Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Предполо>ким поэтому (принимая )к = О), что Ч есть функция только х (и 1). Наше уравнение (9) 2 244 принимает тогда форму — ~=аэ— дтз = дхв одинаковую с уравнением, рассмотренным уже в главе о струнах. Мы нашли там, что общее решение уравнения (1) есть Ч =7'(х — аС)+ Р(х+ аГ); (2) оно описывает распространение независимых волн в положительном и в 'отрицательном направлениях с одинаковой скоростью а. В тех пределах, в каких допустимо пользоваться приближенным уравнением (1), скорость звука совершенно не зависит от формы волны; она, например, одна и та же для простых волн: 2я ( = А соз —. (х — аг), >, или, в силу (8) 9 244, и — аз=О.
Аналогично для отрицательной волны и+аз = О. (4) какова бы ни была длина волны. Условие, которое удовлетворяется положительной волной, а следовательно, и начальным возмущением, если возбуждена одна положительная волна, есть дт , дв дх дг 25 245! ПЛОСКНЕ БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ (5) а смещение ! — выражением А 2к ".
= — — соз —, (х — аг). а х Давление р = ро+ ор, где, согласно (6) 9 244, 2к . 2е йр= — —.р аА з!п — '(х — аг). ,о Л (8) Отсюда, если !у' обозначает работу, переданную через единицу площади плоскости х за время 1, — = (Ро + ор) ! = — роа ! — ) Аь + периодические члены. Если интегрирование по времени распространяется на некоторое число полных периодов или, практически, если область интегрирования достаточно велика, то периодические члены можно опустить и взять (9) или, в силу (3) и (6), если под ! подразумевать максимальное значение скорости, а под у — максимальное значение сжатия, ь гг = 2 ро:впг = 2 Ро"зээ!. (!0) Таким образом, работа, затраченная на образование волн гармонического типа, та же самая, какая потребовалась бы для того, чтобы сообщить максимальную скорость ! всей массе воздуха, через которую распространяются волны ').
1) Самая равняя, по монк сведениям, формулировка принципа, содержащегося в уравнении (!0), находится в стагье В. Томсона «О возможной плотности передающей свет среды н о механическом эквнвалекте кубической мили солнечного света», Р!ьп. Мак., том 1)(, стр. Зб, 1885. Каково бы ни было начальное возмущение (и и У произвольны), его всегда можно разделить на две части, удовлетворяющие соответственно (3) и (4) и распространяющиеся без всякого изменения. В каждой составляющей волне направление распространения совпадает с направлением движения слгатых частей жидкости. Скорость, с которой переносится энергия через единицу площади плоскости, параллельной фронту бегущей волны, может рассматриваться как механическая мера интенсивности излучения. В случае простой волны, для которой 2я о=А сов — (х — ат), скорость ! частицы в точке х (равная — ) дается выражением дг 1 дх) ' 2к .
2к ". = — —.' А з!и —.— '(х — ат), (6) х л 26 [гл. х~ воздушныв колввлния Если выразить этот результат через максимальное отклонение $, то, в силу (7) и (9), сз 18'= 2к'рз,—,(э1= 2 эр аГ'— , (11) ') где -~ = †) — период.
В данной среде механическая мера интенсивЛъ а) ности прямо пропорциональна квадрату амплитуды и обратно пропорциональна квадрату периода. Читатель должен, однако, остерегаться сделать предположение, что механическая мера интенсивности колебаний различных длин волн является правильной мерой громкости соответствующих звуков, как они воспринимаются ухом. Во всякой плоской бегущей волне, будет ли она гармонического типа ипи нет, полная энергия распределяется поровну между потенциальной и кинетической. Наиболее просто получить этот результат можно, вероятно, рассматривая,'как образуются положительная и отрицательная волны из начального возмущения, энергия которого полностью потенциальнаяэ).
Полная энергия для каждой из двух образовавшихся бегущих волн, очевидно, одна и та же, и вместе энергия этих воли дает энергию первоначального возмущения. Кроме того, в каждой бегущей волне сжатие (или разрежение) составляет половину того, которое существовало в соответствующей точке вначале; таким образом, погпеппиальпал энергия каждой бегущей волны составляет одну четверть энергии первоначального возмущения. А так как, — мы зто только что видели,— полная энергия каждой волны равна половине того же количества, то мы заключаем, что в бегущей волне любого типа половину энергии составляет потенциальная энергия и половину — кинетическая.
Это же заключение можно вывести также из общих выражений для потенциальной и кинетической энергии и из соотношений между скоростью и сжатием, выраженных уравнениями (3) и (4), Потенциальная энергия элемента объема Жг есть та работа, которая была бы получена при расширении соответствующего количества газа от его действительного до его нормального объема; расширение происходит при этом всюду против нормального давления р . В какой-либо фазе расширения, когда сжатие равно з', действующее давление Зп, согласно 8 244, есть азр з'1 это давление должно быть умножено на соответствующее увеличение объема п('с(з'. Полная работа, приобретенная при расширении от й)7 до г(У(1+а), равна поэтому аярсгг)' ~ з'ггв' или — азр,г(Ь' ° зэ.
