Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Эти уравнения явлюотся более общими, чем уравнения Пуассона и Ирншоу, так как опи не ограничиваются случаем только одной единственной положительной или отрицательной бегущей волны. Из (5) мы видим, что каково бы ни было значение Р, соответствующее точке х и времени Г, это же самое значение соответствует точке х+(и+а)дГ в момент времени Г+Ж; таким же путем мы усматриваем из (6), что ~ остается неизменным, когда х и Г увеличива|отся соответственно на (и — а)Ж и дг.
Если Р и Я заданы в некоторый момент времени как функции х и если построены изображающие их кривые, то мы можем вывести соответствующее значение и с помощью (4) и таким же образом, как в й 251, построить кривые, представляющие значения Р и ~ через малый промежуток времени дг, из которых становятся, в свою очередь, известными новые значения и и р, и процесс может быть повторен. Элемент жидкости, которому принадлежат в какой-либо момент времени значения Р н 1,1, движется сам со скоростью и, так что скорости Р и (э относительно элемента численно одинаковы и равны а, причем скорость Р в положительном направлении, Я— в отрицательном. Мы в состоянии теперь проследить все последствия некоторого начального возмущения, ограничешюго конечным участком среды, например, заключенного между х= а и х= р, вне которого среда находится в покое и имеет нормальную плотность, так что значения Р и !',! равны а!п р .
Каждое значение Р передается поочередно элементам жидкости, лежащим впереди него, а каждое значение Я вЂ” элементам, лежащим позади него. Самая задняя границаобласти, в которой Р переменно, именно, место, где Р впервые достигает постоянного значения и !и р, приходит сперва в соприкосновение с переменными значениями Г) и движется таким образом с переменной') скоростью.
В определенный момент времени, требующий для своего нахождения решения дифференциальных уравнений, задняя !левая) граница области, в которой Р меняется, встречается с задней (правой) границей области, в которой меняется б), нос~в чего обе области разделяются; между ними оказывается заключенной часть жидкости в условиях, отвечающих равновесию, как это следует из того факта, что значения Р и 1;) оба равны а !и р„.
В положительной волне 1,) имеет постоянное значение а !по„, так что и = а !п †, как в (4) р 251; в отрицательной волне Р имеет го 48 (гл. х> возлэшныв колввлния откуда и,= а $/Р'. Ря (у) Определенное таким образом движение, однако, невозможно; оно удовлетворяет, правда, условиям для массы и количества движения, ио нарушает условие для энергии (Э 244), выраженное уравнением 1 > 1 — из> — — и> =аэ1пр — аэ1пр . 2 2 (8) то же самое постоянное значение, что дает соотношение между и и Р в виде и= — а)п —. Так как в каждой бегущей волне, взя- Р Ро той изолированно, господствует закон, связывающий величины и и р, то мы видим, что в положительной волне а>и обращается в нуль олновременно с г!Р, а в отрицательной †одновремен с а>().
Таким образом, из (5) мы узнаем, что в положительной бегущей волне г(и обращается в нуль, если приращения х и ! таковы, что они удовлетворяют уравнению г(х †(и + а)а>Г = О, из которого сразу получается интеграл Пуассона. Полное аналитическое развитие метода Римана завело бы нас слишком далеко, поэтому мы отсылаем читателя за таковым к оригинальному мемуару; было бы, однако, недопустимо обойти молчанием одну ошибку, касающуюся вопроса о разрывном движении, в которую впали Риман н другие авторы. Считалось, что возможно такое состояние движения, при котором жидкость разделяется на две части поверхностью разрыва, распространяющейся с постоянной скоростью, причем вся жидкость по одну сторону от поверхности разрыва имеет одну плотность и скорость (одинаковую по всей этой части), а по другую сторону †друг плотность и скорость !одинаковую в данной части).
Но если бы это движение было возможно, то было бы возможно и движение, в котором поверхность разрыва находится в покое; достаточно предположить, что всей массе жидкости сообщена скорость, равная и противоположная той, с которой движется сначала поверхность разрыва. Чтобы найти соотношения, которые до:окны существовать между плотностью и скоростью на одной стороне (и,, р,) и между плотностью и скоРостью на дРУгой стоРоне (ив, Ря), мы замечаем, пРежде всего, что согласно пРинципУ сохРанениЯ вещества Р. ия — — Р,и,. Если теперь рассмотреть количество движения слоя, ограниченного параллельными плоскостями и включающего поверхность разрыва, то мы увидим, что количество движения, теряемое единицей площади слоЯ в единицУ вРемени, Равно (Ряи =Р,и,)ия, междУ тем как количество движения, входящее в нее, есть Р,и,, разностьколичеств движения должна быть уравновешена давлениями, действующими на границы пластины, так что Р,и, (ия — и,) = Р, — Ря — — аэ (Р, — Рэ), 253а) 49 ОТТАЛКИВАНИЕ РЕЗОНАТОРОВ д 1 2 1 ° л м — ш = — (у — э )+ — Уа — — й!.
дГ а '' 2 2 !2) Это уравнение справедливо для каждого момента времени. Интегри- руя его по большому интервалу времени, мы получаем что применимо ко всякому случаю двимсения жидкости, в котором только поток меакду двумя точками не возрастает непрерывным образом. Первую точку (с индексом О) следует теперь выбрать на таком расстоянии, чтобы изменения давления и скорости были 2) 1!тогах, Ройй. Алл., точ СЕЧИ, стр. 42, 1876; %'Гед. Апл., том И1, стр. 328, 1878. 2) Маусг, РЛП. Мак., том Ч!, стр. 225, 1878. 4 Заа Ы22.
