Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 13
Текст из файла (страница 13)
В форме, приданной опыту Кбнигом '), два маленьких электромагнитных счетчика управляются камертонным прерывателем (э 64) с периодом в одну десятую долю секунды и дают синхронные тиканья того же самого периода. Когда счетчики находятся рядом, слышимые тиканья совпадают, но когда один счетчик постепенно удаляют от уха, то обе серии тиканий обособляются. Когда разность расстояний составляет около 34 метров, совпадение снова имеет место; это доказывает, что 34 метра составляют приблизительно то расстояние, которое проходит звук за одну десятую долю секунды. (На основании опытов, сделанных в трубах, Виолль н Вотье э) дают для свободного воздуха 331,10.
Результат включает поправку, достигающую 0,68; последняя имеет более или менее теоретический характер, так как представляет собой предполагаемое влияние трубы (0,7 м диаметром).! ГЛАВА Х!! КОЛЕБАНИЯ В ТРУБАХ 2бб. Мы уже рассмотрели (2 245) решение нашего основного уравнения, когда потенциал скорости в неограниченной массе жидкости является функцией только одной пространственной координаты. В отсутствии трения введение любого числа неподвижных цилиндрических поверхностей с образующими, параллельнымн данной координате, не вызвало бы никакого изменения; действительно, даже при отсутствии этих поверхностей жидкость не имеет тенденции двигаться через них. Если одна из цилиндрических поверхностей замкнутая (по отношению к ее поперечному сечению), то мы имеем важную проблему аксиального движения воздуха внутри цилиндрической трубы; это движение, если механические условия на концах трубы заданы, не зависит от того, что происходит вне трубы.
Рассмотрим простое гармоническое колебание; мы знаем (2 245), что если ~р изменяется пропорционально е'"', то — „+Аэ~р =О, дав а'ха где 2к л А= — = —. Х а' (2) Решение может быть написано в двух формах: ~р = (А сов Ах + В ейп Ах) е'"', ср = (Аееах + Ве-Рсю) еш! причем в окончательной форме этих уравнений мы удержим только действительные их части. Первая форма наиболее удобна, когда колебание стоячее или близкое к нему, а вторая — когда движение сводится к положительной или отрицательной бегущей волне. Постоянные А и В в символическом уравнении могут быть комплексными, и, таким образом, окончательное выражение в действительных величинах будет заключать челгыре произвольные постоянные. Если мы желаем пользоваться действительными величинами на всем протяжении решения, мы должны положить р=(А соз Ах+ Вяпйх) сов лг+(С сов Ах+В з1п йх) з(п аб (4) 255! узлы и пучности — = — мА яп1гхе'"' дв дх откуда, если заменить А через Рем и отбросить мнимую часть, й = Р соз 1ех соз (л1+ О), дв — = — йР яп йх сов(п1+0).
(7) дх Из этих уравнений мы видим, что дух обращается в нуль всюду, где з!пйх=О, т. е. что кроме начала координат узлы ! имеются в точках х= — тЛ, где т — всякое положительное или 2 отрицательное целое число. В любом из этих мест можно было бы поместить поперек трубы нормально к х бесконечно-тонкие твердые плоские перегородки, нисколько не нарушая движения. Посредине между каждой парой последовательных узлов имеется лучноеть, т.
е, место, где нет изменения давления, так как бр = — р7, (6) й 244. В любой из этих пучностей можно было бы установить сообщение с внешней атмосферой, не вызывая этим никакого воз- мущения движения воздухом, проходящим внутрь или наружу. Пучности — места максимальной скорости, а узлы — места макси- мального изменения давления. Через промежутки длиною Л вся картина в точности повторяется. Если в точке х = 1 имеется, как и в начале координат, узел, то з!и й1=0, или Л = 21/т, где т — положительное целое число.
Самым низким тоном, с каким может звучать воздух, содержа- щийся в закрытой с обеих сторон трубе длины 1, является, поэтому, тон, который имеет длину волны, равную 21. Этот вывод хорошо оправдывается независимо от того, каким газом наполнена труба, но при этом выкладки будут, вообще говоря, длиннее. В тех слу- чаях, когда не может возникнуть никаких неясностей, мы будем иногда для краткости опускать или вновь вводить множитель, содержащий время, не упоминая об этом особо.
Уравнения, подоб- ные (!), конечно, одинаково справедливы, будет ли подразумеваться этот множитель или нет. Взяв первое из выражений (3), мь> можем написать е = А соз Фх + В яп 1ех, дв — = — ФА яп йх+мВсоз 1ех. (5) дх Если имеется некоторая точка, в которой ч> или дй1дх все время равны нулю, то отношение А: В должно быть действительным, и тогда волна является стоячей, т. е.
одинакова по фазе во всех точках одновременно. Предположим, что в начале координат имеется узел. Тогда при х = О дфдх обращается в нуль †услов, из которого следует В = О. Таким образом, м = А соз йх е'"Ч (6) 58 [гл. хп КОЛЕБАНИЯ З ТРУБАХ но частота, т. е.
