Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Все величины можно выразить тогда через х и г, где г = )гуя+вя; движение происходит здесь в плоскостях, проходящих через ось симметрии, Если компоненты скорости, соответственно параллельные и перпендикулярные оси симметрии, суть и и о, то уравнение непрерывности имеет вид: д(ги) + д(Ч) =0 дх д~ (6) что, как и прежде, эквивалентно равенствам д, д( ги = — ', гд= —— (7) Уравнения движения, получаемые из (1), (2) 2 237, имеют вид: дш ди ди ди ди — =Х вЂ” — — и — — о — — м —, дх д( дх ду дг' и еще два других той же формы, относящиеся к у и в. Согласно предположению (2) дХ д)' ду дх' так что путем дифференцирования первого из приведенных выше уравнений по у и второго по х и последующего вычитания мы где ф — функция тока.
239. Почти во всех случаях, с которыми мы будем иметь дело, уравнения гидродинамики допускаюг замечательное упрощение в силу следующего предложения, впервые высказанного Лагранжем. Если для некоторой части жидкой массы выражение иИх+ог(у+ + твдябудет в какой-либо момент времени полным дифференциалом, то оно останется таковым в течение всего последующего времеви.
В частности, если жидкость первоначально находилась в покое, а затем была приведена в движение консервативными силами и давлениями, переданными извне, то величины ди дэ дм ди ди ди дл ду ' дх дг ' ду дх (которые мы будем обозначать через с, т), '.) никогда не могут стать отличными от нуля.
Мы принимаем, что р есть функция р, и будем писать для краткости доказательство стокса нсключае)к в и внешние силы, получая уравнения, которым может быть придана такая форма: Ж ди до /ди до'з г к+ 771 да ' дз ~дх ду) 778 0~ и еще два других той же формы, определяющие — и —. хИ 771 ' В случае несжимаемой жидкости мы можем заменить выражедп до дгз ние — + — его эквивалентом — — и, таким образом, получаем дл ду дз — = — ~+ — 1+ — '- Ы ди до дщ, 771 дз дз дз (4) Это — те уравнения, которые Гельмгольц положил в основу своего вывода теорем о вихрях.
Если движение имеет непрерывный характер, то коэффициенты при с, т1, г в полученных выше уравнениях все конечны. Обозначим через 7. их наибольшее численное значение и через ь) — сумму численных значений !, Ть '. Согласно предположению, Я вначале равно нулю; спрашивается, может лн ьз с течением времени сделаться конечным? Предыдущие уравнения показывают, что этого произойти не может; действительно, скорость увеличения ы' для некоторой данной частицы всегда меньше ЗЬЯ. Но если бы даже эта скорость достигала значения Зз,о, все же й никогда не сделалось бы конечным, как это видно из решения уравнения : = Зз'.й. (б) А 1огбог!, в действительном случае й не может отличаться от нуля, и то же самое должно иметь место в отношении з, т1... Следует отметить, что это заключение не было бы нарушено и в том случае, если бы налицо имелись силы трения, действующие на каждую частицу и пропорциональные ее скорости: вто можно видеть, если подставить в уравнение (2)') вместо Х, 'г, л.
величины Х вЂ” хи, 'г — хо, Л вЂ” хтв. Иначе, однако, обстоит дело с теми силами трения, которые действительно существуют в жидкостях и которые зависят от относительных скоростей их частиц, Первое удовлетворительное доказательство рассматриваемого сейчас важного предложения было дано Коши, а то, которое приведено выше, принадлежит Стоксу з). Р!едостаточно, однако, показать только, что всякий раз, когда!, Ть г обращаются в нуль, то обращаются 771 ууз1 к в нуль и их производные †', †, †', хотя это обстоятельство часто рг ' рг ' рг ' г) Вводя такие силы н пренебрегая членами, зависящими от инерции, мы получили бы уравнения, приложимые к движению электричества через однородные проводники, з) Ьгойез, Сатоггдкв Тгапз., том ЧП!, стр.
307, 1845; В. А. Керогг оп Нубгобупаш!сз, 1847. 1гл. х1 еовдяшные колевлння и упускают нз виду. Когда тело, находившееся в покое, падает под г действием силы тяжести, то з зя; отсюда, однако, не следует, что з никогда не сделается конечным. Чтобы оправдать это заключе. ние, необходимо было бы показать, что з обращается в нуль в прелеле не только для первого порядка, но и лля всех более высоких порядков малой величины Г, чего, без сомнения, нельзя сделать в случае падающего тела. Если, однако, уравнение имеет вид з з, то все производные от з по Г обращаются в нуль вместе с Г, если само з обладает таким свойством,' и тогда законно заключение, что з никогда не может отличаться от нуля, Согласно теореме, принадлежащей Стоксу, моменты количества движения относительно осей координат некоторого бесконе шо малого сферического участка жидкости равны соответственно величинам с, тн ч, умноженным на момент инерции данной массы жидкости; таким образом, эти величины ("., т1, ".) можно рассматривать как компоненты угловой скорости мсидкости в той точке, к которой они относятся.
