Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Так, что касается волны, отраженной параллельно л, то аапаздывание в какой-либо точке поверхности, обязанное волнистости, составляет 2ч или 2с созрх. Влияние волнистости заключается поэтому в изменении амплитуды отраженной волны в отношении соз (2«с соз рх) «л или Уз(2йс) Аналогично амплитуда каждого из боковых спектров первого порядка есть ./,(2(гс) и т. ъ Сумма интенсивностей всех отраженных волн есть йз ( уча+ ага+ 27з+ .
) Я (! 4) согласно известной теореме; так что в предположенном случае (бесконечно малого р) доля всей энергии, отброшенная назад, такова же, как в случае гладкой поверхности. Следует заметить, что в этой теории значение 2кс нв подвергается никакому ограничению. Если 2!гс мало, то заметные значения имеют только первые члены рида, так как функция Бесселя У»(2(гс) имеет порядок величины (2лс)». Напротив, когда 2!гс велико, первые члены малы, между тем как ряд сходится медленнее.
Таблица значений у и .У, приведена в $ 200. Для некоторых аначений 2йс отдельные отраженные волны исчезают. В случае правильно отраженной волны, илн спектра нулевого порядка, это имеет место впервые, когда 2йс = 2,404, й 206, или с = 0.2Л. Полное решение аадачи настоящего раздела потребовало бы определения отражения, когда Й задано для всех аначений с и для всех значений р. Мы рассмотрели случай бесконечно малого р, а сейчас изучим случай, где р,» й. Для промежуточных значений р задача труднее, и, рассматривая их,мы ограничимся более простыми граничными условиями, которые получаем, когда энергия вовсе не проникает во вторую среду.
Простейший случай из всех — это тот, когда р, = О, так что граничное уравнение (7) сводится к 7 - О (15) — условию для «открытого конца», $256. Мы можем также указать на случай твердой стенки, или «закрытого конца», где условие на поверхности — = О. дэ дл 7 з«н. 1тм. Рв»ча, и !гл. хш члстньюв злдхчи из (18) ЮА> = 27>(2й) +(Д вЂ” Рэ) Уз(И); и, наконец, из (17) Ао= /о(27ю)+(й р ) Ую(2Ф)+ +(2( 1ю)( 1з) 4( Рв) ~ з( )+''' ! 1 1 Из (4) (20) рз ю>ю ' — р= — + —,+ 2а Вдз так что, вводя вновь с и располагая результат по степеням р, получаем — Ае =.Юе (21юс) + — „,, ° 2 1юс ° Ую (27юс) + раю 1 + лю > — юес °,/ю(2пс) — —, пас~ /я(2пс)~. (2!) ') ю) Вгюг.
Ага. 7гер., стр. 691, 1893. В силу (8) и (!б) условие, которое должно быть удовлетворено на поверхности, есть ееюь'+А„+А,еы" — г "созРх+Аяеыь — в>'сов 2Рх+... =О. (16) В нашей задаче г задано выражением (1), как функция х; уравнения, выражающие условие, найдутся, если мы приравняем нулю коэффициенты различных членов, содержащих сов 7>х, соз 2рх, и т. д., когда левая часть (16) разло>кена в ряд фурье. Разложение различных показательных функций выполняется так же, как в (!2); в результате получаются следующие уравнения: уз(2й)+А,+юА>ую(й — Р.,) — А.,гв(Д вЂ” Ра) —...
=О, (17) 2юую (2п)+ А, (.~,(Д вЂ” Р.,) —.~э (и — Р.,)) + +Ая !ю.юю(7ю — Ря) — ю'.Уа(а — Рю))+... =О, (!8) — 2.У, (27ю)+А, (юЛ, (и — р,) — юХ,(7ю — рю)) + +Аз (4(Й вЂ” рэ)+.Ю,(7ю — рэ)) + ° ° = О (!9) и т. д., где с ради краткОсти положено равным единице, Пока(а — р) можно считать действительной величиной,— что имеет место для большого числа членов, когда р мало сравнительно с 7ю, — различные функции Бесселя все действительны, и, таким образом, коэффициенты А четного порядка действительны, а коэффициенты А нечетного порядка — мнимы.
