Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Принимая, что ф пропорционально во всех точках е'аа', мы получаем обычное дифференциальное уравнение которое в силу свойства сопряженности функций з) должно удовлетво- г) Орре1, «О!е Ьаппоп!зспеп ОЬег!Спе без бпгсЬ рата!!е!е )тапбе еггеягеп йе!!ех!опзгопезю Рогтзсягдте наг Рйузга, ХХ, сгр. !30.
з) В моем доме есть под~сивый коридор, в котором можно, пропев надлежащую ноту, возбудить свободные колебання, про!тол!кающиеся много секунд, н часто случается, что звучащая нота сопровождается отчетливыми г бненнячн. Ширина коридора около 4 футов, высота около 6-, футов. ») [Напомгтнм, что сопряженностью Радей называет ортогональность собственных функций.
Рад.) 79 268! ПРяМОуГОльнАя ТРувА ряться в отдельности каждым членом (1). Таким образом, для определения А в функции г мы получаем ",,"+~И вЂ” пв ( —,, +в.,)~ А =О, (3) Решение этого уравнения отличается по форме в зависимости от знака коэффициента Ар . Когда р и >) равны нулю, коэффициент необходимо положителен, йо когда р и >7 возрастают, коэффициент меняет знак. Если коэффициент положителен и если его обозначить через рв, то общее выражение Ар может быть записано так: А = В е'<а г>Р >+С ег>вчг-~ > лч лч ля (4) где В и С,— так как множитель е>эа> выражен явно,— абсолч ле' лютные постоянные.
Однако первый член в (4) выражает движение, распространяющееся в отрицательном направлении, что исключается условиями задачи, и мы, таким образом, должны взять в качестве члена, соответствующего р, >7, просто е = С соз р — ° соз >) -У ° е'>""' ». ля а В этом выражении Слч может быть комплексным; переходя к действительным величинам и беря две новые действительные произвольные постоянные, мы получаем: Р = ~>Р сов (>еаг — рг) + еле з!и (маг — )>г)) соз р — ' ° соз >г †.
(6) яг яу Мы должны теперь рассмотреть форму решения в тех случаях, когда коэффициент при А, в (3) отрицателен. Если мы обозначим его через — >Я, то решенйем, соответствующим (4), будет А,, = еглп(ВР е""+Се е "') (6) первый член его должен быть отброшен, как обращающийся в бесконечность вместе с г.
Мы получаем, таким образом, соответственно(5), >Р = е-")Рл соз )еаГ+ Ерч з>п )еаза) соз р — соз >) —,. (7) Решение, полученное соединением всех частных решений, даваемых (б) н (7), является общим решением задачи и допускает по всему сечению г=О для — значение, произвольное в каждой точке и де дг по амплитуде и по фазе. На большом расстоянии от источника члены вида(7) становятся незначительными, и движение представляетсв одними лишь членами вида (5). Влияние членов, соответствующих большим значениям р и >7, проявляется, таким образом, лишь в непосредственном соседстве с источником, и уже на не очень больших расстояниях всякие внезапные изменения или разрывы в дви>ненни при г= О постепенно сглаживаются и исчезают.
80 чьстныв злдьчи (гл. хп Если мы сосредоточим наше внимание на каком-нибудь частном виде колебания (для которого р и о не равны нулю одновременно) и представим себе, что частота колебания возрастает, начиная от нуля, то увидим, что эффект, имевший место вначале лишь по соседству с источником, постепенно распрострзняется все дальше н дальше н, после того как пройдено определенное значение, распространяется сам собой на бесконечно большое расстояние, причем критическая частота есть частота двумерных свободных колебаний соответствующего типа. Ниже критической точки, чтобы поддерживать движение, не требуется никакой работы; выше ее — нужно затрачивать в г = О столько работы, сколько уносится ее за это же время в бесконечность. 268а.
Если мы предположим, что в общих формулах 9 207 г=О, то мы возвратимся к случаю чисто двумерного движения. Третье измерение камеры (7) тогда не имеет никакого значения, н наша задача может рассматриваться, как задача о колебаниях прямоугольного слоя воздуха, ограниченного, например, двумя параллельными стеклянными пластинами н боковой прямоугольной границей. В этой форме она была изучена как экспериментально, так и теоретически Кундтом ').
Потенциал скорости есть просто лр = сов (р — ) соз (д — ), (1) где р н л7 — целые числа, а частота определяется выражением (2) Если слой оллнрыш на границе, то приближенное решение можно получить, предположив, что лр здесь исчезает. В этом случае выражение для л7 выводится из (1), если вместо косинусов написать синусы, между тем как уравнение частот сохраняет ту же самую форму (2).
