Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Уравнения (3) и (4) дают где 1л — ) выражает удельную теплоемкость газа при погд()Л ~ да )1р=ооом1 стоянном давлении. Обозначая ее через хр, мы имеем (5) Предположим (Ь) далее, 1то г(о = О. Л1ы находим аналогичным путем, что если я, обозначает удельную теплоемкость газа при постоянном объеме, то (6) Чтобы получить соотношение между л(Р и Жо, когда нет притока или отдачи тепла, мы должны только положить У~=О. Таким образом, или, заменяя производные от 1,1 их выражениями через х„и х„, хр — +х„— = О. дп ФР (7) так что (8) если, как обычно, обозначить отношение удельных теплоемкостей через т. Значение скорости звука, полученное Лапласом, поэтому больше значения Ньютона в отношении ~/ "(; 1. 1 Так как о=-, о ' да др и — = — + —.
р |л дВ )~р =ооооо ( дР) 0 ' дп дг и лР Р лр Р ая = — = — — = — (, Ф 30 !гл. х! воздушныв колввлння Интегрированием уравнения (8) мы получаем для соотношения между р и р. в предположении отсутствия притока и отдачи тепла, й=(-'.)" где рз н рз — два одновременных значения. При этих жа условиях соотношение между давлением и температурой в силу (3) есть (10) откуда !оя р — !оя Р !оя р — !ойр' (13) 1) Здесь предполагается, что т постоянно. Это уравнение было дано впервые, повидимому, Пуассоном. Значение Т нельзя определить точно путем прямого эксперимента, однако приближенное значение можно получить методом, в основе которого лежит следующее. Воздух сжимается в резервуаре, который может сообщаться с внешним пространством через посредство крана с широким отверстием. Температура сжатого воздуха вначале повышается, но затем, спустя некоторое время, излишняя теплота уходит прочь, и вся масса воздуха принимает температуру атмосферы ().
Пусть давление (измеренное с помощью манометра) есть р. Кран теперь открывается на такое короткое время, которого достаточно, чтобы позволить полностью установиться равновесию, т. е. чтобы внутреннее давление сделалось равным давлению атмосферы Р. Если эксперимент поставлен соответствующим образом, то эта операция совершается настолько быстро, что воздух в сосуде не успевает получить тепло от стенок и поэтому расширяется приблизительно по закону, выраженному соотношением (9).
Его температура 8 в момент, когда операция завершена, определяется поэтому соотношением Ф-(-')" ' (! 1) Воздух в сосуде затем поглощает тепло, пока снова не приобретает температуру атмосферы 6; после этого его давление р' измеряется. Во время этого последнего изменения объем постоянен, и поэтому соотношение между давлением и температурой дает (12) так что в результате исключения О/Й 2461 31 Вычиолвнив Рэнкиил ~19 лп лр — =х — +х —, 0 и+" р' л лп лр — = — +— з и р (14) мы исключим г!р, то это даст в результате г!1;> = (х — х,) р — +х, Л.
Предположим, что г!1,1=0, или что притока и отдачи тепла нет. Известно, что тепло, развивающееся при сжатии приблизительно идеального газа, такого, как воздух, является почти в точности термическим эквивалентом работы, затраченной на его сжатие. Этот важный принцип был принят Майером в его знаменитом мемуаре, посвященном динамической теории тепла, правда по основаниям, которые едва ли можно рассматривать как достаточные. Но как бы то ни было, сам принцип, как это было доказано с тех пор экспериментами Джоуля и Томсона, строго справедлив. Если мы измеряем теплоту в динамических единицах, то принцип Майера, при условии, что приток и отдача тепла отсутствуют, в нашем случае может быть выражен соотношением — «хх(0 = р пыл.
Сравнивая это с (16), мы видим, что Х вЂ” ХР= )С, (16) и поэтому х х ~ (17) х х Р Значение ро в гравитационной мере (грамм, сантиметр) есть 1033: 0,001293 при 0' С, так что 1033 0,001293 С 272,35 г) 1Смх однако, )о1У, РЛП. Хгалз„том С!.ХХХ!! А, 189Ц Путем экспериментов такого рода Клеман и Дезорм нашли Т = 1,3492; но данный метод, очевидно, не обладает сколько-нибудь большой точностью. Значение т, необходимое для того, чтобы согласовать вычисленную и наблюденную скорости звука, есть 1,408; в правильности его вряд ли может быть какое-либо сомнение. В нашем знании величины т мы, однако, не являемся зависимыми от звуковых явлений.
Значение х — удельная теплоемкость при р постоянном давлении †бы определено экспериментальным путем Реньо; и хотя экспериментальный метод '), вследствие присущих ему трудностей, может и не дать удовлетворительных результатов для х„, интересующие нас сведения можно получить косвенным путем — исследованием соотношения между двумя удельными тепло- емкостями, которое было открыто термодинамикой.
Если из уравнений ВОЗДУШНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 1гл, х! По экспериментам Реньо удельная теплоемкость воздуха составляет 0,2379 удельной теплоемкости воды; чтобы повысить температуру 1 грамма воды на один градус Цельсия, необходимо затратить 42 350 грамм-сантиметров работы. Отсюда, в тех же единицах, что и для гх, х = 0,2379 ° 42 350.
