Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 25
Текст из файла (страница 25)
279. Проблелэа сферических волн, расходящихся из точки, по существу уже вошла в круг нашего внимания и до некоторой сте- пени была рассмотрена, по ввиду ее важности требует более де- тальной трактовки. Если центр симметрии взять в качестве полюса, то потенциал скорости есть функция одного только г, и (9 241) тв да 2д ! д/ дх сводится к — + — — или к — — ! гз — ). Уравнение свободного двидгэ г дг ' гз дг ~ дг)' жения (3) 9 273 приобретает, таким образом, вид: — й-,э аз — а-а-, да(гя) э дэ(гя) (1) откуда, как в 9 245, гу =у'(аг — г)+г"(а(+ г).
(2) 6 зээ ыгз Рэээв, И Мы предположим теперь, что условием, предписанным для бесконечной плоскости, вместо др/да=О, является эу= О. В этом случае фиктивное РаспРеделение фе, Уе, Ф на дРУгой стоРоне плоскости должно быть противоположным распределению на первой стороне, так что сумма значений в двух соответствующих точках всегда равна нулю.
Этим обеспечивается равенство 9 нулю всюду на самой плоскости симметрии. Предположим далее, что имеются две параллельные поверхности 5, и Яа, разделенные бесконечно малым интервалом э(п, и что значение Ф, на второй поверхности равно и противоположно значению Ф, па первой поверхности. При переходе через 8ы согласно (2), имеет место конечное изменение значения дм7дп на величину Ф (аэ, ! при переходе же через Яз то же самое конечное изменение происходит в обратном направлении. !(огда дп стремится к нулю и Ф,дп заменяется через Ф„, до)дп оказывается одинаковым по обе стороны двойного слоя, но значение эу претерпевает разрыв величиною Фээ(аа. В то же самое время (1) принимает вид: 114 [гл.
хпг озщив утавнзния Значения скорости и сжатия найдутся путем дифференцирования в согласии с формулами ,, 'Х . дт 1 дт дг' аа де (8) Как и в случае одного измерения, первый член представляет волну, распространяюгцуюся в направлении возрастающих г, т. е. расходящуюся волну, второй же член — волну, сходящуюся к полюсу. Последняя сама по себе не представляет большого интереса. Если мы ограничим наше внимание расходящейся волной, то имеем: г (ае — г) у'(ае — г) у'(ае — г) и= — — — аз=в га (4) — то же соотношение, что и в случае плоской волны, как этого и следовало ожидать.
Если тип колебаний — гармонический, то ге Алга(ш-~+а! или, если удерживается только действительная часть, 2я лр = А соз —. (аг+ 0 — г). х (7) Если расходящееся возмущение ограничено сферическим слоем, внутри и вне которого сжатие н скорость равны нулю, то характер волны определяется замечательным соотношением, впервые указанным Стоксом г). Из уравнений (4) мы имеем: (аз — и) гв = у (а! — г) — выражение, показывающее, что значение 7(а( — г) внутри и снаружи слоя, которым ограничена волна, одно и то же, а именно, равно нулю. Отсюда, в силу (4), если а и р радиусы, больший и меньший, чем крайние радиусы слоя, егдг=О, что и выражает упомянутое соотнош ние. Как в $274, мы видим, что волна сжатия или волна разрежения не может существовать отдельно.
Когда радиус становится большим в сравнении с толщиной, изменением г в интеграле можно пренебречь, и уравнение (8) выражает тогда, что среднее сжатие равно нулю. г) 8(охеа, Рдд, Мал., ХХХ1Ч, стр. 52, 1849. (8) Когда г очень велико, членом, содержащим в делителе гэ, можно пренебречь, и тогда приближенно и=аз (б) 279) СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ 1Пользуясь методом Фуко, позволяющим делать видимыми малейшие оптические неоднородности„ Теплеру ') удалось наблюдать сферические звуковые волны, возникающие в малых электрических искрах, и их отражение от плоской стены. Впоследствии фотографии подобных явлений были получены Махом Я).) Применяя общее решение (2), чтобы получить движение, возникающее при произвольных начальных условиях, мы должны помнить, что в его настоящей форме оно слишком сбще для этой цели, так как охватывает случай, когда полюс является источником илн местом, где жидкость вводится или выводится, в нарушение уравнения непрерывности.
Полный поток через поверхность сферы радиуса г есть 4ггви, нли, в силу (2) и (3), — 4л '1 /(аŠ— г) + Р(аЕ+ г)) + 4лг ( Р'(а(+ г) — /'(ат — г)), так что, если в полюсе нет источника, то /(а( — г)+Г(аГ+ г) или гр должно обращаться в нуль вместе с г. Таким образои, /(ат) + Р (а)) = 0 (9) — уравнение, которое должно быть справедливо для всех положительных значений аргумента а). В силу известных начальных условий значения и и з определены для времени Е = О и для всех (положительных) значений г.
