Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Перепишем основное уравнение (45') в развернутом виде: 508 динамика вязкой жидкости и гьзь 1гл. чтп Это уравнение 2-го порядка в частных производных должно быть разрешено при начальном условии при 1=0 и го)О, 1)=О и граничном условии (г любое) при го-+ со, ье=О. Уравнение 146), которое может быть еще переписано в форме широко известного уравнения теории распространения тепла дИ дон 1 дО 146') ~Я Я= — е (4У) в чем легко убедиться простой подстановкой этого выражения в уравнение (46') и ранее указанные начальное и граничное условия.
Чтобы найти величину А, воспользуемся теоремой Стокса и напишем, что в любой момент времени интенсивность вихревой трубки радиуса го Я ° 2ато Нго о равна циркуляции скорости по окружности радиуса г* )Г ° 2яго. Будем иметь: , а „~2 РА 2лч Ъ'= — ] — е о"о ° 2иг* ~1го = — „(1 — е 2иго,~ Г о (48) или, сравнивая с начальным распределением скоростей при 1= О 1г=— Г 2иго ' найдем Г 4хн ' Таким образом, будем иметь окончательные формулы: распределении вихря г'3 Г е юм ам (47') принадлежит к иариболичееному типу.
Нашей задаче удовлетворяет простейшее его решение (А = сопа1): $81) внхвввыв линии в идвальной н вязкой жидкости 509 и распределения скоростей ~а 1г (1 е ам) (48') Проанализируем полученные результаты. В начальный момент времени г= 0 движение повсюду (га ) О) было безвихревым. После удаления источника зазихренностн, т. е. в любой момент Г О, зо всем пространстве мгновенно возникла завихренность, распределение которой представляется быстро убывающей с возрастанием расстояния га функцией (47').
Завихренность в центре (г* = О) монотонно убывает с ростом времени, а в точке, находящейся на некотором расстоянии от центра, сначала возрастает, а затем убывает до нуля при г= со. Рассмотрим какую- нибудь окружность радиуса г" =а; изменение Я со временем зазихренности в точках этой окружности представится функцией (47') в виде: а" (11)~ а = — е -а 4ачт Исследуя эту функцию на максимум или минимум, легко заключим, что в момент времени аа — завихренность 4ч достигнет своего максимального значения: ю 4 а1 СО 1 С 1„ при дальнейшем возрастании времени завихрен- Рнс.
160. ность будет убывать. Об об~цен характере зависимости от времени завихренности в точках, находяшихся на разных расстояниях от центра, можно судип по кривым, приведенным на рис. 160. 1трнвые распределения скоростей в различные последовательные моменты времени приведены на рис. 161. Пользуясь полученными формулами и графиками, можно составить общее представление о явлении диффузии единичного вихря в безграничной вязкой жидкости, Несколько более сложно с математической стороны решается вопрос о диффузии в безграничной вязкой жидкости вихревой трубки коленных размеров, а также плоского и цилиндри- 510 динамика вязкой жидкости и глзь )гл. чш 0 82.
Одномерное прямолинейное движение сжимаемого вязкого газа. Движение внутри скачка уплотнения. Понятие о толщине скачка В предыдущих простейших примерах движения по цилиндрической трубе, рзвномерного н прямолинейного движения шара, диффузии вихревой нити Рнс. 161, были рассмотрены движения несжимаемой вязкой жидкости. Интегрирование уравнений движения вязкой сжимиемой жидкости представляет большие математические трудности. Простейшим примером такого рода движения служит одномерное прямолинейное движение; этот, на первый взгляд совершенно тривиальный случай оказывается, однако, весьма интересным, так как поясняет внутренний механизм явления .скзчка уплотнения" илн „ударной волны".
Рассмотрим прямолинейное движение сжимаемого вязкого газа, параллельное осн Ох и направленное в положительную сторону осн; из трех компонент скорости (и,п, ш) при этом остается лишь одна и; будем предполагать движение стационарным и одномерным, зависящим лишь от одной координаты х. Выведенные в $77 дифференциальные уравнения движения, вместе с уравнениями баланса энергии, уравнением Клапейрона и уравнением зависимости коэффициента вязкости от температуры в этом случае значительно упростятся и примут вид; ! их ) й 1 /.
иэ~ й /! 4 иэ')1 — ~ ри(!+ — ! — р — ( — + — — ! ) =О, йх~ (, 2/ их(а 3 2/~ (49) г См. по этому поводу: И. А. К н бел ь, Н. Е. Кочин и Н. В. Розе, Теоретическая гидромеханнка, ч. 11, стр. 350 — 357; %. Мй!!ег, Е!п(айгапй !п б!е тьеопе бег лайеп Р!йээ!яйе!!еп. Ве1рмй, 1932, стр. 113 — 120. ческого вихревого слоя. ' Отметим интересное физическое явление: диффузия вихревой тлрубки тем зничительнее, чем меньше ее дииметр.