Если Е тн ". равны нулю во всем пространстве, занятом движущейся жидкостью, то любой внезапно отвердевший малый сферический участок жидкости сохранил бы единственно поступательное движение. Доказательство этого прелложения в общей форме будет дано немного позднее. Теорема Лагранжа заключается, таким образом, в утверждении, что частицы жидкости, лишенные в какой-либо момент времени вращения, никогда не могут его приобрести. 240.
Несколько иной прием исследования был избран Томсоном, который дал в высшей степени поучительный обзор всего предмета' ). В силу основных уравнений Ви Вв Вгв им = ХЫх+ у г(у+ г.'дз — — г(х — — Ну — — аХ 01 ВГ ВГ Но Хг(х+Уиу+ аг(г= г(гг, если силы консервативны, и Ви, Рв Вгв — г(х+ — Ыу+ — Ыя = ВГ ВГ ВГ В 0 ах 0 иу 0 йя = — (и и'х + о Иу + ы йз) — и — о — — хв— ВГ ВГ 01 01 где Вкх Вх 01 01 Таким образом, если Уз= из+из+хва, то (ш=ся — — (и (х+оду+7О уг)+ —,Ну 0 з Вг 2 (!) 1) Ткотзоп, чуонех Мо11оп», Ытьигдд ТгаиаасГГоиз, 1869.
17 240) ИССЛЕДОВАНИЕ ТОМСОНА. ЦИРКУЛЯЦИЯ или / 1 — (идх+оду+то йг) = й (ет+ — (7э — а). (2) Интегрируя это уравнение вдоль некоторой конечной дуги кри- вой Р,РЯ, движущейся вместе с жидкостью, мы имеем — ~ (и с(х + о йу+ ш дг) = са слг =(К+ —,' (7 — ) -(Н+ —,' иэ — ), где индексы (внизу) служат для указания того, что значения функ- ции, заключенной в скобки, берутся в точках Р. и Р,, соответ- ственно. Если кривая является замкнутым контуром, то — ~ (и дх+ о йу + то да) = О, О (4) или, выражая это словами, Криволинейный интеграл от тингенциальной компоненты скорости вдоль любого замкнутого контура, принадлежащего движущейся жидкости, остается постоянной величиной в течение всего времени движения, Данный криволинейный интеграл называется циркуляцией скорости; предыдущее предложение может быть формулировано так: циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, движуще.чуся вместе с жидкостью, остается постоянной.
В состоянии покоя циркуляция скорости, конечно, равна нулю, так что если жидкость приведена в движение давлениями, переданными извне, или консервативными силами, то циркуляция по любому замкнутому контуру должна всегда оставаться равной нулю, а для этого необходимо, чтобы выражение и йх+ойу+тейг было полным дифференциалом. Ио отсюда еще не следует, что, обратно, в безвихревом движении никогда не может быть циркуляции, если только не известно наперед, что о — однозначная функция; в противном случае действительно не требовалось бы, чтобы ~ де7 обращался в нуль для замкнутого контура.
Все, что можно было бы сказать в таком случае, это, что циркуляция по любому замкнутому контуру, который можно свести в одну точку, не выходя из пространства, занятого жидкостью, совершающей безвнхревое движение, равна нулю, или, более обще, что циркуляция одинакова для всех сводимых друг к другу замкнутых контуров. Два контура называют сводимыми друг к другу, если один из них можно получить из другого непрерывной деформацией, не выходя из пространства, занятого жидкостью, совершающей безвихревое движение. В овальном пространстве, подобном тому, которое заключено внутри эллипсонда, все контуры сводимы друг к другу; поэтому, если некоторая масса жидкости этой формы совершает безвихревое 2 Зак.
Ыгг. Раааа, П 18 воздзшныв колввлния [гл, х~ движение„циркуляция по любому замкнутому контуру, проведен- ному внутри нее, не может отличаться от нуля. Такие пространства называются односзязными. Напротив, в кольцеобразном простран- стве, подобном тому, которое ограничено поверхностью якорного кольца, замкнутый контур, идущий вокруг кольца, нельзя свести непрерывным образом к точке, и поэтому вдоль него может суще- ствовать циркуляция, хотя бы движение во всем объеме и было безвихревым. Однако циркуляция равна нулю для всякого замкну- того контура, который не обходит вокруг кольца; для всех же контуров, охватывающих кольцо, она имеет одно и то же постоян- ное значение.
[В предыдущих теоремах «циркуляция» определяется независимо от массы. Если плотность жидкости всюду одинакова, то количе- сглво двигкенил вдоль замкнутого контура пропорционально цирку- ляции, в случае же сжимаемой жидкости должна быть учтена непропорциональность этих величин. Существование потенциала скоростей не позволяет в этом случае заключить, что интеграл количества движения вдоль замкнутого контура обращается в нуль.[ л4!. Если и дх-[-оду +глЫх является точным дифференциа- лом а~у, то скорость в любом направлении выражается соответ- ствующей скоростью изменения функции гг, которая называется потенциалом скорости, и выражение ди до дю - — + — +— дх ду дх может быть заменено следующим: дгч дгч дгв — + — + —, дхг дуг дгй ' Если о обозначает некоторую замкнутую поверхность, то скорость, с какою жидкость вытекает наружу через элемент с[5, выражается дя дг через — г[5, где — есть скорость изменения у в направлении дл ' дл наружной нормали.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
