Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Мейер' ) предложил сделать связь между температурой и длиной волны основой пирометрического метода, однако я не знаю, был ли когда-либо осуществлен этот эксперимент. Правильность (1) для воздуха при температурах 0' и !00' была подтверждена экспериментально !(ундтом, См. 9 260. В различных газах при заданных температуре и давлении а обратно пропорционально корням нвадратным из плотностей, по крайней мере, если т постоянно в). [для постоянных неожи>каемых газов Т не может заметно отклоняться от значения для воздуха.
Так, в случае водорода скорость больше, чем лля воздуха, в отношении 249[ 99 ТОЧНОЕ УРЛВНЕНИЕ ПЛОСКИХ ВОЛН 249. В предыдуших разделах теория плоских волн была выве- дена из общих уравнений движения. Мы перейдем теперь к не- зависимому исследованию, в котором дни>кение описывается через действительное поло>кение слоев воздуха, а не при помощи потен- циала скорости, введение которого не является более необходимым, так как в одном измерении не может быть вопрсса о молекуляр- ном вра>ненни е). ду Если у, у + †- с>х определяют в момент времени 1 действидх тельное положение двух соседних слоев воздуха, положения рав- новесия которых определиются координатами х и х+с[х, то плот- ность о воздуха, заключещюго между этими слоями, дается выра- жением ду ' дх' откуда, в силу (9) ф 246, (2) прн этом предполагается, что расширения и сжатия происходят по адиабатическому закону. Масса единицы площади слоя есть родх, а соответствующая движущая сила — -- дх, др дх что лает для уравнения движении да> др ро —..
+— дм дх Из (2) и (3) следует исключить р. Таким образом, Уравнение (4) есть точное уравнение, определяющее действительную абсциссу у через абсциссу равновесия х и время. Если г дк х>"' предположить, что дан>кение мало, то величину ~=), стоящую [,дху доу в качестве коэффициента при малой величине —, можно заменить дга ' ее приближенным значением — единицей; тогда (4) принимает вид: дау рот дау (б) дж оо дха — это обычное приблимсенное уравнение.
Если расширение изотермическое, как в теории Ньютона, то уравнения, соответствующие (4) и (5), получаются просто, если положить Т = 1. о) [Под молекулярным вра>пением здесь и далее подразумевается вихревое движение жидкосги. Рад.[ 40 [гл. х~ Воздушныз кОлеБАния (2) (4) Так как соотношение между давлением и плотностью для действительных газов отличается от (5), мы заключаем, что существующая сама по себе стационарная воздушная волна есть нечто невозмож. Каково бы ни было соотношение между р и р, что зависит от природы среды, уравнение движения, в силу (1) и (3), есть (6) из него следует исключить с помощью соотношения (1) между р и — величину р, входящую а —. ду др дх др ' 250. В проведенном выше исследовании воздушных волн мы предполагали, что воздух находится в покое, если не считать возмущений, вызываемых звуковыми колебаниями; но мы можем, конечно, приписать всей массе рассматриваемого воздуха какое угодно общее движение.
Если мы предположим, что воздух движется в направлении, обратном направлению распространения волн, и с той же самой действительной скоростью, то форма волны (при условии, что она неизменна) будет неподвижна в пространстзе, и движение будет установившимся. В настоящем разделе мы рассмотрим проблему именно в таком аспекте, так как весьма важно достигнуть максимальной ясности в наших взглядах на механику распространения волны. Если ио, ро, ро обозначают, соответственно, скорость, давление и плотность жидкости в ее невозмущенном состоянии и если и, р, р — те же величины з какой-либо точке волны, то уравнение непрерывности имеет внд (1) Р" = рояо и, Б силу (5) 3 244, для уравнения энергии р др ! о 2 1 2 р* Исключая и, мы получаем -( — ) р а — = —, ио1! — — ) оГР 1 „l роА 2 о1 рог' (3) Ро — уравнение, определяющее закон давления, при котором единственно и возможно, чтобы в жидкости, движущейся со скоростью ио, могла существовать неподвижная волна.
Из (3) Фр ро др по ро или о о "оро р= сопз1 — — ' (5) 41 2511 волны нанзменного ВидА ное, какова бы ни была скорость ие общего потока, или, другими словами, что волна не может распространяться относительно невоз- мущенных частей газа, не изменяя своего типа. Тем не менее, когда изменения плотности малы, уравнению (5) можно удовле- творить приближенно; и мы видим из (4), что скорость потока, необходимая для того, чтобы сохранить волну неподвижной, дается выражением АР (6) ив которое совпадает с выражением для скорости волны, оцениваемой относительно жидкости.
