Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 21
Текст из файла (страница 21)
з) (Интересно и поучительно отметить одно замечание Лапласа в переписке с Юнгом. Великий аналитик пишет (1817): «Я твердо уверен в том, что проблема распространения волн, проходящих через различные среды, никогда ие была разрешена, и что она, быть может, выходит за пределы возможностей современного анализа» (гоппц, %'огла, том 1, стр, 374).) 92 (гл. хш члстныа з!алчи для х= -4 а, (ф е-!" ' — !!"е'а !) = арье-ьа р (!т'е-! '+ !"е! !) =рр!е-ьа!, откуда необходимо исключить !!!' и ф!". Получаем: (8) (б) Чтобы перейти к действительным величинам, нужно привесги зти выражения к виду Лес!. Если а, дейслввагнельно, то мы находим соответственно для падающей волны !И = соз (ах + Ьу+ с!), для отраженной волны (а ! — а) 5!и ( — ах+ ау+ с! — ь) 1ь )/4 с!яаа!!+ (а+ а !)Я и для проходящей волны 2 соз (ах+ Ьу + с! -1- а! — я) (8) 'р4 сова а!!+ з!па а!! (а+ а-!)а где (9) Если а =рьс!дй)рс1а 0!=1, то отраженной волны нет, а проходящая волна представляется выражением о = сов(ах+ Ьу+ с1+а1 — а!1), показывающим, что, исключая изменение фазы, вся среда в целом могла бы быть и однородной.
Если 1 мало, то мы имеем приближенно для отраженной волны р = — а,1(а-' — а) з)п( — ах+ Ьу+с1) 1 — формула, приложимая к случаю, когда толщина слоя мала 2 сравнительно с длиной волны. Так как а = — соз бг, то очевидно, ь= л! что для данного угла падения амплитуда изменяется обратно пропорционально Л, или Л. (р' — е") соз а,1 — ! — ~~ (р'+ рн) з!па,1= И!е-!ь1, ~ (4) (а' + ь") соз а,1 в ! †' (а' — !ра) з)п а,1 = а!е а!е а из этих уравнениИ, если обозначить для краткости ар,)а,р через а, Вн а — а а+а ! — 2!с!яаь! ~ т! 2е!еь т' йсоза!+!Мпа!)(а+а-!) ' (б) 271) слой конечной толщиньс ОтРажение исчезает всегда, когда сфвас1=со, т.
е. если 21соз с)с = тлы (10) в ( 2е! ! )/Е )сс «с 1Я 4с!д« вЂ” — +( — — + ь') ( ь'сгс (са ) Предположим теперь, что вторая среда несжимаема, так что 'ьсс =со; наше выражение принимает вид: и«с! ек (11) ~сс 1+«2(гс ) а это показывает, что величина отражения зависит от относительных масс таких количеств среды, объемы которых находятся в отношении 11).. Очевидно, что вторая среда ведет себя подобно твердому телу и действует только посредством своей инерции.
Если этого достаточно, то отражение «со>нет сделаться практически полным. Мьс должны теперь рассмотреть случай, когда а, — лсни.мое. В символических выражениях (5) и (6) сова,1 и !э!па,1 действительны, между тем как и, и+и-', и — и-' — чисто мнимые. Таким образом, если мы предположим, что а, = са,', и = !и', и введем в обозначения гиперболические синус и косинус(ф 170), го получим — с'(«' + «'- с) вй а,! г« 2 си и,! — с(«' — «'-с) зи а,! '!с 2ес«с т 2 ссс а,! — с'(«' — «'-с) зв а,1 Отсюда, если падающая волна дается выражением ср= соя(ах+Ьу+с!), то отраженная волна вырахсается так: («'+ «' ') зп а,! со« ( — ах + Ьу + с!+ «) 9=... (12) )с 4 снви с+ («' — «с-с)а зпв ис! где с1д = = — (и'-с — и') 1)с а'1, 2 (1 3) где т — целое число.
Волна проходит тогда целиком, При перпендикулярном падении интенсивность отражения дается выражением ь с«, гссгс 1!я 1гл. хш ЧАСТНЬ!Е ЗАДАЧИ а проходящая волна дается выражением 2з!И(ах+ Ьу+ с!+ а!+ я) $4 ей~а,!'+ (а — а !)в вйяа,Г (14) : = с соз рх, но вообще мы должны были бы дополнить первый член ряда, выражаемый (1), косинусами и синусами величин, крзтных рх. Потенциал скорости падающей волны (амплитуды единица) можно написать в форме ,(> — Е1А (а! Ф а> (2) Для правильно отраженной волны мы имеем, опуская для краткости множитель, зависящий от времени, й=-А„е-'"', но к этому следует прибавить члены, содержащие созрх, соз2рх и т.
д. Легко видеть, что энергия отраженной и проходящей волн в сумме дает вао энергию падающей волны. Так как в данном случае соответствующие площади волнового фронта равны для всех трех волн, то нужно только сложить квадраты амплитуд, выраженных уравнениями (7), (8) или уравнениями (12), (14). 272. Эти вычисления отражения и преломления в различных условиях можно было бы продоллгить и дальше, однако они более интересны для оптики, нежели для акустики. Важно иметь в виду, что ни при каком числе отражений и преломлений, будут ли они >астичными или полными, энергия не может уничтожаться, и то количество ее, которое теряется в одном направлении, всегда вновь появляется в другом.
