Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Иначе можно рассмотреть этот вопрос, заметив, что в положительном импульсе сжатия количество движения направлено вперед и, в отсутствии необходимых сил, не может быть изменено путем отражения. Но 60 (гл. хп КОЛВБАНИЯ В ТРУБАХ движение количества движения вперед в отраженной отрицательной волне неразрывно связано с состоянием разрежения, Когда оба конца трубы открыты, перемещающийся по ней взад и вперед импульс полностью восстанавливает свое первоначальное состояние после того, как пройдет дважды длину трубы, испытав в течение этого процесса два отражения; таким образом, соотношение между длиною и периодом здесь такое же, как и в случае трубы, оба конца которой закрыты; когда же один из коннов трубы открыт, а другой закрыт, двойного прохождения недостаточно, чтобы замкнуть цикл изменений. Первоначальный характер волны сжатия или волны разре>кения может восстановиться лишь после двух отражений от открытого конца, и соответственно этому в данном случае период есть время, требующееся импульсу для того, чтобы пройти четыре раза длину трубы.
258. После того как соответствующие проблемы были годробно рассмотрены в главе о струнах, уже нет надобности говорить особенно много о сложных колебаниях столбов воздуха. В качестве просто~о примера мы ма>кем взять случай открытой с одного конца трубы, которая внезапно приводится в состояние покоя в момент времени г= О, после того как в течение некоторого времени она находилась в движении с постоянной скоростью, параллельной ее длине. Тогда начальным состоянием заключенного в пей воздуха является состояние движения с постоянной скоростью ир, параллельной х, при отсутствии сжатия и разрежения. Если мы примем начало координат на закрытом конце, то общее решение, в силу (7) й 255, будет иметь вид: >р = (А, сов и>(+ В, в!и п>С) сов >в>х+ +(Ая сов пвГ+ Вя в!и пяГ) сов >авх+..., (1) !> где й„=(г — ця)О п,.=а!е„а А„В,, Ая, Вв, ...
— произвольные постоянные. Так как >р в начальный момент равно нулю для всех значений х, то коэффициенты В должны быть также равны нулю; коэффициенты А определяются из условия, что для всех значений х между О и ! ~> >е„А„в!и Й„х = — ир, (2) где суммирование распространяется на все целые значения г от 1 до оо.
Определение коэффициентов А из (2) производится обычным путем. Умножая на в!пи„х>(х и интегрируя от О до 1, мы получаем 2 (п„А, = — ир>п~ или >>О А = — --— д,'.г 6! 259! Вынужденныв кОлеБАния Полное решение есть поэтому Ф =СО 2пз Ъп с05 д,.х — — соа пА ~~4 лз ,=1 259. Пусть в случае трубы, закрытой у начала координат и открытой с конца х = 7, 9 = соз п1 будет величиной потенцизла у открытого конца, обусловленного внешним источником звука. Определяя Р и 11 в уравнении (7) $ 255, мы находим: р = соз и1. С05 ЛХ (1) Очевидно, что колебание внутри трубы минимальное, когда 1 .
сов в!=~1, т. е. когда 1 есть кратное —, А, а тогда при х= 7 1 имеется узел. Когда 7 — нечетное кратное — 1, соя И обращается 4 в нуль, и тогда, согласно (1), скорость сделалась бы бесконечно большой. В этом случае предположение о том, что давление у от- крытого конца не зависит от того, что происходит внутри трубы, отпадает, и мы можем только заключить, что колебание, в ре- зультате изохронизма, очень велико.
Так как при х = 9 имеется 1 узел, то таи, где х — нечетное кратное — 1. должна получиться 4 пучность, и мы заключаем, что в случае изохроннзма изменение давления у открытого конца трубы, обязанное внешней причине, в точности нейтрализуется изменением давления, обязанным движе- нию внутри самой трубы. Если бы, действительно, у открытого конца имело место изменение давления в целом, то движение, в отсут- ствии диссипативных сил,должно было бы беспредельно возрастать.
Если мы предположим, что начало является не узлом, а пуч- ностью, то соответствующее решение Мп лх СО5 П1, 5!и Ы тле 15 = соз и1 — заданное знзчение 15 у открытого конца х = — 5 Это 1 выражение становится бесконечным, когда И=те или 1= — т1.. 2 Рассмотрим теперь случай трубы, оба конца которой открыты и полвергаются действию возмущений одинакового периода, для которых м равно соответственно Не1"', Ке'"'. Если только воз- мущения у концов не находятся в одной и той же фазе, то, по край- ней мере, один из коэффициентов Н, Клоли<ен быть комплексным.