Если эти начальные значения представлены ие и зо, то мы получаем нз (2) и (3) уравнения /( — г) + Г (г) = г ) из >1г, /( — г) — г'(г) =а ) еаг>7г, (10) >) Тбр>ег, Рейд. Алл., том СХХХ1, стр. 33, 180, !867. з) Мась, .Ясель, >гег >Гг(епег Агфа»'., 1889. з) решение для сфсрнческих колебаний можно пахуч> ть, не пользуясь (1), суперпознцией плоских волн, также отнесенных к нол>осу и распространяющихся наружу симметрично по всем направлеииям. 8" которыми функция/ определяется для всех отрицательных значений аргумента, а функция Р— для всех положительных значений.
Вид / дчя положительных значений аргумента вытекает из (9), а тогда все последующее движение определяется уравнением (2). Вид Г для отрицательных значений аргумента знать не обязательно. Начальное возмущение разделяется само на две части, перемещающиеся в противоположных направлениях, в каждом из которык гТ распространяется с постоянной скоростью а, причем волна, идущая внутрь, непрерывно отражается в полюсе.
Так как условие, которому нужно здесь удовлетворить, есть гр= О, то этот случай, до известной степени, аналогичен случаю цилиндрической трубы, оканчивающейся открытым концом, и таким путем мы, может 1гл. :>ч огп>ив углвнвния быть, будем в состоянии лучше понять, почему за волной сжатия, возникающей в результате освобождения массы сжатого воздуха вокруг полюса, немедленно следует волна разрежения. !Сложный характер волны, возникающей в результате начального сжатия, можно призвать для объяснения одного часто вызывавшего удивление явления. Часто наблюдают, что стекла, разбитые сильным взрывом по соседству, выпадают наружу, как будто бы они подверглись действию волны разрежения.
Этот эффект можно понписать второй части сложной волны, но при этом естественно спросить, почему >ке вторая часть должна преобладать над первой г' Если бь> стекло было подвешено свободно, то количества движения, приобретенные им от волны сжатия и волны разре>кения, были бы равны. Но в действительных условиях легко может случиться, что сила волны сжатия затрачивается па преодоление сопротивления опор (зцррог!з), и тогда волне разрежения оставляется свобода произвести ее полный эффект.) 280. Возвращаясь теперь к случаю цуга гармонических волн, распространяющихся наружу из полюса, как из источника, исследуем связь между потенциалом скорости и количеством жидкости, которое надо предполагать попеременно вводимым и удаляемым в полюсе.
Если потенциал скорости есть ч'-г А (!) то мы имеем, как в прелыдущем разделе, для полного потока, пересекающего сферу ралиуса г, 4ягэ . -- = А (соз м (ат — г) — Ь. з! п 'л (ат — г)) =- А соз >гаР, ю '>г д~ где г достаточно мало. Если обозначить максимальную скорость введения жидкости через А, то соответствующий потенциал дается выражением (1). Следует заметить, что если источник, измеряемый величиной А, конечен, то потенциал и изменение давления (пропорциональное м) в полюсе бесконечны.
Это, однако, не влечет за собой, как можно было бы сначала предположить, бесконечного испускания энергии. Если давление разлелено на две части, одна из которых совпадает по фазе со скоростью, а другая — с ускорением, то первая часть, от которой зависит работа, конечна. Бесконечная часть давления в целом не совершает работы, но лишь поддер>кивает колебание воздуха непосредственно вокруг источника, эффективная инерция которого бесконечно велика, Исследуем теперь энергию, испускаемую простым источником заданной интенсивности, предполагая для большей общности, что источник расположен в вершине твердого конуса с телесным углом м.
Если скорость, с которой вводится жидкость в источник, 2801 ИСПУСКЛЕМЛЯ ЭНЕРГИЯ есть А созааг, то мы имеем окончагельно а>гэ — = А соз ргир, др дг соответственно а = — — соз !> (ат — г), А аг (2) откуда р = — з!п а (а! — г) ЛаА аг (8) а>гз — = А (соз !г (а! — г) — !зг з!и Уг (ат — г))>. дч дг (4) Таким образом, как в ф 245, если г(йт — работа, перенесенная за время Ш, мы получаем, поскольку ор= — рр, д Йт рааА> Л>аАЯ вЂ” — з!и а(ат — г) соз Л(аг — г)+р — з!ля й (а! — г).
д! аг Ш Первый член правой части целиком периодический, а во втором среднее значение з!и а(ат — г) равно —. Таким образом, за длия 1 2' тельное время раэаАЕ 2а (5) ') Следует отметить, что при заданном источнике амплитуда изменяется обратно пропорционально м, и поэтому интенсивность обратно пропорциональна а>э. Для острого конуса интенсив>юсть больше не только за счет уменьшения телесного угла, внутри которого распределяется звук, но также и потому, что сама полная энергия, испускаемая источником, возрастает. Когда источник находится в открытом пространстве, мы должны только положить а> = 4п, когда же он расположен вплотную к твердой плоскости, а> = 2п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