На границе между воздухом и каким-либо твердым телом нли жидкосгью огражение обычно бывает, вследствие большого различия в плотности, почти полным Звуки, произведенные в воздухе, не легко сообщаются воде и, паоборог, звуки, источник которых находится под водой, с трудом слышимы в воздухе. Деревянный стержень или металлическая проволока действуют подобно разговорной трубе, передавая звуки с очень малыми потерями на зна >ительные расстояния. 272а.
В предыдущих параграфах поверхность раздела, на которой происходит огражение, предполагалась абсолютно плоской. Квк с акустической, так и с оптической точек зрения интересно исследовать эффект, даваемый шероховатостью или волнистосгью отра>кающей поверхности; поставленную таким образом задачу можно разрешить до извес>ной степени без труда методом Э 268, особенно, если мы ограничимся случаем перпендикулярного падения. Предположим, что уравнение отражающей поверхности есть г = ", где "— перибдическвя функция от х, среднее значение которой равно нулю. В качестве частного случая мы можем взять уравнение 95 272а! отвлжвнив от волнистой повввхности Таким образом, полная величина >у в верхней среде есть се = е"'+Аае-'" +А>е-г>ч» соз рх+ Аяе->в" соз 2рх+..., (3) где р>= аз — рв, р',= >ев — 4рв.
' 1 (4) Выражение (3), в котором для простоты синусы кратных рх были опушены с самого начала, было бы достаточно общим, даже если бы член с сов рх в (1) сопровождался косинусами кратных рх. Как объяснено в 3 268, многое зависит от того, действительны или мнимы величины р>, )>>, ... В последнем случае соответствующие члены имеют заметное значение только вблизи г = О. Если все значения р мнимы, как это имеет место при р) Й, то вся отраженная волна скоро сводится к своему первому члену, Для какого-нибудь дейсгвительного значения р, скажем р„, соответствующая часть потенциала скорости есть ч>= — А, (е ынл "~*>+е ыи '~"' '), 2 что представляет плоские волны, наклоненные к» под углами, синусы которых равны~ —.
Они известны в оптике под названием спек!'р л тров г-го порядка. Когда длина волны волнистой поверхности меньше, чем длина волны колебания, боковые спектры отсутствуют. В нижней среде мы имеем: !7! = Вве' "+ В,е соз рх+ Взе соз 2рх+..., где р>е — — >е! — р', р,а = Й'-„' — 4ръ В каждом члене с показательной функцией коэффициент при» дол>кен быть взят положительным: если он мнимый, это значит, что волна распространяется в отрицательном направлении; если он действительный, это значит, что возмущение уменьшае>ся, вмесго того чтобы возрастать при проникновении во вторую среду. Условия, которым нужно удовлетворить на границе, заключаются в том Я 270), что Р!7 = Р>!г! (7) де де! и д--— — — —, где пп перпендикулярно к поверхности»=ч. Отсюда дл дл' д(в — т!) д(т — в!) д".
д» дх дх »(о сих пор ни на амплитуду, ни на длину волны (2в(р) волнистой поверхности не накладывалось никакого ограничения, Мы предположим теперь, что длина волны очень велика, так что 96 [гл, кп! члстныв злдлчи величиной ра можно всюду пренебречь. При этих условиях уравнение (8) приводится к следующему: д(т — т ) — — = О. де Прн дифференцировании (3) и (5) по з различные члены умножаются на коэффициенты ры ие, ..., и,, р„...; но когда пренебрегают ра, эти величины можно отождествить соответственно с Уе, Уеп Таким образом, на границе де -~ =УУе(е'ас — А е-"' — е! е-'"с сов рх —...) де и дг . Ула! де ''' а, в силу (7). Следовательно, И1р(еглс+ Аее '~".+ А,е '"". сов рх+...) = = ЙРг (егчп Аое" пд А,е иц спз Рх —...), — '= 2(.У,(2йе), А, р — ' = — 2(Уз (2Уес), /~ —" = .Уо (2йс), Аг 2У„(2йс), — 4= 2У,(2(ге), (13) —" = 2суь (2мс), илн ' еяг"с+ А„+ А, соз Уев+ А., соз 2рх +...
= О, (10) Эгим уравнением определяются А, А,, ..., когда известно ".. Если мы положим ч = О, то возвратимся к нашему прежнему результату (23) 9 270 для действительно плоской поверхности. Таким образом, А,, Аа, обрашаются в нуль, между тем как л;., — л,р Ао = л'„, + л,.а (! 1) и выражает амплитуду правильно отраженной волны. Мы приложим теперь (!0) к случаю простой волнистой поверхности, выражаемой уравнением (1), и для краткости обозначим правую часть уравнения(!!) через Ус. Для определения Аз, А„... требуется представить ея'"с в виде ряда Фурье.
Мы имеем (сравните й 343) е'-"ее"'"я =.У (2мс) — 2Уя(2)гс) соз 2рх+ 2У,(2Уее) соз 4рх+... ... + У (2У,(2Уес) соз рх — 2Лв(2Уес) соз Зрх+ +2Уа(2Уес) сов 5рх —...,', (12) где .Уз, .У,, ... — бесселевы функции различных порядков. Таким образом, 272а) нвпгонигглвмость втогой сгвды 97 где коэффициенты четного порядка — действительные, а коэффициенты нечетного порядка — мнимые величины. Полное решение задачи отражения при ограничении случаем малых р получается тогда подстановкой в (3); можно отметить, что этот результат совпадает с тем, который можно получить при помощи обычных оптических методов, учитывающих только запаздывания фаз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
