Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Узловые плоскости, т. е. поверхности исчезающего дан>кения, располагаются на расстояниях, являющихся четными кратными четверти длины волны, пучностн же делят пополам расстояния между узлами. При экспериментальном исследовании обычно лучше всего искать места минимального эффекта, но, будут ли это узлы или пучностн, зависит от применяемого аппарата — соображение, пренебрежение которым приводило к путанице'). Так, резонатор перестает отвечать, если его устье совпадает с пучностью, и следовательно, этот метод исследования дает лунности, когда резонатор связан с ухом или >) >Ч.
Ьаяаг>. Алл. и'. СЛ>т., том 1.ХХ!, стр, 20, 1839; том Х1., стр. 385, 1848. 270) отгтжвнив от станы с «манометрической коробкой» Я 282). Это же самое заключение верно и при пользовании невооруженным ухом, если только голова зкспериментатора не представляет собой препятствие достаточно большое, чтобы заметно нарушить первоначальное распределение узлов и пучностей '). Если, с другой стороны, индикатором служит маленькая натянутая мембрана, подвергающаяся воздействию с обеих сторон, чувствительная струя дыма или пламя, то местами исчезающего возмущения будут узлы в). Полное установление стоячих колебаний с узлами и пучностями занимает некоторое время, в течение которого звук должен поддерживаться.
Когда в комнате, лишенной ковров и занавесей, непрерывно звучит органная труба, легко, прислушиваясь с помощью резонатора, найти места, где основной тон почти полностью замирает. Но в первый момент после нажатия клавиша или непосредственно после того как он отпущен, интересующий нас тон слышен и часто с поразительной силой. Образованием стационарных узюв и пушостей перед отражающей стеной можно с успехом воспользоваться, когда желательно определить длины волн воздушных колебаний Метод является особенно ценным в случае очень пронзительных звуков и колебаний такой частоты, что они уже не слышны.
С помощью чувствительного пламени высокого давления можно проследить за колебаниями, полученными при помощи маленьких птичьих манков (свистков для подманивания птиц), с длиною волны до 6 мм, что соответствует частоте около 55 000 колебаний в секунду. 270. До тех пор, пока среда, передающая звук, сохраняет непрерывность и однородность, плоские волны могут распространяться в любом направлении с постоянной скоростью и не меняя своего типа; однако, когда волны достигают какой-либо части среды, где ее механические свойства претерпевают изменение, возникает некоторое возмущение.
Общая проблема колебаний переменной по своим свойствам среды, вероятно, совершенно недоступна нашей современной математике, однако многие интересные для физики вопросы возникают в случае плоских волн. Предположим, что среда однородна выше и ниже некоторой определенной плоскости (х=0), но что при пересечении втой плоскости имеет место внезапное изменение механических свойств, от которых зависит распространение звука — именно, слсимаемосгли и плотносши. На верхней стороне плоскости (которую для отчетливости понимания мы можем предполагать горизонтальной) цуг плоских волн перемещается так, что встречает ее более или менее наклонно; задача состоит в том, чтобы определить (преломленную) волну, которая распространяется вперед во второй среде, а также и ту волну, которая отбрасывается т) РИГ5 Л1ад., том 711, стр 150, 1879. з) РЯД Л1ад., 1ос.
сж, стр. 153. !гл, хп! ЧАСТН'!В ЗАДАЧИ где !/я— Р (3) Аналогично для нижней среды дт! я д, + !'!а!=О, (4) где РА! );я ! Р! Эти уравнения должны быть удовлетворены во всех точках жидкости. Граничные условия требуют, кроме того: (!) чтобы во всех точках поверхности раздела были одинаковы для обеих жидкостей скорости, перпендикулярные к поверхности, нли де дт! дх дх — = — при х=О; (6) (7) (П) чтобы были одинаковы давления, откуда А!з! = Аз, или, в силу (2), (3), (5) и (6), р — =р, — при х = О. дГ ' д! (8) Чтобы представить цуг волн гармонического типа, мы можем принять р и !Р! пропорциональными е!!"*""ЯА"!, где уравнение ах+ Ьу = сопя! определяет направление волновой плоскости. Если мы примем для падающей волны р е! +за+А!! (9) назад в первую среду, т.
