Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Действительно, при исследовании обнаруживается, что среднее значение ~уо, умноженное на радиус сферы, одно и то же, каковы бы нн были положение и размеры сферы, при одном только условии, что она проходит целиком в области первоначального возмущения. Если аг > А, то о, таким образом, постоянно как в пространстве, так и во времени, и в соответствии с этим среда находится в покое. 1Эти же принципы можно применить и к истолкованию явления грома. Мы могли бы предположить, что образование теплоты вдоль пути молнии является равномерным и эквивалентным равномерному начальному распределению сжатия.
Повидимому, значение м в Π— точке наблюдения — может быстро изменяться только тогда, когда сфера г = аг' встречает путь разряда в самых его концах, или же очень косо.! 275. Можно было бы предположить, что в двух измерениях, когда й не зависит от г, соответствующие формулы получатся путем простой замены сферы радиуса аГ кругом равного радиуса. Это, однако, пе так. Можно показать, что среднее значение функции г"(х, у) вдоль окружности радиуса г есть Уо()гр) го, где 1= У" — 1. уа до дя дло дуо а уо — функция Бесселя нулевого порядка, так что — ~ Р(' У) ЮБ=-(1+ 2, +~ 4.+ )Р— выражение, отличающееся от того, которое требуется, чтобы удовлетворить основному уравнению.
Правильный результат, приложимый к двум измерениям, можно получить из общей формулы. Элемент сферической поверхности дБ можно заменить через гдгдй!созф, гле г, 9 — плоские полярные координаты, а ф — угол между касателыюй плоскостью и плоско- стью, в которой происходит движение. Таким образом, )Газо я — гз сов 6= аг г(аг) заменяется через г'(г, О), и, следовательно, ~ р(г, 0)гагаэ о 4ка )гаоа — га 108 (гл. хщ ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ причем интегрирование производится по площади круга радиуса г=а/. Другой член можно получить по правилу Стокса. Это решение приложимо к движению слоя газа между двумя параллельными плоскостями или к движению безграничной натянутой мембраны, которое подчиняется тому же основному уравнению.
276. Из решения, выраженного через начальные условия, мы можем, как обычно, вывести эффект непрерывно возобновляемого возмущения. Предположим, что всюду в пространстве Т (которое мы в конце концов сделаем исчезающе малым) сообщается в момент времени Р равномерное возмущение м, равное Ф(1')й/'. Соответствующее значение р в момент времени 1 есть где 5 обозначает часть поверхности сферы г=а(/ — 1'), заключенную внутри Т, величину, которая исчезает, если только а(1 — Р) не заключено между узкими пределами г, и гз Но / — /' можно заменить через г/а и ф(1') через Ф(/ — г/а); результат интегрирования по Ю' найдется, если написать Т(объем) вместо ) а5г//'. Отсюда: Т, ( г) это показывает, что возникающее в какой-либо точке возмущение распространяется симметрично по всем направлениям со скоростью а и с амплитудой, изменяющейся обратно пропорционально расстоянию.
Так как можно осуществить суперпозицию любого числа частных решений, то общее решение уравнения (2) можно написать в такой форме: (8) где г обозначает расстояние элемента г(У, расположенного в точке х, у, з, от О (где оценивается м), а Ф (/ — г/а) есть значение Ф для точки х, у, г в момент времени / — г/а. Дополнительные члены, удовлетворяющие во всем пространстве уравнению О = пяртом, могут, конечно, войти в это решение независимым образом. В нашем прежнем обозначении (й 244) дг ~ Хпх+ 1 пу+ ~ ~/з' и предполагается, что ХИх+ 1'Фу+ЕНг есть полный дифференциал.
Силы, при наличии которых среда не могла бы сама прийти в равновесие (например, сила, одинаковая по величине и направле- 277) 1Об ГАРмоничвский тип нию в пределах пространства Т и исчезающая вне этого пространства), исключены. Природу возмущения, обозначенного через Ф, лучше всего, вероятно, понять, рассматривая крайний случай, когда Ф исчезает всюду за исключением малого обьема, который предполагается беспредельно уменьшающимся, между тем как величина Ф возрастает таким образом, что эффект в целом остается конечным. Если мы тогда проинтегрируем уравнение (2) по малому пространству, заключающему точку, в которой окончательно концентрируется Ф, то найдем в пределе: (4) там+/аз~у+а эФ = О, где, для краткости, вместо и/а написано /г.