Рааса, П Это рассуждение уже приводилось в другой форме в % 250, и уже в том зиле могло бы служить нам оправданием для того, чтобы отбросить предположенное движение, так как ясно, что никакое установившееся движение невозможно иначе, как при определенном там законе плотности.
Из уравнения (8) этого раздела мы можем найти, какие внешние силы были бы необходимы для того, чтобы поддерживать движение, определенное уравнением (7). Можно видеть, что сила Х, хотя и ограниченная местом разрыва, складывается из двух частей противоположного знака, так как согласно (7) и проходит через значение а. Полная движущая сила, именно ~ Хр дх, обращается в нуль, и это объясняет нам, каким образом (7) может удовлетворять условию для количества движения, несмотря на то, что мы совершенно пренебрегаем силой Х. 253а.
Среди явлений второго порядка, которые допускают легкое объяснение, одно из важных мест должно быть отдано отталкиванию резонаторов, открытому независимо друг от друга Дворжаком ') и Мейером 2). Эти наблюдатели нашли, что воздушный резонатор любого рода (гл. ХЧ!), если его подвергнуть воздействию мощного источника звука, испытывает силу, направленную внутрь от устья, несколько подобно тому как это имеет место у ракеты. Соединив четыре легких резонатора и установив их наподобие анемометра на стальном острие, можно заставить вшо систему непрерывно вращаться. Если внешние силы отсутствуют, то уравнение (2) $ 244 дает ! ФР дР 1 а дг 2 Различая значения величин в двух разных точках пространства при помощи индексов, мы можем написать 50 [гл, х> воздяшныв колзглния там практически незаметными.
Таким образом, , (1= — — 'Ги', (7. 2,1 (4) Это уравнение справедливо независимо от того, где была взята вторая точка. Если последняя находится внутри резонатора или в углу, где встречаются трн неподвижных стенки, то У, = О и поэтому (7) он показывает, что среднее значение (рд — р ) положительно или, другими словами, что среднее давление в резонаторе превышает атмосферное давление>). Резонатор стремится поэтому двигаться так, как если бы его побукдала к этому сила, действующая нормально на площадь его отверстия и направленная внутрь. Эксперименты можно проделать (по Дворжаку) с резонатором Гельмгольца, сбединив устье с горизонтальной, не слишком узкой, стеклянной трубкой, в которой движется легкий поршень (нз эфира).
Если сильно возбудить камертон подходящей частоты, например 256 нлн 512, и поднести к устью резонатора, то движение поршня (эфнра) укажет на увеличение давления, мех<ау тем как подобное же расположение неколеблющегося камертона не даст никакого эффекта. Если с точностью до малых величин первого порядка " ' ' = Р соз и1, Ро (в) то среднее значение с точностью до малых второго порядка равно рз —, где для воздуха и для главных газов т = 1,4. 47 ' >) РЫД Мах., том Ч1, стр.
270, 1878. (м, — ме) 71= О. т. е. среднее значение в> внутри то же самое, что и на некотором расстоянии снаружи от резонатора. В силу (9) 9 246, если расширения и с>катив адиабатические, р р> и м = р > . Таким образом, ! ~ ((Р>) " 1),71 О (6) Если положить разность между р, и р в (6) сравнительно малой, то содержащуюся там функцию можно развернуть в ряд по тео- реме бинома. Приближенный результат можно выразить следующим образом: 25381 51 ПРИТЯЖЕНИЯ Если предположить, что расширения и сжатия происходят изотермически, то к соответствующему результату мы придем, положив в (7) Т = 1. 2535.
Объясненный в 8 253а эффект тесно связан со сжимаемостью жидкости, которая занимает пространство внутри резонатора. В том классе явлений, которые сейчас будут рассмотрены, сжимаемость жидкости имеет второстепенное значение, и истолкование их в основных чертах может быть дано и в предположении, что плотность жидкости всюду постоянна. Если р постоянно, то уравнение (4) 8 253а может быть написано так: <р, — ра),71 = — — р ~ Сг, Л. (1) Это показывает, что среднее давление в том месте, где имеется дни>кение, меньше, чем вневозмущенных частях жидкости — теорема, принадлежащая Кельвину' ) и приложенная им к обьяснению притя>кений, наблюдавшихся Гатри (ОП1)>пе) и другими экспериментаторами. Так, колеблющийся камертон, поднесенный к свободно подвешенному прямоугольному куску бумаги, оказывается, в состоянии вь>звать притяжение, так как среднее значение Уа здесь больше на стороне, обра- 17 щенной к камертону, нежели на обратной.
Р В предыдущем эксперименте действие зависит от степени близости источника воз- А мущения. Когда течение жидкости, установившееся или же непостоянное, равномерно в большой области, то ее действие на вве- Фиг. 84а. денное туда препятствие зависит от формы последнего. В случае сферы никакой тенденции к вращению, очевидно, нет, а поскольку течение выше и ниже препятствия симметрично, то средние давления, даваемые(1), уравновешивают одно другое. Следовательно, на сферу не действует ни сила, ни пара.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
