Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 17
Текст из файла (страница 17)
В точках, расположенных посередине между узлами и пучностямн, незначительное изменение сечения не дает никакого эффекта. Высота, таким образом, решительно изменяется при расширении или сжатии вблизи середины трубы, однако влияние незначительной коничности было бы гораздо меньшим. Выражение (8) для 61 в этом виде приложимо только к самому низкому тону; мы можем, однако, прилагать его к т-му тону гармонической шкалы, видоизменив его путем замены соз(2лх11) через сов (2тлх11). В случае трубы, открытой с обоих концов, (5) заменяется вы- ражением лх Х= соз — сов пг, что приводит к формуле (9) Е ц1 = — ~ сов — — йх 2лх М ! в 0 (10) г) РЫ!.
Мал. (6), том 1, стр. 261, !876. вместо (8). Высота звука на этот раз повышается расширением на концах или сжатием в середине трубы, и, как прежде, на нее не влияет небольшая общая коничность Я 281). 266. Случай бегущих волн, движущихся в трубе переменного сечения, также интересен. В общей форме эта задача была бы очень трудной, но если изменение сечения достаточно постепенно, так что значизельного изменения не происходит на протяжении многих длин волн, то принцип энергии приведет нас к приближенному решению.
Нетрудно видеть, что в предположенном случае заметного отраженна волны на каком-либо участке ее пути не будет и что поэтому энергия движения должна оставаться неизменной '). Но мы знаем, э 245, что для данной площади фронта волны энергия цуга простых волн поопорциональна квадрату амплитуды, откуда следует, что по мере распространения волн амплитуда колебания изменяется обратно пропорционально корню квадратному из сечения трубы.
Во всех остальных отношениях характер колебания остается абсолютно 74 )гл. хп КОЛЕБАНИЯ В ТРУБАХ неизменным. Из этих результатов мы можем получить общее представление о действии слуховой трубки. Очевидно, что согласно обычным приближенным уравнениям не существует предела для концентрации звука, происходящей Б трубе с постепенно уменьшающимся сечением. Этот же самый метод применим, когда плотность среды медленно изменяется от точки к точке.
Так, например, амплитуда звуковой волны, перемещающейся вверх в атмосфере, может быть определена из условия, что энергия остается неизменной. Из й 245 видно, что амплитуда изменяется обратно пропорционально квадратному корню из плотности '). г) Здесь возникает деликатный вопрос об окончательной судьбе звуковых волн, распространяющихся вверх.
Следует заметить, что з разреженном воздухе гасящее действие вязкости сильно возрастает. ГЛАВА Х)Н ЧАСТНЫЕ ЗАДАЧИ. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ПЛОСКИХ ВОЛН Уравнение (1) должно быть удовлетворено всюду в заключенном внутри ящика объеме. Условие на поверхности, которое должно быть удовлетворено на шести гранях ящика, есть просто дт „=о, (2) где г(п представляет собой элемент нормали к поверхности. Удовлетворить (1) и (2) одновременно возможно только при особых значениях Й, Примем три ребра, встречающиеся в одной вершине, за оси прямоугольных координат и положим, что длины ребер равны, 2б7. Прежде чем приступить к исследованию общих уравнений воздушных колебаний, сосредоточим наше внимание на некоторых частных задачах, относящихся, главным образом, к движению в двух измерениях и допускающих строгое и тем не менее сравнительно простое решение.
Таким образом, читатель, впервые знакомящийся с предметом, сможет несколько освоиться с применяемыми здесь идеями и методами, перед тем как приступить к преодоленн>о более грозных трудностей. В предыдущей главе Я 255) мы исследовали колебания в одном измерении, которые могут происходить параллельно оси трубы, оба конца которой закрыты. Исследуем теперь, какие колебз пня возможны внутри замкнутого прямоугольного ящика, отказавшись от того ограничения, что двн>нение должно быть только в одном измерении. Для каждого простого колебания, возможного в данной системе, м изменяется как круговая функция времени, скажем, соз да1, где Ге — некоторая постоянная; отсюда з — )сваям, и поэтому, в силу общего дифференциального уравнения (9) й 2чч, (гл, хш ЧАСТНЫЕ ЗАДАЧИ соответственно, а, р, т, Мы знаем (9 255), что ч~= соз (р — ), р = соз(д —.), са = соз(г — ), где р, д, г — целые числа, являются частными решениями задачи.
Уравнение (2) удовлетворяется любой нз этих форм, а при условии, что Й равно рг!5, дя!р или гя)1, как это может иметь место, удовлетворяется также и уравнение (1). Равным образом очевидно, что условие на границе (2) удовлетворяется на всей поверхности формой Ф = Соз (Р— ) С05(Е) — ) С05(г — ), которая удовлетворяет также (1), если )е взято таким, что (3) (4) где р, д, г, как и прежде, — целые числа г), Общее решение, полученное сложением всех частных решений, охватываемых (3), есть у = ~а~~З~ (А СО5 йае + + В сбп йаг) ° соз (р" — ') ° соз (д4) ° соз (г — '), (5) т = ~~~~~~л~~,~~ С с05 (,Π— ) соэ (Д вЂ” ) с05 (г — 1, где коэффициенты С могут зависеть от Е, но не от х, у, е.
