Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В случае постоянной плотности полная убыль жидкости за время дГ равна, таким образом, ~ ~ — ляг[1, гдв интегрирование распространяется по всей поверхности 5, Если пространство Я заполнено целиком как в начале, так и в конце промежутка времени Ж, то эта убыль должна обращаться в нуль; таким образом, ~ г ~ — "„дЛ= б. дл (1) Применение этого уравнения к элементу Ихсгуг[з дает в качестве уравнения непрерывности несжимаемой жидкости дгв дгя дгг (2) дуг 2421 19 ПОТВНЦИАЛ СКОРОСТИ или, как обычно пишется, ЧвЧ = О. (3) Если желательно работать с полярными координатами, то преобра- зованное уравнение легче получить непосредственным примене- нием (1) к соответствующему элементу объема, нежели путем преобразования (2) по правилам замены независимых переменных.
Таким образом, если мы возьмем полярные координаты в пло- скости ху, так что х=гс050, у=г5!п0, дзу 1 дч 1 дьг двР ЧЯЧ = — + — — + — — +— дгв г дг га д05 двз мы найдем или, если взять полярные координаты в пространстве, х = г 5(п 0 соз ~о, у = г 5!и 0 5!и а, в = г соз В, В специальных случаях, например, когда имеется симметрия относительно оси г в (3), уравнение принимает более простую форму.
Если жидкость сжимаема и движение таково, что квадратами малых величин можно пренебречь, уравнение непрерывности в силу (3), й 238, имеет вид: М+ЧЧ=О; (6) Ч5Ч в этом уравнении можно взять в той форме, которая окажется наиболее удобной для рассматриваемой задачи. 242. Безвихревое движение несжимаемой жидкости внутри некоторого односвязного замкнутого пространства Б полностью определяется нормальными скоростями на поверхности 8. Если О есть некоторая материальная оболочка, то очевидно, что ее поверхности можно сообщить произвольную нормальную скорость; эта нормальная скорость должна быть воспринята непосредственно соприкасающейся с оболочкой жидкостью, при условии, что весь заключенный в оболочке объем остается неизменным.
Если жидкость ранее находилась .в покое, то ее частицы не могут приобрести под действием давлений вращательного движения, а это показывает, что возможнотакопределитьфункцию Ч, чтобы всюду в пространстве, охватываемом О', было Чвй = О, между тем как на поверхности — имело бы предписанные значения, ограниченные дт дл единственным условием ~~ ф и=О. (1) Аналитическое доказательство этого важного предложения дается в А!а!ига! РЫ!Оворлу Томсона и Тэта, й 317.
го ВОЗДУШНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ~гл х! Нетрудно показать, что возможно только одно решение задачи. По теореме Грина, если 7ЯТ = О, то причем интегрирование в левой части производится по всему объему, а в правой части — по поверхности 5. Если теперь м и О+бу— две функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа и дающие предписанные поверхностные значения — то их разность А~у есть дг дл ' функция, также удовлетворяющая уравнению Лапласа и удовлетворяющая на поверхности 5 условию — = О. дЬр дл При этих условиях двойной интеграл в (2) обращается в нуль, и ддт дат дав мы заключаем, что во всякой точке 5 величины— дх ' ду' дг должны быть равны нулю. Другими словами, А~я должна быть постоянной величиной, и оба двимсения томгдественны.
Как частный случай, в объеме 5 не может существовать движения безвихревого характера, независимо от движения поверхности. Ограничение односвязными пространствами оказывается необходимым в силу ограниченной применимости теоремы Грина, которая, как впервые было указано Гельмгольцем, только и может иметь место в этом случае. Когда пространство 5 многосвязно, то безвихревое движение является определенным, если кроме нормальной скорости в каждой точке 5 заданы значения постоянных циркуляций вдоль каждого из возможных несводимых контуров. За полным рассмотре- Ю А нием эгого вопроса читатель отсылается Е к оригинальному мемуару Томсона, здесь же мы удовлетворимся случаем двухсвязного пространства, которого б> дет доста- Е точно для иллюстрации. С Пусть АВСΠ— бесконечная замкнутая на себя труба, внутри которой происходит безвихревое движение жидкости.
