Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 16
Текст из файла (страница 16)
В этом опыте указателем колебания служит небольшое газовое пламя, питаемое через трубку, которая сообщается с полостью, носящей название манометрической коробки. Эта полость ограничена с одной стороны мембраной, на которую действует колеблющийся воздух. Когда мембрана колеблется, вследствие чего емкость коробки делается переменной, приток газа делается непостоянным, а пламя становится прерывистым.
Период колебания, конечно, слишком мал, чтобы эта прерывистость обнаружилась, когда пламя наблюдается непосредственно. Покачивая головой или при помощи подвижного зеркала, можно разложить его на более или менее отдельные изображения; но даже и без разложения непостоянный характер пламени ясен из его общего вида.
В опытах с органными трубами одна или несколько коробок монтируются на трубе такил! образом, чтобы мембраны находились в соприкосновении с колеблющимся столбом воздуха; различие в пламени очень заметно, в зависимости от того, расположена лн соответствующая коробка в узле или в пучностн. ) Г)я!опя, пйеспегсйев вяг !ев сйв1епш врзсй!Чяев йев !!п!г)ев 8!вв!)йяев>, Апл. пп Свтт., точ Х! К сгр.
113, !829. в) УЧег!Пе1ш, Алл, пе Сйгпв., третья серия, том ХХ)11, сгр, 434, 1848. в) 8зчагг, Апп. ле Свил., том ХХГЧ, стр. 56, 1823. 68 1гл. хп кОлеБАнйя в ТРУБАХ 263. До сих пор мы предполагали трубу прямой, но легко представить себе, что это обстоятельство, когда поперечное сечение мало и площадь его не меняется, не имеет большого значения. Представим себе кривую ось х, идущую посредине трубы, и пусть постоянное сечение, перпендикулярное к этой оси, есть 5. Когда наибольший диаметр сечения 5очень мал сравнительно с длиной волны звука, потенциал скорости р становится почти неизменным в пределах сечения; прилагая теорему Грина к пространству, ограниченному внутренней поверхностью трубы и двумя поперечными сечениями, Щ Уэт и = 5 ' л й).
Но, в силу общего уравнения движения, ~ ~ 1 "-=-'.Ш "=-'' —,''П ~*"=-'й ~"- и в пределе, когда расстояние между сечениями стремится к нулю, тс1х=тс1х Ь(д ) д яда 2 =~'.,'я так что д'-Р д"Р дГБ дл'"" (1) а это показывает, что зависимость у от х такая же, как и для прямой трубы. С помощью уравнения(1) легко исследовать колебания воздуха в кривых трубах постоянного сечения; результаты являются строгими следствиями наших основных уравнений, которые не учитывают трения, когда сечение предполагается бесконечно малым.
В случае тонких труб, какие употреблялись бы в экспериментах, описанные результаты, во всяком случае, достаточны, чтобы дать очень хорошее представление о том, что происходит в действительности. 264.Мы перейдем теперь к рассмотрению некоторых случаев связанных труб. На фиг, бб АО представляет тонкую трубу, которая Фпг. 55. разделяется в Р на две ветви ОВ и 1)С. В Е ветви соединяются снова и образуют одну трубу ЕЕ.
Сечения труб А0 и ЕЕ и их ветвей предполагаются постоянными, а также очень малыми, 264! Р тзветвленные тРуБы Предположим сначала, что в А вступает положительная волна произвольного типа. По приходе к разветвлению Р она дает две положительные волны: в В и в С и, если только не удовлетворено некоторое определенное условие, отраженную отрицательную волну в А. Обозначим потенциалы положительных волн чеРез УА, Ув, Ус, у в каждом случае некоторая функция х — ат; потенциал отраженной волны пусть будет тс(х+ат). Тогда условия, которые должны быть удовлетворены в Р, сводятся к тому, что, во-первых, давления для всех трех труб должны быть одинаковы и, во-вторых, полная скорость жидкости в А должна быть равна сумме полных скоростей жидкости в В и в С.