Беря (3) 2 255 в первой форме, мы имеем в качестве общего решения для Б: р = — епн (А соз 75х + В 51п пх), Если мы возьмем начало координат в серелине трубы и примем, что значения Не""', Кенн отвечают соответственно х = 1,х = — 1, 1гл. хп колввхния В тгувлх то мы получим для определения А и В выражения Н=А соя И+ В з(п )з7, К= А сов И вЂ” Вз!пИ, откуда И+ К Н вЂ” К 2соза! ' 2з>па! ' что дает Ив(п/г(!+ л) + Кв(п !г(! — х) в= енп з1п 2Л! Этот результат можно вывести также из (2), если учесть, что требуемое движение возникает в результате пало>кения движения, обязанного возмущению Не!"', которое вычислено в предположении, что у другого конца, л = — 7, находится пучность, на движение, обязанное возмущению Ке"" и выведенное в предположений, что пуч- ность находится на конце х = !.
Колебание, выраженное(4), не может быть стоячим, если только отношение Н: К не является действительным числом, т. е. если воз- мущения на концах одинаковы или противоположны по фазе. Отсюда, если исключить оговоренные случаи, мы получим, что пучности нигде нет, а поэтому нет места, в котором можно было бы присоединить ответвление трубы, вдоль которого звук не будет распространяться '). В середине трубы, для которой х = О, и+К >В, (5) о л! Это показывает, что изменение давления (пропорциональное у) об- ращается в нуль, если Н+К=О, т, е. если возмущения на концах равны и противоположна! по фазе. Если >ке это условие не удовлетворено, то выражение становится бесконечным, когда 2! =- 1 = — (2т+!) Л. 2 1 В точке, огстоящей на — Л, от середины трубы, выражение 1 для >(> имеет вид; ивЂ К 2з1пл! (6) оно обращается в нуль, когда Н = К, т.
е. когда возмущения на концах равны и находятся в одинаковой фазе. Вообще, р становится бесконечно большим, когда з(п И= О или 2! = л>Л,. >) Устройство этого рода было предложено проф. Мейером (РЛ!!. Май., том Х(.Ч, стр. 90, 1873) для сравнения интенсивностей источников звука одной н той >хе высоты. Каждый нз концов трубы подвергается воздействию одного нз сравниваемых источников звука, н расстояния при этом подбираются до тех пор, пока амплитуды колебаний, обозначенные через И и К, не будут равны.
Труба, служащая ответвлением, проводится к манометричесяой коробке (б 282); в этом методе предполагается, что переменой точки присоединения можно устрзннть возмущение пламени. Из обсуждение вопроса з тексте видно, что это допущение теоретически не является правильным. вьгнхждвнныв колевания погшня 63 Если на одном конце неограниченной трубы происходит изменение давления, обязанное внешнему источнику, то внутрь трубы от этого конца будет распространяться цуг бегущих волн.
Таким образом, если длина вдоль трубы, измеряемая от открытого конца, есть у, потенциал скорости выражается через гу = соз 1и1 — иу1а); это соответствует аг = соз л1 для у = О, так что, если причиной возмущения внутри трубы будет прохогкдеггие цуга бегущих волн через ее открытый конец, то интенсивность внутри трубы будет та же, что и во внешнем пространстве. Не следует забывать, что диаметр трубы предполагается бесконечно малым в сравнении с длиной волны.
Предгголожнм теперь, что источник движения находится внутри самой трубы, например, что он обязан принудительному движению поршня в начале координат '). Постоянные в (5) Э 255 должны быть определены из условий, скажем, дв1дх=созаг для х=-О н гу = О для х = 1. Таким образом, йА = — 18й!, йй = 1, и выражение для у имеет вид: а1п й 1х — 1) й соа йг (г) и, таким образом, движение имеет минимум, когда 1 — нечетное 1 кратное — й, а тогда начало является пучностью.
При 1 четном 4 1 кратном — а, начало должно было бы быть узлом, что запрещено 4 условиями задачи. В этом случае, согласно (8), скорость становится бесконечной, а это означает, что лишь наличие диссипативных сил препятствует беспредельному возрастанию колебания. г) Этгг задачи рассматриваются Пуассоном, г)уела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