Производя на основании этих данных вычисления, мы находим « = 1,410, что почти точно согласуется со значением, полученным из скорости звука. Это исследование принадлежит Рэнкину, который воспользовался им в 1850 году для вычисления удельной тепло- емкости воздуха, взяв в качестве исходных данных джоулевский эквивалент и наблюденную скорость звука.
Этим путем он предвосхитил результаты экспериментов Реньо, которые не были опубликованы до 1853 года. 247. Теория Лапласа часто являлась предметом ошибочного толкования среди исследователей и камнем преткновения для тех своеобразных людей, которых Де-Морган назвал «парадоксерами» («рагаг)охегз»). Но нет никаких оснований сомневаться в том, что, независимо от всяких вычислений, гипотезе об отсутствии тепло- обмена безусловно следует отдать предпочтение по сравнению с не менее специальной гипотезой постоянной температуры. Возникло бь1 реальное затруднение, если бы скорость звука не превосходила решительным образом значения, данного Ньютоном, и скорее удивительно то, что причина этого расхождения так долго оставалась необнаруженной.
Единственный вопрос, который, быть может, следует считать открытым, это — вопрос о том, не может ли небольшая дрля нагревания и охлаждения за счет теплопроводности или излучения потеряться раньше, чем она произведет свой полный эффект. Все должно зависеть от быстроты тепловых изменений. С одной стороны, ниже известного предела медленности как избыток, так и недостаток тепла успевали бы компенсироваться, и температура в основном оставалась бы постоянной.
В этом случае соотношение между давлением и плотностью было бы тем, которое приводит к значению скорости звука Ньютона. С дру~ой стороны, выше известного предела быстроты изменений газ вел бы себя так, как будто он заключен в теплоизолируюший сосуд, как предполагалось в теории Лапласа. Но хотя действительные условия задачи лучше представляются вторым предположением, здесь еше может иметь место отклонение от закона давления и плотности, входящего в теорию Лапласа, отклонение, которое приводит к несколько меньшей скорости распространения звука. Этот вопрос был тщательно рассмотрен Стоксом в работе, опубликованной в 1851 году '), содержание которой в основных чертах мы здесь и воспроизводим. г) 81ойез, РЛГГ. МааА (4), том 1, стр.
ЗОБ. 247! 33 исслвдованив стокса Уравнения механики для малого движения воздуха следующие: др ди х р дх дг' ''" (1) а уравнение непрерывности имеет вид: дз ди ди дм — + — +- -+ — =О. дг дх ду дг (2) Температура воздуха предполагается всюду одинаковой, не считая тех возмущений, которые вызываются самими колебаниями, так что если 0 обозначает избыток температуры, то р = яр(1+а+ а0). (3) В случае плоских волн, которыми мы и ограничим наше внимание, о и тв обращаются в нуль, между тем как и, р, з, 0 будут функциями только х(и г).
Исключая из уравнений (1), (2) и (3) р и и, мы находим уравнение иа которого и из уравнения (5) мы получаем, обозначив через Т 3 з . ма. ямча, ~~ Эффект малого внезапного снгатия з заключается в том, что оно вызывает повышение температурьн которое можно обозначить через рз. Пусть гй;> есть количество тепла, входящее в элемент объема за время пг и измеряемое тем повышением температуры, которое оно произвело бы, если бы не было сжатия. Тогда (пре- гЗ да небрегая рааличием между — и — ~, мы имеем гзг дг) ' да дз д() (4) где — есть функция 0 и производных от 0 по координатам, задо дг висящая от специального характера рассеяния (диссипании). Можно упомянуть два крайних случая: первый, когда тенденция к выравниванию температуры обязана теплопроводности, второй, когда действующей причиной является излучение и когда прозрачность среды такова, что излучаемое тепло не поглощается заметно на расстоянии нескольких длин волн.
В первом случае — уа0, во до дг втором же, том самом, который был избран Стоксом для аналитического исследования, — ( — 0), если принять за достаточное д() дг приближение к истине закон излучения Ньютона. Мы имеем тогда — = 3 — — г70. дз дз дг ' дг (5) 34 [гл. хг ВОЗДУШНЫЕ КОЛЕБЛНИЯ (в том же смысле, как и прежде) 1+ар, (6) Если колебания — гармонические, то мы можем предпологкить, что у изменяется пропорционально ег"' и уравнение принимает вид: лзл лз ~у+ Гл — + — — ---; — У= О. Лхя х 47-'; г;л (7) Напишем коэффициент при у в (7) в форме йэе-жэ, где Л4 да+ гР ч4 — —, «З ля -1- гзгР (8) 2ф = агс !и — — агс гп — = агс !и— 'гл л (т — 1) лгг 41 47 Глв —; Д' (9) Уравнение (7) удовлетворяется тогда выражениями вида е е э4М вф-гвп414 1 но (при положительном р и ф, меньшем — -,.), если иам нужно 2" выражение для волны, распространяющейся в положительном направлении, мы должны взять нижний знак. Отбрасывая мнимую часть„мы находим соответствующее решение в виде У =Ае " ' " ° сов(441 — 14 соя ф ° х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