Если Л обозначает длину волны колебания рассматриваемого периода, л 2я к= — = —. а Л * (2) Чтобы приспособить выражение (3) предыдущего раздела к настоящему случаю, необходимо только заметить, что замена / на г — г/а осуществляется введением множителя е-гюта или е-га"; — выражение, показывающее, что эффект Ф момгно изобразить пропорциональным введением или удалением жидкости в рассматриваемом месте.
Простейший источник звука аналогичен, таким образом, фокусу в теории теплопроводности или электроду в теории электричества. 277. Предыдущие выражения являются общими в смысле зависимости от времени входящих в них функций, но почти во всех приложениях, с которыми мы должны будем иметь дело, удобнее будет анализировать движение с помощью теоремы Фурье и трактовать простые гармонические движения различного периода по отдельности, комбинируя впоследствии, если это потребуется, результаты. Значения чг и Ф, если они являются простыми гармониками в кагкдой точке пространства, могут быть выражены в форме /7 сов(иг + г), где /7 и г не зависят от времени, но меняются от точки к точке.
Но поскольку в таких случаях прибавление члена Я яп (л/+ г), дающее в целом Йеч"'ч и или /7е" ° е"", часто упрощает дело, мы будем просто предполагать, что все функции, входящие в задачу, пропорциональны е'"', коэффициенты же вообще комплексны. После того как наши операции будут закончены, действительные и мнимые части выражений могут быть разделены; каждая из них в отдельности составляет решение вопроса. Так как ч пропорционально е'"', у = — ияв, и дифференциальное уравнение принимает вид: (гл.
хгн 11О оглцнв увазнвния таким образом, Ф (1 г) е ллгФ (Г) и решение (!) имеет вид: — Фд (3) — выражение, к которому можно прибавить любое решение урав- нения Ру + (лзо = О. Если все возмущающие силы находятся в одинаковой фазе и область, в которой они действуют, очень мала в сравнении с дли- ной волны, то е-л"т может быть вынесено из-под знака интеграла, и на достаточном расстоянии мы можем взять или в действительных величинах, восстанавливая временной мно- житель и заменяя ) ) ) Ф г))г через Ф,, соз (лг — Лг + 6) лг= Фл 4паег Для подтверждения того, что решение(3) удовлетворяет дифферен- циальному уравнению (1), мы можем поступить как в теории обычного потенциала, Рассматривая один элемент интеграла в не- который момент времени, мы должны прежде всего показать, что е лг = (3) г удовлетворяет 7'~+ Иле = 0 в точках, для которых г конечно.
Простейший путь — это выразить Гл в полярных координатах, отнесенных к самому элементу, взятому в качестве полюса; тогда е-лл /дл 2 д ле-лл' 1 дл е — е л е Мы заключаелл, что (3) удовлетворяет 7'-'ле+ Ир = 0 во всех точках, где Ф обращается в нуль.
Для точки, в которой Ф не исчезает, мы можем исключить нз рассмотрения все элементы, расположенные на конечном расстоянии (так как они дают лишь члены, удовлетворяющие уравнению рэр+дэр = 0), а для элемента на бесконечно малом расстоянии заменить е-'л" единицей, Таким образом, в сумме (Чя+й)~= — л) ~ ~~ ~рФ = — -Ф, 4гае .л,),) г ае в точности так же, как в теореме Пуассона лля обычного потен- циала ').
л) См. Тйолпзоп апд Тан, )налига( РМ!оеорду, й 491, 2? 8! повегхностныв Рлспявдвления 278, Эффект силы Ф„распределенной по поверхности 5, можно получить в предельном случае из (3) в 277. Фл'г' заме- няется через ФЬЮ, где Ь обозначает толщину слоя; в пределе мы можем написать ФЬ=Ф,. Таким образом, и= „'„, ~~ Ф,'„ (1) Значение и одинаково по обе стороны от 5, но производные е претерпевают на 5 разрыв. Если дл проведено по нормали наружу от 5, то (4) в 276 дает (2) Если поверхность 5 — плоская, то интеграл в (1), очевидно, сим- метричен относительно нее, и поэтому (~'),=('*.)..