Благодаря вязкости, быстрее всего зитухиют мелкие вихри. Обратим вновь внимание на тот существенный факт, что при любом гэ и Г-+со Ы-+О н И-+О. Иными словами, заданное в начальный момент движение с течением времени затухает, а вси его кинетическая энергия рассеивается, превращаясь в тепло. прямолннвйнок движвнив вязкого глзл й 82) Имеем замкнутую систему пяти уравнений с пятью неизвестнымис и, р, ;, р, !. Исследуем интегралы этих уравнений, конечные при х = = со.
Прежде всего заметим, что уравнения (49) допускают тривиальные интегралы: ри =рсис, 3 а третье, если в ием положить для простоты а = —, интеграл 4 ' из ис с+ — = сс+ —. 2 2 Пользуясь предыдущим интегралом и уравнением Клапейрона, перепишем первое уравнение системы (49) в интегрируемой форме: ди рс — 1 с! . 4 с! / пи~ рсис — = — — — (р!) + — — ( р — ~, дх Я дх 3 дх (,1 дх!' что сразу даст интеграл /с — 1 4 пи !с — 1 р,и,и = — рс+ — р — + р и + — чсссс Я 3 дх ''с Я плп 4 ди А — 1 3 и~в = рсис (и ис) + — (р! рс!с) При составлении последнего интеграла, кроме ранее принятых граничных дсс условий, использовано еще условие равенства нулю производной — при дх х= — со, вытекающее нз конечности скорости на бесконечности. Выражая в последнем уравнении р через с, согласно последнему равенству (49), а с и р — через и, согласно предыдущим интегралам, получим основное дифференциальное уравнение для определения скорости и как функции от х: Я вЂ” 1) ри р ис иэ1 / = рсмс(и — ис)+ — ( — сЬ!с+ — — — 1 — рс!с~.
!с ( и 'ь 2 2/ (50) Прежде чем интегрировать полученное обыкновенное уравнение 1-го порядка, упростим его, перейдя к безразмерным координатам: — и сс— ис ' х~ —, рсисх рс и=и!, р — — рс, р=рп;с=рс, с=со где индексом „1" обозначены и будут в дальнейшем обозначаться постоянные, равные соответствующим значениям всех величин при х = — ссс. Этим тривиальным интегралам соответствует однородный поток во всем пространстве ( — (хс; +- ). Однако это решение, удовлетворяющее условию конечности всех элементов при х = ~ со, яе единственное; существует и другое — не тривиальное решение системы (49). Для разыскания этого решения заметим, что второе ураввение системы (49) имеет очевидный интеграл !гл. чп! динамика вязкой жидкости и газа Будем иметь, деля обе части уравнения (50) иа рдлт.
!т 1 !в 3 гг а + пв и 4 па 2 2 г(й — « — 1Г1/И 1 1 — ! !!Т (й(,й 2 2 ) й)' ига или, замечая, что по формулам гл. !Ч: ла 1 1, Зс ут 1 МВ— У и и (« — 1)й (« — 1)М! получим 4/ « — 1 « — 1 я-а~чей — (1+ — М вЂ” — М! и ) М~й — (1+ «Мг) и+ 1+ 2 Мт «М" и (50') Корни этого уравнения будут: 1+ «Мт~ пк )/ (1+ «Мт) — 4 ° — М" (1+ — М~) и— («+ !) м', + 2 !+«МагЧ (! — М,') («+ 1) М," — М «+! 2 1 1. Введем пока лишь для краткости обозначение « — 1 1+ 2 Мт пм 2 смысл которого вскоре станет ясен.
Тогда дифференциальное уравнение (50') можно переписать в следующем, более компактном виде: ( — — "') "'" (50") (и — 1) (и — ия) 4«Мт" ~ 2 / Определим корни числителя в правой части, чтобы узнать, при каких значениях а производная от скорости обращается в нуль; для этого решим квадратное уравнение «+ ! а-а а « — 1 — М и — (1+«М')и+ 1+ — М = О.
518 82) ПРЯЫОЛИИЕЙНОВ ДПИЖКИИВ ВЯЗКОГО ГЛЗХ 1!редположнм, что иг 1 или, согласно принятому обозначению, (1, Мт м1; 2 иными словами, предположим, что вначале, при х = — оз, поток был сверхзвуковылг. Тогда, как зто видно непосредственно из уравнения (50а), при изменении и в интервале иг(и(! аргумент х будет изменяться в интервале — оз(х(ст Рассматриваемые дифференциальные уравнения (49) имеют, следовательно, и не тривиальное решение, соответствующее убыванию безразмерной скорости й от значения иг = 1 на бесконечности вверх по течению с числом Мт ббльшим единицы (движение сверхзвуковое) до некоторого значения иг на бесконечности вниз по течению. Легко показать, что прн и — и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