е, отраженную. !'(ы должны в первую оче- редь образовать уравнения движения и выразить граничные условия. В верхней среде, если р есть естественная плотность„а з †сжат, плотность = р(! + з), давление = Р(!+Аз), где А — коэффициент, зависящий от сжнмаемости, а Р— давление в невозмущенном состоянии.
Равным образом в нижней среде плотность = р, (1+ з!), давление = Р(1 + А!з!), причем невозмущенное давление одинаково по обе стороны от х = О, Взяв ось г параллельной линии пересечения волновой плоскости с поверхностью раздела х = О, мы имеем для верхней среды Я 244); (1) и — + !!аз=0, (2) 270! ПРВЛОМЛВНИВ ПЛОСКИХ ВОЛН а (ее' — ма) = ар,, Р(еу +9 ) = РРг (13) откуда 2Р' = ( е' + — ') <Р,; 2<ра = ~ ~' — — ') <Р,. (14) Этим завершается символическое решение.
Если аг (и 0„) дей- ствительны, то мы видим, что, если падающая волна есть 0~ = соя (ах + Ьу + с!), нли, через Ъ', Л и О, О = соз и (х соз О+у ейп О+ )гс), (15) то отраженная волна есть е1 с!я О, соз — ( — х соз О+у з!п О+ кг), е с!из 2я р с!из, — +— р с!па (16) то отраженная и преломленная волны могут быть представлены соответственно выражениями еа = и"а я а*+ ва ~ и! (10) и =и еяа,ееьяееп (11) е,! Коэффициент при ! необходим один и тот же во всех трех волнах за счет периодичности, а коэффициент при у должен быть одинако- вым вследствие того, что следы всех волн на плоскости раздела должны двигаться вместе.
Что же касается коэффициента при х, то после подстановки в дифференциальные уравнения видно, что его знак при переходе от падающей к отраженной волне изменяется на обрат- ный; действительно, са = Ь" !(-+.а)Я+ЬЯ) = Ъ' !а;'+ЬЯ!. (12) Ь Но есть синус угла, заключенного между осью х и норЬгас+ ЬЯ мазью к волновой плоскости — на языке оптики, синус угла падения, а Ь вЂ” — аналогично — синус угла преломления. Если зти углы обо- Г а;+Ь значить через 0 и О,, то (!2) утверждает, что отношение з!П01з!и!1, равно постоянному отношению !г/Ь',— хорошо известный закон синусов.
Законы преломления и отражения вытекают просто из того факта, что скорость распространения в направлении, нормальном к волновым фронтам, постоянна в каждой среде, т. е. не зависит от направлении волнового фронта, рассматриваемого в связи с равен- ством скоростей следов всех волн на плоскости раздела (Ъ'(з!ПО = = Ъ','з(п О,), Остается удовлетворить граничным условиям (7) и (8).
Онн дают [ГЛ. Х1П ЧАСТНЫЕ ВАДАЧИ а преломленная волна 2 2ч вР1 = соз — (х соз О, +у з!и О, + Увг). — +— рв с!д О, о с!я 0 (17) формула для амплитуды отраженной волны, именно р, с1я О, р" р с1я 0 р' р, с1д,а, — + — ' о с!я 0 (18) мы вывОДИм! (19) Если предположить, что показатель преломления — заключен Ьвв между единицей и —, то зто соотношение показывает, что всегда р р1 ' существует угол падения, при котором волна проходит полностью; при других условиях такого угла не существует. Так как (18) не изменяется (исключая знак) при перестановке О, О,; р, р, и т. л., мы заключаем, что волна, падающая во второй среде под углом О,, отражается в той же самой пропорции, что и волна, падаю1цая в первой среде под углом О.
В качестве численного примера предположим, что верхняя среда есть воздух при атмосферном давлении, а нижняя срела — вода. Подставляя вместо с!и 01 его выражение через О и показатель преломления, получаем '„'в", = — "[в' в ( — ' — в)вв в, (20) или, так как приближенно — 4,3, Ыв — "' = 0,23 1/1 — 17,5 !НЯО; с1я 0 отсюда видно, что отношение котангенсов уменьшается до нуля, когда 0 возрастает от нуля примерно до 13', а дальше оно становится мнимым, что указывает на полное внутреннее отражение, получается здесь в предположении, что волны — гармонического типа; но так как в нее не входит А и так как здесь не происходит изменения фазы, то она может быть распространена, в силу теоремы Фурье, на волны любого типа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