Тогда можно было бы образовать выражения для Т н )г и показать, что они заключают только квадраты коэффициентов С, а из этих выраже- Г) 1)я)зате!, 1.еоиоИе,еоигп. Маев., том Х!У, стр. 84, 1849. где А н  — произвольные постоянные, и суммирование распространяется на все целые значения р, д, г. Это решение достаточно общее, чтобы охватить случай любого такого начального состояния внутри ящика, при котором отсутствует молекулярное вращение. Начальное распределение скоростей зависит от начального значениЯ з», или ~ (иас)х+офУ+тозе(г), н по теореме Фурье может быть представлено в виде (5), если приписать соответствующие значения коэффициентам А.
Подобным же образом можно представить произвольное начальное распределение сжатия (или разрежения), зависящее от начального значения р, если приписать соответствующие значения коэффициентам В. Настоящее исследование можно изложить несколько иначе, если предположить, в согласии с теоремоп фурье, что общее значение о в момент 1 может быть выражено в форме 267! воздушныв колявлния ний вытекли бы нормальные уравнения движения, связывающие каждую нормальную координату С с временем. Колебание наинизшей частоты — то, в котором все движение параллельно наибольшему измерению ящика и нет внутреннего узла.
Таким образом, если и наибольшее из трех ребер а, р, „то мы должны взять р= 1, о=О, г=О. В случае кубического ящика и = 8 = 7, и тогда вместо (4) мы имеем: (6) мв —; (ря + йя + гя), или, если Х вЂ” длина волны для плоских волн того же самого периода, Л= (7) у»ря +,уя .', Для самого медленного колебания (низкого тона) р = 1, о = О, г=О или р=О, д=1, г=О и т. д. и й 2ш Следующий из наиболее низких тонов, когда р = 1, о = 1, г = О и т. д., и тогда 2ч й= )г 2а.
Когда р= 1, о= 1, г=1, й==. Для четвертого 3 3 тона снизу р = 2, д = О, с=О и т. д., а тогда л= 4т. Как и в случае мембраны (й 197), когда два или больше основных типов колебания имеют один и тот же период, другие колебания данного периода могут быть получены путем наложения. Тройной бесконечный ряд возможных простых составляющих колебаний не обязательно полностью представлен в частных случаях сложных колебаний. Если, например, мы предположим, что содержимое ящика в начальном состоянии нигде не сжато и не разрежено и имеет одинаковую скорость, компоненты которой, параллельные осям координат, равны соответственно ие, оо, тое, то мы не получим ни одного простого колебания, для которого свыше, чем одно из трех чисел р, д, г конечно.
Действительно, каждзя компонента начальной скорости может рассматриваться отдельно, и задача аналогична той, которая решена в й 258. В дальнейших главах мы встретимся с другими примерами воздушных колебаний в совершенно замкнутых сосудах. Некоторые из собственных нот воздуха, содержащегося в комнате, можно, вообще говоря, обнаружить, если пропеть гамму. Вероятно, до некоторой степени таким путем слепые способны оценивать размеры комнат').
т) Замечательный пример цитируется в йгатига! РИИозорйу Юнга, том П, стр. 272 из Уоопошуа Дарвина, том П, стр.487.«Покойный слепой судья Филдинг, когда он однажды посетил меня, вошел в мою комнату впервые и после того, как произнес несколько слов, сказал: »Эта комната имеет около 22 футов длины, 18 ширины и 12 высоты"; все вто он опре. делил с большой точностью на слух». 78 !гл.
хп! ЧАСТНЫЕ ЗАДАЧИ В длинных и узких проходах колебания, параллельные их длине, слишком медленны, чтобы действовать на ухо, но ноты, обязанные поперечным колебаниям, часто можно слышать. Относительные пропорции различных обертонов зависят от места, в котором создается возмущение ').
В некоторых случаях этого рода на высоту колебаний, направление которых, в основном, поперечное, влияет наличие продольного движения. Предположим, например, в (3) и (4), что !1 = 1, г = О и что а значительно больше, чем р. Для основного поперечного колебания р = О н гз = — . По кроме этого имеются колебания другого типа, в которых движение, в основном, поперечное; мы полу~!аем их, приписывая р малые целые значения. Так, когда р = 1, ,(1 + 1) — выражение, показывающее, что высота почти такова же, как и прежде л). 268.
Если мы предположим у бесконечно большим, то ящик предыдущего раздела превращается в бесконечную прямоугольную трубу со сторонами о н !з. Каково бы нн было движение воздуха внутри этой трубы, его потенциал скорости можно выразить по теореме фурье в виде ряда Ът Ъ1 - ях ггг су =~ т А совр — совгу — ",, — лз а где коэффициенты А не зависят от х и у. Пользуясь этой формой, мы обеспечиваем выполнение граничного условия, требующего отсутствия движения через стенки трубы; природа А, как функции г и г, зависит от других условий задачи. Рассмотрим случаИ, в котором движение в каждой точке гармоническое и обязано нормальному движению, сооб!цаемому перегородке, помещенной поперек трубы при д = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