Таким об,тазом, пользуясь буквами А, В, С для обозначения площадей сечений, мы имеем, 9 244, тв тс' А УА + Р) = Вув+ Сус' откуда В+С вЂ” А В+С+А ) тв Ус В+ С+ АУА' !3) ') Очевидно, что ув и ус всегда одинаковы. Отражения нет, если В+С=А, (4) т. е. если соединенные сечения ветвей равны сечению главной трубы; а когда это условие удовлетворено, УВ Ус УА (5) Волна перемещается тогда в В и С точно так же, как это она делала бы в А, не будь здесь перерыва. Если длины ветвей между Р и Е равны и сечение Е равно сечению А, то волны по приходе в В соединяются в одну волну, распространяющуюся вдоль Г, и здесь опять не происходит отражения.
Таким образом, разделение трубы не дало абсолютно никакого эффекта, а так как то же самое было бы верно и для отрицательной волны, идущей от гт к Л, то мы можем вообще заключить, что трубу можно разделить на две или более ветвей одинаковой длины, и это нисколько не повлияет на законы воздушного колебания, если только общее сечение останется постоянным. Если длины ветвей от Р до Е неравны, то результат будет иной.
Кроме положительной волны в Г будут иметься вообще и отраженные отрицательные волны в В и С. Наиболее интересный случай †э, когда волна гармонического типа и |) Эти формулы, в применении к определению отраженной и преломленной воли в месте соединения двух труб с сечениями В + С н А соответственно, дани Пуассоном, Мет. ае !уплытий том 11, стр. 305, !819. Читатель не должен забывать, что оба диаметра должны быть малы по сравнению с длиной волны.
70 1гл, хп колввлния В тРуБАх 1 одна из ветвей длиннее, чем другая, на величину, кратную — 1,. 2 1 Если разность есть четное кратное — 1, то результат будет такой 2 же, как если бы ветви были одинаковой длины, и никакого отражения не произойдет. Предположим, однако, что хотя сечения В и С одинаковы, одна из ветвей длиннее другой на величину, равну>о 1 нечетному кратному — 1,. Так как волны приходят в Е в противо- 2 положных фазах, то из соображений симметрии следует, что положительная волна в Е должна исчезнуть и что давление в Е, которое необходимо одинаково для всех труб, должно быть постоянным.
Волны в В и С отражаются, следовательно, как от открытого конца. Обнаружить, что условия вопроса таким путем удовлетворены, можно еще, предположив, что вблизи Е, поперек трубы Е, помещена перегородка так, чтобы трубы В и С сообщались без изменения сечения. Волна в каждой трубе будет тогда без помехи проходить в другую, а изменение давления в Е, будучи результирующей равных и противоположных компонент, обратится в нуль. Но тогда перегородку можно удалить, не нарушая условий, и вдоль Е не будет распространяться никакой волны, каково бы ни было сечение этой трубы. Рассмзтриваемое нами сейчас устройство было придумано Гершелем и использовано Квинке и другими для экспериментальных целей — применение, которое впоследствии мы будем иметь случай описать.
Само это явление часто приводится в качестве примера интерференции, против чего, конечно, нечего возразить, но этого нельзя уже сказать, когда читателя побуждают предположить, что положительные волны в Е нейтрализуют друг друга, и что этим все кончается. Не следует забывать, что при интерференции нет потери энергии, а только происходит ее перераспределение; если энергия и уходит из одного места, то она появляется взамен в другом.
В настоящем случае положительная волна в А несет с собой энергию. Если волны вдоль Е нет, то имеются две возможности: энергия накапливается в ветвях, или же она идет назад, вдоль А, в форме отрицательной волны. Лля того чтобы видеть, что происходит в действительности, проследим за распространением волн, отраженных в Е назад. Эти волны одинаковы по амплитуде н исходят от Е в противоположных фазах; при переходе от Е до Е1 одна нз них должна пройти 1 расстояние, большее на некоторое нечетное кратное — 1, чем дру- 2 гая, н поэтому по приходе в 0 они должны оказаться полностью совпадающими. При этих условиях они соединяются в одну волну, которая распространяется в отрицательном направлении вдоль А, и здесь нет никакого отражения. Когда отрицательная волна достигает конца трубы А или подвергается какому-.тибо иному возмущению на 2661 71 РАЗВЕТВЛЕННЫЕ ТРУБЫ своем пути, то вся она, или часть ее, может отразиться, и тогда процесс повторяется.
