Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Метод, которым мы будем пользоваться, не очень сильно отличается от метода Пуассона' ), которым впервые была успешно одолена зта задача. Если ио, по, тно — начальные скорости в точке х, у, г, а зов начальное сжатие, то мы имеем Я 244) уравнения Ро = ) !по пгх + оо гС)г+ иго гСЯ) з 9о= — и во С2) которыми определяются начальные значения потенциала скорости о и его производной по времени в, Стоящая перел нами задача заключается в определении го для времени С нз приведеннь!х выше начальных данных, а общее уравнение, приложимое ко всякому моменту времени и ко всякому месту пространства, имеет вид: ( —,— авто)р = О.
дв г) Ро!ввоп, «8пг Г!и!ай!виол г!е орое!чпев ечпв!!опв !!пев!гев апх сййегепсев Раг!!енев, е! Рвгйсипегепвеп! йе Геч1гв!!оп дапега1е дп шоптешопг о!ев йпЫев Е!ав!Чггсв», Мввь пе С'СлвгггиС, том П!, стр. 121, 1820. 2731( (О3 пгоизвольноя илчлльноя возмтщяниз Если Ч известно, производные этой величины лают компоненты скорости в любой точке, Символическое решение (3) может быть записано в такой форме: Ч = э!п (1а Чг) ° О + соз (1а Чг) ° гл (4) где 0 и 1 — две произвольные функции х, у, г и 1= 1/ — 1.
Чтобы связать О и 1 с начальными значениями Ч и Ч, которые мы обозначим соответственно через 1 и Г, необходимо лишь заметить, что для 1=0 (4) дает Чо=у Чо=1аЧ О, в этом уравнении вопрос об интерпретации нечетных степеней Ч не возникает, так как обе символические функции целиком четные. Мы видели (О 245), что в случае, когда потенциал Ч был функцией одного х, его значение для некоторой точки х в момент времени 1 зависело от начальных значений Ч и Ч в точках с координатал~и х — аг и х+а1 и совершенно пе зависело от начальных условий во всех других точках. В настоящем случае, нам кажется, проще всего предположить, что значение Ч в точке О зависит от начальных значений Ч и Ч в точках, расположенных на поверхности сферы, центр которой есть О и радиус а1; и, наконец, нет никаких оснований отдать предпочтение одному направлению перед другим; мы приходим, таким образом, к мысли исследовать выражение среднего значения функции на сферической поверхности через последовательные производные функции в центре.
Согласно теореме Маклорена, взятой в символической форме, значение Р(х, у, я) в некоторой точке Р поверхности сферы радиуса г может быть написано так: д д д л — оя — +з— дм, ' дьь дт Р(х У я)=о ' г(хо Уо яо) центр сферы являеося началом координат. При интегрировании по поверхности сферы д1дхо, д1дуо, д/дло ведут себя как некоторые постоянные; мы можем обозначить их на время через 1, т, и, так что Чз= 1з+ гиз+ по.
Таким образом, пусть г — радиус сферы, а Ю вЂ” элемент ее поверхности. Вследствие симметрии сферы, мы можем заменигь любую функцию аргумента гх+ ту+ ля Ч го+та+ пз так что наш результат может быть представлен следующим образом: <р = соз (га Ч1) ° г'+ — — ° Г; Мп (га ЧГ) (5) (гл!' х!у 104 ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ такою же самой функцией к, не изменяя результата интегрирова- ния, т, е.
се у !»в + а» ~,-.-..-,Ы ~ ~(,т) -"»'" дв 2кг а!н (1Чг) = ~ ~ ет»г!5=2вг ет»г1г= — (ет" — е ю)=4кгэ 1Чг -у Среднее значение Р по поверхности сферы радиуса г выражается, таким образом, как результат операции над Р символа з!и (1 Чг)/1 Чг или, если Д а«т обозначает интегрирование в пределах телесного 4-33'" )"= 1Ч (5) Сравнивая этот результат с (5), мы видим теперь, что коль скоро ч« зависит от начальных значений «р, оно выражается в виде Ч= — ~ ~ Е(а1)с!т, 1 Г 4к ~ (7) или, выражая это словами: «р в любой точке в момент времени 1 равно среднему значению Ч на поверхности сферы, описанной во- круг данной точки радиусом а1, умноженному на 1. Применив правило Стокса (э 95), или просто взглянув на (5), мы видим, что часть Ч, аависящая от начальных значений «р, может быть выведена из только что написанной путем дифференцирования по 1 и аамены произвольной функции.
Полное значение р в момент времени 1 есть поэтому =4- ! ~ '(")"'+ —.-,11~ 3 Г(а1)"' !' (8) — результат, полученный Пуассоном '). Ввиду важности настоящей проблемы, целесообразно проверить это решение а роз1епог!. Мы должны сперва доказать, что оно удовлетворяет общему дифференциальному уравнению (3). Взяв на момент только первый член и имея в виду общее символическое авнение а ур д 1«1 Ф га = 1 ,и дг! — 1= — — 1Я вЂ”, (9) мы находим из (8): снэ 1 д Г Гд 1 д Г Гдр(аг) — = — — 1в~ д — Р(а1)йт= — — ~ ) с~5, дга 4,1 де д д д1 4кагдг .! е д(аг) где с(о' †элеме поверхности сферы радиуса г = а1.