Таким образом, фаза перпендикулярно отраженной волны такова, как если бы с = О; следует, однако, помнить, что этот вывод в действительности тол~ко приближенный, потому что, как бы ни было мало р, величины р в конце концов становятся мнимыми. Из предыдущих уравнений легко получить значение Ао с точностью до члена, зависящего от р'. Из (!9) Аю = 2Х, (2к); НЕПОДВИЖНАЯ СТЕНКА Отсюда получим амплитуду перпендикулярно отраженной волны, опуская рз и более высокие степени р.
Случай отражения от неподвижной стенки немного сложнее. Согласно (8), граничное условие есть дг . де — — +,пс 51п,эх - — = О, что дает уравнение е — А — — А е ' соя рх — — А.е ' соз2рх —... е ом г(ь-я,)г Ия )1а-ж) А О д д — ~ — (А,е ' ""э)п рх+4А ег~ щ)'з!П2рх+...) =0,(22) которое должно быть удовлетворено, когда г= ссозрх. Первое приближение для А, имеет вид: А, = 2У, (2йс), (23) откуда во втором приближении 1 р'с ) Ао = lо (2)ес) + 1 2 ()е — йч) + 2Л ~ (А) = = У„(2ис) — Ря йс ./„(2/гс), (24) Первое приближение для различных коэффициентов можно найти, полагая )с = + 1 в (13). Если р ) Ф, диффракционных спектров нет, и вся энергия волны, падающей на непроницаемую среду, должна быть предста- влена в волне, отраженной прямо.
Модуль Ае равен поэтому еди- нице. Если р. й, энергия распределяется между различными спек- трами, включая и спектр нулевого порядка. Между квадратами модулей Ащ А„ Ая, ... имеется, таким образом, некоторое соот- ношение, при)ем ряд продолжается, пока р действительно. Исследование более аналитического характера может основы- ваться на теореме Гельмгольца (3 293), согласно которой ~ ~фдл — уй)дую=О, где о" — некоторая замкнутая поверхность, а 5 и А удовлетворяют уравнению р +.Де=О. Чтобы воспользоваться этой теоремой, примем в качестве ф и А соответственно действительную и мнимую части р, определяемые по (3).
Таким образом, представляя каждый комплексный коэф- фициент дв в форме С„+1В„, мы получаем ф= соя (ел+Се соз йд+й„з(п ил+ +(С, соэ рве+с), э)п рта) соз рх+..., (25) у = э1 п )ег — Се э(п йг+ Е)е соэ (ед+ +( — С, э)п р,г+.О, соз ргз) соэ рх+... (26) 1ОО 1гл. хш члстныв злдлчи либо дф дх — = — = 01 дл дл и мы заключаем, что, когда л велико, ~'(Фд —,— Хд— ,'~ к=О. (27) Применение (27) к выражениям ф и у в (26), (26) дает Сь+ 0ь+ 2й (Сь+ 0ь)+ р- (Са+ 0яз)+ .. = 1, (28) причем ряд (28) продолжается настолько, чтобы в нем заключалось каждое действительное значение р.
1 В (28) — (С„+0„) представляет интенсивность каждого спектра и-го порядка. Коэффициент р„/я равен соз 0„, где 0в — угол наклона диффрагированных лучей. Значение этого фактора станет очевидным, если заметить, что каждой единице площади волн, падающей и отраженной прямо, соответствует площадь соз 0„волн, которые составляют спектр а-го порядка. Если все значения р — мнимые, что имеет место при р) й, то (28) сводится к С,+0,=1, (29) т, е., словами, интенсивность прямо отраженной волны есть единица. Весьма важно полностью уяснить себе значение этого результата. Как бы ни была глубока волнистость поверхности, если только периодичность ее такова, что периоды ее меньше, чем длина волны колебания, то правильное отражение будет полныи.