Но как бы часто это ни происходило, вдоль Г волны не будет, если только в результате накопления, вследствие совпадения периодов, колебание в ветвях не станет настолько большим, что малой его долей далее пренебрегать будет нельзя. Мы можем рассуждать еще и следующим образом, Предположим, что труба В разделена перегородкой, как прежде. Двнхгение в кольце, будучи обязано силам, действующим в 0, необходимо симметрично относительно 0 и 0' — точки, которая делит 0ВС0 на равные части. Поэтому в 0' находится узел, и колебание — стоячее. Если это так, то в точке Е, отстоящей в ту или иную сто- 1 г рону на — ) от 0', должна находиться пуч- 4 ность; и если даже перегородку удалить, то в Г все равно не будет тенденции к возникновению колебания. Если периметр кольца кратен ),, то в нем может существовать колебание данного периода не- В зависимо от всяких боковых отверстий.
Аналогичным образом можно рассматривать и всякую другую комбинацию связанных труб. Обпгий принцип заключается в том, что в каждом месте соединения можно взять объем достаточно большой, чтобы он заключал в Аг себе область, где отсутствие однород- Фнг. 56. ности влияет на закон волн, и все же настолько малый, чтобы наибольшим из его размеров можно было еще пренебречь сравнительно с А. При этих условиях жидкость внутри данного объема можно рассматривать так, как если бы длина волны была бесконечно большой или сама жидкость несжимаемой; в последнем случае ее потенциал удовлетворял бы уравнению уЪ = б, следуя законам, аналогичным законам электрических явлений. 265. Когда сечение трубы переменно, проблема колебаний воздуха внутри нее в общем случае не может Фнг.
57. быть решена. Случай конических труб будег рассмотрен в одной нз последующих глав. Здесь же мы исследуем приближенное выражение для высоты звука в почти цилиндрической трубе, взяв сначала случай, когда оба конца закрытые. Метод, который будет здесь применен, аналогичен методу, применявшемуся для струны, плотность которой не вполне постоянна (Я 91,!40). Этот метод основывается на принципе, согласно которому период собственного колебания должен удовлетворять условию [гл хп КОЛЕБАНИЯ В ТРУБАХ Г Хо т= —,Р ~ чд. 2 Потенциальная энергия ф 245 (12) выраокается вообще в виде (г= — азр ~ ~ ~ уаг((г, нли, так как г(У'= 5г(х, через 1г= — аэр ~ 5зз дх 1 2 Ф Но, в силу условия непрерывности, 1 дХ 5 дх (2) и, таким образом, 2 „~ 5(дх, (4) Если мы примем теперь для Х выражение того же вида, какое получаем прн постоянном 5, именно лх Х= з!п — соз пг, (5) то получим из значений Т и Ъ' (1) и (4) ! „лх дх сооо —— ! аоло о ля=в гз ( 1 лх дх з(пав 5 о или, если напишем 5=5 +Ь5 и пренебрежем квадратом Л5, (7) о (б) стационарности и поэтому может быть вычислен из потенциальной и кинетической энергий некоторого гипотетического движения, не слишком сильно отличающегося от действительного типа.
В согласии с этим планом, мы будем принимать, что скорость, нормальная к некоторому сечению 5, постоянна в пределах сечения, что должно быть очень близко к истине, когда изменение 5 происход от медленно. Пусть Х представляет собой полный перенос(поток) жидкости за время 1 через сечение при х, отсчитываемом от состояния равновесна; тогда Х представляет полную скорость потока, а Х/5— действительную скорость частиц жидкости, так что кинетическая энергия движения внутри трубы выражается в виде: пггеменное сечение 266] Этот результат удобно выразить через й1, поправку, которую нужно внести в 1, чтобы высоту звука можно было вычислять по обычной формуле, как если бы о было постоянно. Значение 61определяется формулой з1 = ~ соз — — йх. 2лх Д8 т 50 О (8) Эффект изменения сечения наибольший вблизи узла или вблизи пучности, Расширение сечения в первом случае поним<ает высоту, во втором случае — повышает ее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