Отсюда, если да/дл есть заданная нормальная скорость жидкости в соприкосновении с плоскостью, то значение я определяется выражением (3) которое представляет собой весьма важный результат. с!тобы выразить его через действительные величины, мы можем положить — т = Ре'ии+ 1, (4) дл — ~=Рсоа (л1+е). дт дл (7) Этот же самый метод приложим к общему случаю, когда движение не обязательно сводится к простой гармонике, Мы имеем: 1 ~ ~ ( г) л5 (3) ') Не1шнойя, Сгепе, том 37, стр. 21, 1300. где Р и в — действительные функции положения Н5.
Символическое решение принимает тогда вил; 'р = — — ) ~ Реп н а + » — ' (б) 2т.,~ г из которого, если отбросить мнимую часть, мы получаем 1 1' ~ соз (лг — Лг+ «) (6) 2я,) соответственно 112 (гл. хш овщиг. гглвнвния гх где через 1ф ††! обозначена нормальная скорость в плоскости а! для элемента с(5 в момент времени 1 — г/а, т. е. на время г(а, предшествующее моменту, для которого оценивается сс. Чтобы завершить решение проблемы для неограниченной массы жидкости, лежащей по одну сторону бесконечной плоскости, мы должны прибавить наиболее общее выражение для с7, совместимое с (г=О. Эта часть вопроса тождественна с общей задачей отражения от бесконечной твердой плоскости ').
Очевидно, эффект связи будет представлен, если ввести по другую сторону плоскости фиктивные начальные смещения и силы, образующие в соединении с лействительно существующими на первой стороне систему, строго симметричную относительно плоскости. Каковы бы ни были начальные значения ~ и р, принадлежащие любой точке на первой стороне, то же самое должно быть приписано ее изображению, и равным образом, какая бы функция времени Ф ни существовала в первой точке, такую же точно функцию времени следует представить себе в другой. При этих условиях ясно, что с7 для всего последующего времени будет симметрично относительно плоскости, и поэтому нормальная скорость равна нулю, Но тогда очевидно, что в движении на первой стороне ничего не изменится, если плоскость будет удалена и жидкость будет простираться неограниченно во всех направлениях, — если, конечно, положить, что условия на второй стороне являются точным отображением условий на первой стороне.
Если иметь это в виду, то общее решение задачи для жидкости, ограниченной бесконечной плоскостью, содержится в формулах (8) 8 273, (3) 8 277 и (8) настоящего раздела. Они дают результат для пРоизвольных начальных Условий ~ус и Ус, пРоизвольных пРиложенных сил Ф и произвольного движения плоскости со скоростью (г. Если измерять по результирующему потенциалу, то источник заданной интенсивности, т. е. источник, в котором происходят заданные поступление и отток жидкости, вдвое эффективнее, когда он находится вплотную по соседству с твердой плоскостью, чем в случае, когда он расположен в открытом пространстве; результат в конечном счете одинаков, сконцентрирован ли источник в одной точне в близком соседстве с плоскостью или же он обусловлен соответствующим нормальным движением поверхности самой плоскости. действие плоскости состоит в том, что она удваивает эффективные давления, которые противостоят расширению и сжатию у источника, и поэтому удваивает полную испускаемую энергию, а так как эта энергия рассеивается только в пределах полупространства, то интенсивность звука учетверяется, что соответствует удвоенной амплитуде, или улвоенному потенциалу Я 245).
г) Ро1ззоп, 7оиглас ае Расо!е ра!у~есдлгсгие, том ЧП, 1808. 2791 двойные слои !!3 чгаз 1 1 дп( г ) (9) Если поверхность 5 плоская, то значения эр по обе стороны ее численно равны, и поэтому вплотную к самой поверхности 9= -+- — а-г,р ! 2 ы Отсюдз (9) можно написать следующим образом: 2я.!,) дп( г ) т (10) где 9 под знаком интеграла предсгавляет собой поверхностный потенциал, поломэительный на одной стороне и отрицательный на другой, обязанный действию сил в 5. Нап!эавление дп следует считать в ту сторону, с которой подсчитывается 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