место тона в музыкальной шкале, зависит также и от природы газа. Период колебания дается выражением А 21 (8) а а Другие тоны, возможные для трубы, закрытой с обоих концов, имеют периоды, в целое число раз меньшие периода наиболее низкого тона, а вся система образует гармоническую шкалу. Предположим теперь,— не останавливаясь в настоящий момент на том, как обеспечить такое положение вещей, — что в точке х = 1 вместо узла ииеется пучность. Уравнение (6) дает соя 1е1 = 6, откуда ) =41/(2т+!), где «г — нуль или целое положительное число. В этом случае самый низкий тон имеет длину волны, равную учетверенной длине трубы, считаемой от узла до пучности, другие же тоны образуют с ним гармоническую шкалу, в которой, однако, отсутствуют все члены четного порядка.
256. С помощью твердой перегородки нетрудно получить узел в любой желаемой точке трубы, но условие для пучности, требующее, чтобы давление ни при каких обстоятельствах не менялось, можно реализовать только приближенно. В большинстве случаев изменение давления в любой точке трубы можно сделать малым, установив свободное сообщение с внешним воздухом, Таким именно образом Эйлер и Лагранж принимали постоянство давления в качестве условия, которое удовлетворяется на конце открытой трубы. Впоследствии мы возвратимся к проблеме открытой трубы и исследуем с помощью строгих приемов условия, удовлетворяющиеся на открытом конце. Для нашей непосредственной цели достаточно знать— это, впрочем, довольно очевидно, — что открытый конец трубы может рассматриваться как пучность, если диаметром трубы можно пренебречь в сравнении с длиной волны, при условии, что само внешнее давление вблизи открытого конца не меняется по какой- либо причине, не зависящей от движения внутри трубы.
Когда имеется некоторый независимый источник звука, то давление у конца трубы такое же, какое было бы в этом самом месте, если бы труба была удалена. Препятствием, не позволяющим удовлетворить условию для пучности в любой желаемой точке, является инерция механизма, требующегося для поддержания давления. Для теоретических целей мы можем не обращать внимания на эту трудность и представить себе лишенный массы поршень, прижимаемый сжатой пружиной, также не имеющей массы.
Предположение о наличии пучности у открытого конца трубы равносильно пренебрежению инерцией воздуха, находящегося снаружи. Мы видели, что если в какой-либо точке трубы существует узел, то должен быть целый ряд таких узлов, расположенных 1 через одинаковые интервалы — А; далее. что посредине между ка- 2 ждыми двумя последовательными узлами должна быть пучность и 257] ОТРАЖЕНИЕ У ОТКРЫТОГО КОНЦА 59 что волна в трубе должна быть стоячей.
Такое же заключение справедливо и в случае, когда в какой-либо точке имеется пучность, однако вполне возможно, что в трубе вообще не будет ни узлов, ни пучностей; так, например, обстоит дело в случае, когда движение сводится к положительной или отрицательной бегущей волне. В стоячей волне перенос энергии вдоль трубы не имеет места ни в каком направлении, так как энергия не может прохо. дить через узел или пучность, 257. Соотношения между длинами открытой или закрытой трубы и длинами волн заключенных в них столбов воздуха можно исследовать также, проследив за движением импульса, под которым понимается волна, заключенная в узких пределах и состоящая из равномерно сжатой или разреженной жидкости.
Рассматривая вопрос с этой точки зрения, необходимо тщательно учесть обстоятельства, при которых имеют место различные отражения. Предположим сначала, что импульс перемещается в положительном направлении, к перегородке, закрепленной поперек трубы, Так как энергия, заключенная в волне, не может уйти из трубы, то должна существовать отраженная волна, а то, что эта отраженная волна также является волной сжатия, следует из факта отсутствия потери жидкости. К этому же заключению можно прияти другим путем.
Эффект перегородки можно имитировать, введя на одинаковом расстоянии аналогичную волну сжатия, движущуюся в отрицательном направлении. Так как обе эти волны — волны сжатия и распространяются они в противоположных направлениях, то скорости жидкости в обеих волнах равны н противоположны и поэтому нейтрализуют друг друга, когда волны налагаются. Если распространение отрицательной отраженной волны прерывается второй перегородкой, то происходит такое же отражение, и волна, все еще остающаяся волной сжатия, снова приобретает свое положительное направление. Когда пройденное расстояние равно удвоенной длине трубы, то первоначальное положение вещей полностью восстанавливается, и этот цикл повторяется сам собой неопределенно долго.
Мы находим, таким образом, что период в закрытой с обоих концов трубе есть не что иное, как время, необходимое импульсу, чтобы пройти дважды длину трубы. Случай трубы с одним открытым концом несколько отличается от этого. Дополнительная отриц«тельная волна, необходимая для имитации эффекта открытого конца, должна, очевидно, быть волной разрежения, способной нейтрализовать положительное давление первичной волны сжатия, и таким образом, в акте отражения волна изменяет свой характер волны сжатия на волну разрежения или волны разрежения на волну сжатия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