Этот метод оассмотрения вопроса показывает, может быть, яснее, чем всякий другой, истинную природу соотношения $245 (3), (4) между скоростью и сжатием. В стационарной волновой форме увеличение плотности связано, согласно принципу энергии, с убылью скорости, и поэтому жидкость, образующая сжатые части волны, движется вперед медленнее, чем жидкость в невозмущенных частях. Поэтому относительно жидкости движение сжатых частей проис- ходит в том же направлении, в каком распространяются самые волны.
Если соотношение между давлением и плотностью отличается от (5), то стационарная волна может поддерживаться только при помощи внешней силы. Согласно (1) и (2) 3 237 мы имеем, пред- полагая, что движение — установившееся, Х=и — + — —, а'и 1 йр (7) ах р Их' между тем как соотношение между и и р имеет вид (1). Если мы предположим, что р = аэр, то (7) примет вид: Х= (из — аэ) и!пи (8) а'х Это уравнение показывает, что внешняя сила необходима всюду, где и переменно и не равно а. 251.
Причину изменения характера движения, возникающего, когда волна предоставлена самой себе, понять нетрудно. Из обыч- ной теории мы знаем, что бесконечно малое возмущение распро- страняется с некоторой скоростью а, которая представляет собой скорость относительно частей среды, не возмущенных волной.
Рас- смотрим теперь случай волны настолько длинной, что изменения скорости и плотности на значительном расстоянии вдоль нее неза- метны, и вообразим, что в том месте, где скорость и конечна, на нее наложена малая вторичная волна. Скорость, с которой распространяется через среду вторичная волна, есть а, но ва счет скорости местного движения самой среды полная поступательная скорость есть а + и; она зависит от того, в каком участке длин- ной волны наложена малая волна. То, что было скааано о вто- ричной волне, прилагается также и к частям самбй.длинной волны. 42 1гл, хг Воздушныв колввлння Мы видим, таким образом, что по истечении времени т место, где была найдена некоторая определенная скорость и, перемещается из своего первоначального положения на расстояние„ равное не аг, по 1а+и)г, илп, как это еще можно выразить, и распространяется со скоростью а + и, В символическом обозначении и =-/1х — 1а + и) тК где / есть произвольная функция, — уравнение, впервые полученное Пуассоном ').
Из только что приведенного рассуждения на первый взгляд могло показаться, что изменение типа было необходимо связано с перемещением волны, независимо от всяких частных предположений о виде соотношения меигду давлением и плотностью; однако в $ 250 было доказано, что в случае одного частного закона давления изменение типа не имело бы места. Но в настоящем разделе мы молчаливо предполагали, что а постоянна, и тем самым ограничили себя законом Бойля. Прн всяком другом законе давле- Гггр пня яг — есть функция р, а потому, как мы увидим, н и. В слу- У кя чае закона, выраженного уравнением 15) Ч 250, соотношение между и / лр и о для бегущей волны таково, что 1/ — — +и постоянно, т. е. гга в поступательном движении задержка, обусловленная замедлением распространения при возрастании плотности, компенсируется наложением скорости и.
Поскольку дело касается природы самой среды, ничто не мешает пам приписывать произвольные зпа ~ения как и, так и р, но в бегущей волне между этими двумя величинами должно существовать некоторое соотношение. Мы угке знаем 19 245), что это имеет место, когда возмущение мало; следующее рассуждение не только покажет, что такого соотношения следует ожидать и в случаях, где должен сохраняться квадрат скорости, но даже и определит форму соотношения.
Каков бы ни был закон давления, скорость распространения малых возмущений, согласно Ч 245, равна у —, и в положи/ г1р тельной бегущей волне соотношение между скоростью и сжатием (1) Если это соотношение в какой-либо точке нарушается, то возникает волна, распространяющаяся в отрицательном направлении. Представим себе теперь случай положительной бегущей волны, в которой изменения скорости н плотности происходят очень постепенно, но становятся значительными в результате накопления, и выясним, каким условияч следует удовлетворить, чтобы преду- ~) Ро1зэоп, «Мето1ге авг 1а Твеог1е пп 8оп,, /оиглаг Пе Ллсо1е ро!угесвпщпе, гом Ч11, стр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