Следовательно, о 1) Возавяие1, РИй. Мак., том Х1.Ч, стр. 1?3, 1873. з) РИИ. Мад. (5) 1, стр. 280, 1878. 246] исследОВАние ньютонА общие выражения для' потенциальной и кинетической энергии таковы: 1 потенциальная энергия = — азра ~ ~ ~ ззй(г, (12) кинетическаЯ энеРгиЯ =ах Ро ~ ~ ~ и~й)'1 1 (~з) в случае плоской бегущей волны, для которой и=-+ аг.
эти величины равны. Если плоские бегущие волны — гармонического типа, то и и г во всякий момент времени являются круговыми функциями одной из пространственных координат (х), и поэтому среднее значение квадратов их равно половине максимального значения. Отсюда полная энергия волн равна кинетической энергии всей данной массы воздуха, движущейся с максимальной скоростью, какую можно найти у волн, или потенциальной энергии той же самой массы воздуха, сжатой до максимальной плотности, встречающейся у волн.
]Следует отметить, что если удержать члены второго порядка, то чисто периодическое значение и уже не соответствует чисто периодическому движению. Количество жидкости, которое проходит через единицу плошади в. точке х за время Ж, есть ринг или р (1+ з) и йт. Таким образом, в положительной бегущей волне ~ зийг= а ] ляп'г, н в направлении распространения волны происходит перенос жидкости.] 246. Первое теоретическое исследование скорости звука было выполнено Ньютоном, предположившим, что между давлением и плотностью существует соотношение, которое формулировано в законе Бойля. Если мы принимаем р = тр, мы видим, что скорость звука выражается черев у и или ]/ —, где размерность р(=сила/площадь) l р Р есть М].-'Т з, а размерность р (= масса/объем) есть М1.-з. Ньютон выразил результат через чвысоту однородной ат.иосферы», определяемую уравнением нрй=р, где р и о обозначают давление и плотность на земной поверхности.
Скорость звука равна, таким образом, р' уЬ„ или скорости, которую приобрело бы тело, свободно падающее под действием силы тяжести с высоты, равной половине высоты однородной атмосферы. Чтобы получить численный реаультат, нам нужно знать два одновременных значения р и р. воздюпныв колевания (гл. х! (Экспериментальным путем найдено '), что при 0' С и давлении, создаваемом (в Париже) 760 мм Нд при 0'С, плотность сухого воздуха равна 0,0012933 г см-а, Если мы примем плотность ртути при 0' равной !3,5953 а) и аг = 980,939, то мы имеем в абсочютных единицах: р = 760 13,5953 980,939; о = 0,0012933, откуда а = 4Г~ = 27994,5; г р таким образом, скорость звука при 0'С дочжна была бы составлять 279,945 м ° сек-', что приблизительно на одну шестую меньше результатов непосредственных наблюдений.) Исследование Ньютона установило, что скорость звука должна быть независимой от амплитуды колебания, а также от высоты; однако расхождение между вычисленным им значением(опубликованным в !687 г.) и экспериментальным значением оставалось необъясненным, пока Лаплас не указал на то, что применение закона Бойля предполагает, что при сжатиях и разрежениях, сопровождающих звук, температура остается постоянной, в противоречии с известным фактом, что при внезапном сжатии воздуха его температура повышается.
Законы Бойля и Шарля дают только одно соотношение между тремя величинами — давлением, объемом и температурой газа, именно, (2) где температура 8 измеряется от нуля газового термометра; без какого-либо вспомогательного предположения поэтому невозможно определить связь между р н о (или о).
Лаплас считал, что сжатия и разрежения, связанные с распространением звука, происходят с такой скоростью, что возникающие нагреванне и охлаждение не успевают проникать вглубь окружающей воздушной массы и что поэтому соотношение между объ мом и давлением в основном таково, как если бы воздух был заключен в сосуд, абсолютно не проводящий теплоту. При этих условиях изменение давления, соответствующее данному сжатию илн расширению, больше, чем при гипотезе постоянной температуры, и скорость звука, таким образом, возрастает. Пусть в уравнении (2) о обозначает объем, а р — давление единицы массы, и пусть 8 выражается в градусах Цельсия, отсчитываемых от абсолютного нуляа). Состояние газа (если он одног) аОп !пе Репей!еа о1 Ше Рг!пс!ра! Оааеэ», Ргос, )7оу.
Яос., том 1,1!1, стр. 147, !893. а) Чо!Кшапп, %1ей. Алл., том Х!11, стр. 221, 188!. а) На обычной шкале Пельсия абсолютный нуль расположен около — 273; 246! попглвкл ллплАсл родный) определяется какими-либо двумя из трех величин Р, о, Э, третья же может быть выражена через них. Соотношение между одновременными изменениями этих трех величин следующее: (3) Чтобы осуществить изменение, определяемое аР и г(о, необходимо вообще сообщать газу тепло. Обозначая соответствующее количество тепла через пь~, мы можем написать (4) Предположим (а) теперь, что Фр = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