Фиг. б4. Для этого движения должен существовать потенциал скорости, частные производные от которого, выра>кающие, как это и должно быть, компоненты скорости, необходимо однозначны, но который может сам по себе и не быть однозначным. Проще всего преодолеть трудность, обусловленную неопределенностью р, вообразив, что поперек кольца помещен барьер АВ так, чтобы проход был закрыт. Пространство АВСАуВАЕГ будет тогда односвязным, и теорема Грина прилагается к нему без всяких изме- воздгшныв колввлния (гл, хг жидкостью, не имеющей циркуляции, и приведет к расширению теоремы Стокса по отношению к молекулярному вращению. Действительно, если вся жидкость (движущаяся с потенциалом скорости) вне сферической полости некоторого радиуса внезапно отвердеет, то жидкость внутри полости не может сохранить движения; или, как мы можем это еще формулировать, всякая сферическая часть (несжимаемой) жидкости, совершающей безвихревое движение, внезапно отвердев, обладала бы одним поступательным движением, без вращения').
Аналогичное предложение будет справедливо для цилиндрического диска, или цилиндра с плоскими основаниями, в случае жидкости, обладающей безвихревым движением только в двух измерениях. Движение несжимаемой жидкости, которая в некоторый момент находилась в покое, отличается замечательным свойством ($ 79), общим всем тем системам, которые приводятся в движение с предписанными скоростями, именно, их энергия является наименьшей возможной. Если предположить, что уравнению непрерывности и граничным условиям удовлетворяет некоторое другое движение, то его энергия будет необходимо больше энергии движения, полученного из состояния покоя з). 243.
Тот факт, что безвихревое движение несжимаемой жидкости определяется потенциалом скорости, удовлетворяющим уравнению Лапласа, является основой далеко идущей аналогии между движением такой жидкости и движением электричества или теплоты в однородном проводнике; эту аналогию часто полезно иметь в виду, То же самое можно 'сказать о связи между всеми областями физики, которые связаны в математическом отношении с понятием потенциала, так как часто бывает, что аналогичные теоремы далеко не одинаково очевидны. Так, например, теорема, согласно которой — 5=О для вамкнутой поверхности, если раТ= О, всего нагляднее при интерпретации ее для жидкости, но, будучи однажды получена, она может быть применена и к электрическим или магнитным силам. Наоборот, в теории теплопроводности или теории электричества очевидно, что внутри поверхности 8 не может быть установившегося движения, которое не сопровождалось бы переходом через некоторую часть граничной поверхности: если перенести этот результат на несжимаемые жидкости, то мы получаем важный, но сам по себе не очевидный закон.
г) Тпошзоп, ЧогГек Моууоп, !ос. сй. Я) (Читателя, который погкелает продолжить изучение общей гидродннамнкн, мы должны отослать к трактатам Лзмба н Бассета.) 244) УРАВНЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ 244. Если потенциал скорости существует, уравнение для опре- деления давления можно написать в более простой форме. Мы имеем из (1), $ 240, сИ = а!(т — — а'Р+ — г1сРУ, ;1! 1 (01 2 (1) откуда в результате интегрирования получим Но — = — -+ ия+ ня+ тая, Г~т дв А11 д( так что Р дг 2 (2) — ~ рпг= — аР. 1'.
Р К этому же самому заключению можно притти непосредственным применением принципов механики к случаю импульсивного движения. Если р = хр, то уравнение (2) принимает форму дт 1 х! он р Рг — — — — с(а. дс 2 Если движение таково, что компоненты скорости в одной и той же точке пространства всегда остаются одними и теми же, то оно называется установившимся, и Р оказывается независимым от времени. Урввнение давления тогда имеет вид: — =я — — уа, др 1 Р 2 (4) или в случае, если внешние силы отсутствуют, — = С вЂ” — уя. др ! Р 2 В большинстве акустических приложений уравнения (2) скорости и сжатие малы; мы можем поэтому пренебречь членом — У' и заме- 1 нить ~ — череа —, если ар обозначает малую переменную (' Фр ар Р Ра (б) что представляет собой обычно даваемое выражение. Если р постоянно, то ~ — заменяется, конечно, череа —.
Г лр Р .3 Соотношение между р и у в случае движения, возникшего под действием импульса из состояния покоя, можно получить иа (2) путем интегрирования. Мы видим, что в конечном счете [гл. х> 24 возд»шныв колгдыния часть р; таким образом, ар да — =й —— дт что вместе с —,+ тяф =0 (6) (7) представляет собой систему уравнений, посредством которых должны исследоваться малые колебания упругой жидкости. Если аэ = Р так что ер = аерпт, то (6) принимает вид др дв ' дг авв = й —— дг ' (8) и мы получаем, исключая в, —. = — + аяЧям. дат д>к дг> дт (9) 245. Простейший вид волнового движения — тот, в котором отклонения каждой частицы параллельны некоторой неподвижной линии и одинаковы во всех плоскостях, перпендикулярных к этой линии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