Это уже было обсуждено в связи с вопросом о мембранах в 9 197. Если а =р, так что прямоугольник становится квадратом, то различные нормальные виды колебаний одной и той же высоты могут комбинироваться, как объяснено в 9 197. В опытах Кундта колебания возбуждались через отверстие в одной из стеклянных пластин, к которой был приложен конец соответствующим обравом настроенного стержня, колеблющегося продольно; разделение на сегменты указывалось поведением пробковых опилок. Что касается высоты, то хорошее согласие с вычислениями было в случае слоев, занрыолых по боковой границе.
Когда прямоугольная граница была открыта, наблюденные частоты были слишком малы — расхождение, которое следует приписать исключительно приближенному характеру допущения о неизменности давления в слое (см. э 307). л) Кппщ, Рока. Алл., голл Х)., стр, 177, 887 1!873).
269! СЛОЖЕНИЕ ДВУХ ЦУГОВ ВОЛН Теория круглого слоя воздуха связана с бесселевыми функциями и рассматривается в 9 339. 269. Мы исследуем теперь результат сложения двух цугов плоских волн гармонического типа с одинаковыми амплитудами идлинами волн, направления распространения которых составляют друг с другом угол 2а, Это — двумерная задача, поскольку во всех плоскостях, перпендикулярных к линиям пересечения двух групп волновых фронтов, картина явления будет совершенно одинаковой. Положения плоскостей максимального сжатия для каждого цуга волн в любой момент времени можно представить параллельными линиями, проведенными через одинаковые интервалы й в плоскости бумаги; нужно предположить при этом, что эти линии движутся со скоростью а в направлении, перпендикулярном к их длине.
Если обе серии линий начерчены, то бумага разделяется на систему равных параллелограммов, которые перемещаются в направлении одной группы диагоналей. В каждом углу параллелограмма сжатие удваивается в результате наложения двух цугов волн, а в центре каждого параллелограмма по той же самой причине максимальным является разрежение. На каждой диагонали располагается поэтому серия максимумов и минимумов сжатия, перемещающихся без изменения их относительного располо>кения со скоростью а/соз а. Между каждыми двумя соседними линиями максимумов и минимумов находится параллельная им линия нулевого сжатии, на которой два цуга волн нейтрализуют друг друга.
Особенно замечательно то, что если бы этот волновой узор был видим (подобно соответствующему волновому узору на воде, к которому приложиио все предыдущее рассуждение), то он представился бы перемещающимся вперед без изменения своего вида в направлении, отличном от направления каждого из составляющих цугов волн и со скоростью, отличной от той, с которой движутся оба составляющие цуга. Чтобы выразить результат аналитически, предположим, что оба направления распространения одинаково наклонены под углом а к оси х-ов, Сами с>Ватна можно представить соответственно в виде; 2в соз —.— (аг — х соз а — у гйп а) и 2- СО —.
(Вг — х соз а + у 3!и а), >. и, таким образом, выражение для результирующей будет иметь вид: 2Г. 2а В = соз —. (аг — х соз а — у з! и а) + соз —. (а! — х соз а +у з!и а) = А х 2а 2а = 2 соз —. (Вà — х соз а) соз —. (у з!п а). (1) > х Из (!) следует, что распределение величины у на плоскости ху перемешается параллельно оси х-ов, не изменяя своего вила и с 6 Зьв >Г>Э Р.; мь [гл.
хш ЧАСТНЫЕ ЗАДАЧИ а одинаковой всюлу скоростью —. Если рассматривать з как функсоз а цию у, то 5 имеет максимум, когда уз!п а равно О, )„2», 3» и т. д., 1 3 между тем как для промежуточных значений, именно — », — »,..., з 2 '2 обращается в нуль. 1 Если а = — и, так что два цуга волн идут друг другу навстречу, 2 то скорость распространения параллельно х становится бесконечной, а (1) принимает форму з = 2 соя( — 'а1) соз( — у), (2) которая представляет стоячие волны. Задача, которую мы только что рассматривали, в действительности совпадает с задачей об отражении цуга плоских волн от бесконечной плоской стены. Так как выражение в правой части уравнения (!) является четной функцией у, то з симметрично относительно оси х-ов, и, следовательно, движение поперек этой оси отсутствует. При этих условиях очевидно, что на движение нисколько бы не повлияло, если бы мы расположили вдоль оси х-ов абсолютно неподвижную стену.
Если а есть угол между поверхностью и направлением распространения падающих волн, то скорость, с которой движутся места максимального сжатия вдоль стены (соответствую>цие местам наибольшего возвышения для волн на воде), равна а/соя а. Следует заметить, что воздушные давления не имеют тенденции перемещать стену как целое, за исключением случая абсолютно перпендикулярного падения, так как в любой момент времени их столько же положительных, сколько и отрицательных. 269а. Когда звуковые волны, распространяющиеся от удаленного источника, отражаются твердой стеной перпендикулярно, то наложение прямой и отраженной волн приводит к возникновению системы узлов и пучностей, совершенно так же, как в случае трубы, рассмотренном в Я 266.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