Исключительно цщроховатая стенка будет, таким образом, отражать звуковые волны средней высоты так же хорошо, как если бы она была теоретически гладкой. Приведенное исследование ограничивается случаем, когда вторая среда непроницаема, так что вся энергия падающей волны отбрасы- В рядах (25), (26), если их достаточно продолжить, члены меняют свою форму, потому что р в конце концов становится мнимым; для нашей цели эти члены, однако, не потребуются, так как они исчезают, когда г очень велико.
Поверхность интегрирования 3 слагается из отражающей поверхности и параллельной ей плоскости, расположенной на большом расстоянии. Хотя эта поверхность не является строго замкнутой, ее можно рассматривать как таковую, так как часть, еще остающаяся открытой с боков в бесконечности, не влияет заметно на результат. Но часть интеграла, соответствующая отражающей поверхности, обращается в нуль, так как либо ф=у=о, 272а) 101 нлклонноз падания вается назад в правильно отраженной волне н в диффракционных спектрах.
Интересен вопрос, можно ли заключение о том, что волнистость периода, меньшего Х, не дает никакого эффекта, расширить настолько, чтобы приложить его к случаю, когда имеется правильно проходящая волна. Очевидно, что для решения этого вопроса принципа энергии недостаточно, однако, ответ, вероятно, должен быть отрицательным. Если мы будем предполагать, что волнистость заданного периода становится все глубже и сложнее, то, казалось бы, цоложенне вещей в конце концов должно приблизиться к случаю очень постепенного перехода между средами, когда Я 1480) отражение стремится вовсе исчезнуть, Рамки нашего исследования не позволяют нам трактовать в полном объеме проблему наклонного падения на волнистую поверхность; однако одно или два замечания могут быть сделаны.
Если рв можно пренебречь, то решение, соответствующее !13), имеет вид: !30) Ао — йУо (20с сов 0), где  — Угол падениЯ и отРажениЯ, а )с — значение Аш 9 270, соответствующее с = О. Множитель, выражающий эффект волнистости, является, таким обпазом, функцией с сов 0; так что глубокая волнистость, при большом О, может иметь тот же самый эффект, что и мелкая, црн 0 малом. Каков бы ни был угол падения, если длина волны волнистости меньше, чем половина длины волны колебаний, то отраженных спектров, исключая спектр нулевого порядка, нет. Отсюда, если вторая среда непроницаема, правильное отражение при указанном выше условии будет полным.
Читателя, желающего продолжить изучение теории решеток, мы должны отослать к трактатам по оптике и к статьям автора') и проф. Роулэнда з). !) «Тйе Мани)ас!пге апд Твеогу о1 Р!1)гасцоп Сгацпяв», РЛЕо Маг»., том Х|Ч!1, стр. 81, 193, 1874; »Оп Сору)пй Т!!!!гас!!оп Ога!!пйв, апй оп вове Рпепошепа соппес!ед !ПегеФ!0», РЬВ Мал., том Х1, стр. !96, 1881; Еле. Вгж., »зуаве Тпсогу о1 1лйшь в) Н. Ком!апг), »Ига!!пяв 1п Тпеогу апг) Ргас!ке», РЛ71. Мам» том ХХХЧ, сгр. 397, 1893, ГЛАВА Х!Н ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ 273. Одной из первых задач, естественно возникающих в связи с общей проблемой воздушных колебаний в трех измерениях, является определение движения в неограниченной атмосфере в результате произвольных начальных возмущений.
Будем предполагать, что возмущение лвалд, так что приложимы обычные приближенные уравнения, и далее, что начальные скорости могут быть получены из потенциала скорости, т. е. Я 240), что отсутствует пиркуляния. Если последнее условие нарушено, то мы будем иметь дело с задачей о вихревом движении, которым мы не занимаемся. Мы предположим, в первую очередь, также, что на жидкость не действуют никакие внешние силы, так что исследуемое движение обязано исключительно возмущению, действительно существующему в момент времени !!= О), с которого начинается период, подлежащий нашему исследованию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