') Другое иссаедоваиие можно найти в «Уоггееаваел Лэег МаГйета11- есйе Рйуаей» Кирхгоффа, стр. 317, 137!х (См. та!Нке примечание к 5 273 в конце этого тома.) 274) пгозвгкл гашения Но по теореме Грина ~ ~ — () с~8= ~ ~ ~ ЧЯРгЛ/ (г «. аг); и, таким образом, — ~Ч ~с~Ч~ («й 4~1,~,~ Ы «П 4~,~ Но ~ ~Чав Ыт идентично Чэ ) ~ Р с~э, и, таким образом, уравнение (3) действительно удовлетворено. Так как вторая часть Ч получается из первой путем дифферен- цирования, то она также должна удовлетворять основному урав- нению. Что касается начальных условий, то мы видим, что ко~да 4 в (8) положено равным нулю, 1 Г 9= 4 ~ ~ У(аг)п«Ы=Ю=Т(0); 13з Г 'Р = 4 ~ ~ г' (пг) пзм ю+~ Згз г ~ ~ .7 (п~) с(вы =и — выражение, первый член которого в пределе становится равным г''(О). Прн 1= 0 ~~,,~ ) ) у'(а~)ггт=2у~ ) 1(а1)~йы ю =2а ) ) у'(аС)ггты ю=О, так как элементы, расположенные друг против друга, в пределе, при безграничном уменьшении радиуса сферы, взаимно уничтожаются.
Выражение в(8) удовлетворяет поэтому как предписанным начальным условиям, так и общему дифференциальному уравнению. 274. Если начальное возмущение ограничено пространством Т, то интегралы в (8) в 273 равны нулю, если только некоторая часть поверхности сферы г = а~ не заключена внутри Т.
Пусть Π— некоторая точка, внешняя к Т, а г, и гэ — радиусы наименьшей и наибольшей из сфер, описанных вокруг О, которые пересекают Т. Тогда, покуда а~ «, г,, Ч остается равным нулю. Когда аГ лежит междУ г, н га, У может быть конечным, но дла значений, больших, чем гя, е снова рашю нулю. Возмущение, таким образом, во всякий момент времени ограничено теми частями пространства, для которых аг заключается между г, и гя. Границей волны является огибающая сфер радиуса аС, центры которых расположены на поверхности Т. Когда ~ мало, эта система сфер будет иметь внешнюю огибающую из двух листов, причем наружный из этих листов будет внешней, а внутренний — внутренней поверхностью слоя, образованного совокупностью сфер.
Внешний лист образует !06 [гл. хщ ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ внешнюю границу той части среды, где расширение отлично от нуля. По мере того как Г возрастает, внутренний лист сжимается, наконец, его противоположные стороны пересекают друг друга и он изменяет свой характер, превращаясь из внешнего по отношению к сферам во внутренний. Далее он расширяется н образует внутреннюю границу слоя, в котором заключена волна сжатия» >). Последовательные положения границ волны представляют собой, таким образом, серию параллельных поверхностей, и каждая граница распространяется по нормали со скоростью, равной а. Если в момент ! = 0 движения не было, так что начальное возмущение являлось только изменением плотности, то последующее положение вещей выражается первым членом (8) 9 273.
Предположим, что начальное возмущение, все еще ограниченное конечной областью Т, состоит только из одного сжатия, без разрежения. Можно было бь> думать, что эта же самая особенность будет присуща в течение всего дальнейшего времени и возникшей волне; однако подобное заключение, как заметил проф.
Стокс, было бы ошибочны,>. Для значений времени, меньших, чем г>!а, потенциал в О равен нулю; он становится затем отрицательным (зе положительно) и продолжает оставаться таким, пока при =гз/а снова не обращается в нуль, после чего уже все время остается равным нулю.
Когда ь уменьшается, среда в О находится в состоянии шкатия, когда же ч> снова возрастает до нуля, состояние среды в О является состоянием разрежения. Волна, распространяющаяся наружу, состоит поэтому, по меньшей мере, из двух частей, из которых одна есть волна сжатия, а другая — волна разрежения. Каков бы ни был характер первоначального возмущения в пределах Т, конечное значение ч> в любой внешней точке О будет тем же самым, что и начальное значение; поэтому среднее сжатие при прохождении волны, зависящее от интеграла [ з с>! (так как азз = — ч>), есть нуль.
Мы еще будем иметь случай возвратиться к этому предмету в связи с вопросом о сферических волнах Я 279). Общее решение, заключающееся в [8) 9 273, должно, конечно, охватывать и частный случай плоских волн; однако несколько слов по поводу этого приложения могут оказаться не лишними. Действктельпо, на первый взгляд могло бы показаться, что в заданной точке эффект возмущения, ограни >енного первоначально слоем среды, заключенным между двумя параллельными плоскостями, не будет проходить за конечное время, что, как мы знаем, должно иметь место.
Предположим для простоты, что яз всюду равно нулю и что внутри рассматриваемого слоя начальное значе- >) 3>охез, «Рупзш>са! Тйсогу о! Р>йгзсг>оп», Оажз. Тгапж, том !Х, стр. !5, !349. 2751 слэчай днях измвгвний 107 ние ао постоянно. Из теории плоских волн мы знаем, что во всякой произвольной точке возмущение в конце концов, — по истечении некоторого времени г, такого, что а( равно расстоянию о( рассматриваемой точки от более отдаленной границы первоначально возмущенной области, — прекратится; с другой стороны, из общих формул, казалось бы, вытекает, что возмущение продолжает существовать, поскольку сфера радиуса а1 продолжает пересекать область. Однако хотя и верно, что а остается конечным, это отнюдь не несовместимо с покоем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
