вниз в положительном направлении, и вьшсним, по истечении какого времени эта часть кривой станет вертикальной. Если разность абсцисс равна дх, то залняя точка догонит переднюю за время Их:( — Ии).
Таким образом, скорость, определяемая уравнением Пуассона, становится разрывной по истечении времени, равного обратной величине наибольшего отрицательного значеди ния — взятой с положительным знаком. дх ' Предположим, например, что и = У соз — ' (х — (а + и) 1), 2л л где У вЂ” наибольшая начальная скорость. Когда 2 = 0, наибольшее ди 2л0 отрицательное значение — есть — —, так что разрыв имеет дх Л л место в момент 2 = — .
2лУ' Если имеет место разрыв, то обычные дифференциальные уравнения неприменимы; дальнейшее изменение скорости поэтому до сих пор не исследовано. Вероятно, как это было предположено Стоксом, при этом происходит нечто вроде отражения. Мы должны, однако, соблюдать здесь осторожность и отличать чисто математические вопросы от физических. На практике мы имеем дело со сферическими волнами, расходимость которых сама по себе может быть достаточной для того, чтобы устранить тенденцию к разрыву.
Кроме того, в реальных газах, прежде чем мог бы появиться разрыв, закон давления, несомненно, начнет изменять свою форму, и пренебрегать влиянием вязкости уже будет нельзя. Эти рассуждения, однако. не имеют ничего общего с математической задачей определения того, что произошло бы с волнами конечной амплитуды в среде, свободной от вязкости, где давление при всех условиях строго пропорционально плотности; эта задача еще не решена.
Заслуживает замечания следующее обстоятельство: хотя мы и можем представить себе волну конечного возмущения существующей в любой момент времени, все же имеется предел продолжительности ее предыдущего независимого существования. Проводя линии вместо положительного в отрицательном направлении, мы можем проследить историю кривой скорости; мы видим, что по мере того, как мы продвигаемся в нашем исследовании все дальше и дальше в прошлое, наклон кривой вперед становится меньше, а наклон ее назад — больше. Для времени, равного наибольшему 2521 45 ИССЛВДОВАНИВ ИРНП!ОУ дх положительному значению — н предшествующего тому моменту, ди в который впервые рассматривается кривая, мы получим разрыв скорости.
252. Полное интегрирование точных уравнений (4) и (6) 9 249 в случае бегущей волны было впервые выполнено Ирншоу'). Отыскивая основания для мнения, по которому в звуковой волне всегда должно удовлетворяться уравнение (1) он заметил, что результат дифференцирования выражения(1) по г, т. е. выражение (2) можно, воспользовавшись произволыюй функцией Р, заставить совпасть с любым динамическим уравнением, в котором отношение дву дву ду д)в дхв — и — выражается через —. Форма функции Р, таким образом, дх' определена, н решение может быть завершено путем обычного процесса, применимого к таким случаям з). Обозначив для краткости — через а, мы можем написать ду дх с(у = — дх + — и!! = и с(х+ Р (и) дг, ду ду интеграл найдется исключением и из уравнений у = ах+ Р(а) !+ р (а), 0 = х+ Р'(а) !+ 9'(а), где и равно —, а 9 — произвольная функция.
Рв Р Если р=а$, то точное уравнение (6) 9 249 имеет вид: (4) сравнивая его с (2), мы видим, что Р'(и) ==, (5) нлн, после интегрирования, Р(а) = С -+ а 1ои а, (6) как это люжно было заключить и из(4) 9251. Постоянная Собращается в нуль, если Р(а), т. е. и, обращается в нуль, когда а= 1 1) Еагпвиаж, Ргосеедглдл оУ гзе )РоУа! 5ос!егУ, Янв.
б, 1859; РИ!г, Тгальи стр. 133, 18бб, з) Воо!е, Огууегспг!а! Едиаггопгь гл. Х!'1!. [гл. х> ВОЗДУШНЫЕ КОЛЕВЛНИЯ или р=о; другими словами, эта постоянная представляет собой скорость среды как целого, не имея ничего общего с самой вол>щй. Лля положилгельиой бегущей волны следует брать нижние знаки. Так, вместо (3), мы имеем у = хх — а !п иг+ 9(а), 0 = их — аг+ х9'(и) (7) где Р=а!п 9+и, !>=а!и р — и. (4) >) В. Я!ещапп, 1)ВЬег д!е рог>рйапхппй еЬепегьпй>че1!епчоп епг[1!снег Всй>ч!пр~пйзч>е>це», С>о!г!Вяеп, Аьдапигип8еп, гом Н!!1, 1860. См.
также превосходный реферат в григ!лене>УГе аег РйуеГЛ, ХУ, стр. 123. [Можно также сослаться на статью: С. Ч. Впггоп, Рли. >Ь>ау., ХХХХХ, стр. 317, 1893.) и =. — а[п х = а[оц— У 0 Если мы вычтем второе из уравнениИ (7) из первого, то получим у — ат+ ат !п и = >ь (и) — ир'(и), откуда, согласно (8), мы видим, что у — (а+и)г есть произволь- ная функция и или и. Поэтому, обратно, и есть произвольная функция у — (а+и)Г, и мы ма>кем написать и = 7 ( у — (а (- и) 1[. (9) Уравнение (9) представляет собой не что иное, как интеграл Пуассона, рассмотренный в предыду>цем разделе, где символ х имеет тот >ке смысл, какой здесь имеет у, 253.
Проблема плоских волн конечной амплитуды привлекла также внимание Римана, мемуар которого был сообщен Королев- скому Обществу в Геттингене 28 ноября 1859 года'). Исследова- ние Римана основывает.я на общих уравнениях гидродинамики, изученных в Я 237, 238, и не ограничивается каким-либо част- ным законом давления. Однако, чтобы не расширять незаслуженно рассмотрение этой ~>асти нашего предмета, изложенной уже, может быть, более подробно, чем это можно оправдать ее значением для акустики, мы ограничимся здесь случаем закона давления Бойля.
Прилагая уравнения (1), (2) 8 237 и (1) 9 238 к условиям рассматриваемой задачи, л>ы получим ди ! ди, д!Ва — +и — = — аэ дг ' дх дх д1пь д!и» ди — +и — --= — — —. дг ' дх дх' Если умножить (2) на ='а, а затеи слолгить с (1), то получится: дР дР д!) д>3 — = — (и+ а) —, — =. — (и — а) —, дг дх' д> дх ' (3) 253) 47 исследовлние гиплнл Таким образом, г(Р = — — — )дх — (и+ а) Ж), дР д дО (5) (6) '! В этом пункте в работу Римана вкралась, повидимому, ошибка, которая исправяепа в реферате, помещенном в тсогсвсйгуггв двг Рдузуд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
