Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Во избежание дальнейших недоразумений следует подчеркнуть, что граница пограничного слоя не совпадает с линией тока окидкости. Как видно из рнс. 164, линии тока входят в область пограничного слоя, пересекаясь с его границей. Вопрос о характере смыкания течения в пограничном слое и во внешнем потенциальном потоке будет далее количесгвеино уточнен. Установим систему уравнений плоского стационарного движения вязкого сжимаемого газа в пограничном слое на цилиндрическом теле, имеющем плавную крыловую форму.
Такой пограничный слой, движение жидких частиц в котором имеет упорядоченный характер, в отличие от турбулентного (саь слелуюшую главу) называется паминарным. Условимся обозначать через к, у и и, о 1рис. 164) соответственно продольные и поперечные коорлинаты и составляющие скорости в области пограничного слоя. Координаты к и у на самом деле криво- линейны, но при малом значении отношения голщины пограничного слов к радиусу кривизны поверхности обтекаемого тела, имеющем место на профилях типа крыловых, можно в уравнениях движения пренебречь дополнительными членами, характерными для уравнений в криволинейных координатах, и пользоваться координатами к, у как обычными прямолинейными лекарговыми координатами.
8 84) гвлвньния ллминьгного поггьничного слоя 628 При принятом условии стапионарности уравнения плоского движения при отсутствии объемных сил приводят к замкну гой системе уравнений )вспомнить систему (14) 2 77): ди ди др, 4 д 7 дид 2 д»' до) дх+ ду дх ' 3 дх~' дх) 3 дх~' ду) — + — =0, дри две дх ду ди 2 до1 д Г»'. ие, оач — ио — + — ри — ~+ — ~ро )г+ — — ' — )— ду 3 ду) ду ~. ), ' 2 ' 2) д l г и' 4 от'1 до 2 ди1 й ~ + — + — ) ри — + — йо — 1=0, ду~,е 2 3 2) дх 3' дх~ Г60) м1 д»» 1 в р дв 4 и 1 д дх Р ' дг 2 г дх + 3 Р дх ~' дх) Подобно тому, как это было сделано в 8 78, перейдем к безразмерной форме этих уравнений, выражая все величины в некоторых характерных для них масштабах, но только в настоящем случае примем во внимание ранее приведенные соображения о различии в пограничном слое масштабов продольных и поперечных координат и скороспьеи.
Поэтому сохраним для х и и масштабы: Г Гкакой-то характерный для обтекаемого тела размер, например хорда крыла) и У Гскорость набегающего потока), а для у и о примем свои„пока еще пе определенные масштабы У и Г». Сохраняя остальные обозначения, как в 8 78, и не меняя обозначений для безразмерных величин, будем иметь: динамика вязкой жидкости и глзх (гл. тш р !' 1' де р ~'е до 1 р Уа др р.,„!' д ди.
г дх+ 1' ' дт 2 !' дт (У дл (' де~ р У д(ри) ро,Ь' д(ре) 1- — О, дл ' У ду — — "р Ъ' ои (ю' 1+ Ъ' — + Ъ'Я вЂ” )— !'ю д Г(м. 4 а и' ее~ — — р — ( — 1+ — Ъ" — + Л вЂ” )— ! дх( а 3 2 2) Н Ы У ди 2 р. У !' де1 — ио — + — ии — ~ + У ' ду+3 У ' ду~ ея ', + — — р Ъ'ро(1 1+ 'р' — + Г-' — )— 1'ду! (,' 2 2) ди 2 р.,р У ди1 — ри — + — !хо — ~ = О, дх 3 ! дх ~ р 1 . р А 1 2 2 р Ь"„Е =й я~о 1 Га (и — 1) М, р У /гМ где, напоминаем, р, и, ю, 1, р, х, у, Р— безразмерные величины, Р Рс~ а р = представляет известный нз предыдущего коэффи- 1 2 Р' циент давлений.
разделим теперь обе части первых трех уравнений на постоянные коэффициенты при первых членах в левой части, обе части четверр У ! того — на выражение —, н заметны еще, как и ранее в 2 78, что: 5 84! УРАВИЕНИ$! ЛАИИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ тогда будем иметь следующую систему уравнений: 52О ди !У ди 1 др 4 1 д Г диА ри — -4- Г дх ' 1'У ду 2 дх 3 й дх~, дх) до !У до 1 ГУ др 1 ГУ д,' диА аи — + — ро —— ~ †!+ дх + УУ ду ' 2 УУ ду й !'У дх 1~ ду! 1 д до 4 1 1 '-' д ° до — + — '=-0 д(ри) !У д(ро) дх УУ ду (60') — р + (й — 1)М'„— '+ —, —" 1 д Г! я Г4 иа Уе ое1 — — — ~ — ' Ж вЂ” 1) й'дх!а )3 2 У~ 2) 1 ГУ а l ди 2 до) й ГУ ду 3 ду~ + — — — рэ !+ (!à — 1) М вЂ” + —,— Г' ° Уиа ! УЯ Р1 й У ду~а 12 31Я 2~ 1 Я 1' Г до 2 диА! — — (Д вЂ” 1) М~Я вЂ” ) ри — — — ро — )) = О, й, дх 3' дх) 2 р= —,, 11р — 1), =!А, л м"' Приведя, таким образом, уравнения плоского стационарного движения вязкого сжимаемого газа к безразмерному виду, допустим, что анаморфоза, о которой шла речь в начале вывода, действительно возможна: иными словами, допустим, что выбором разных маштабов для размерных продольных и поперечных длин и скоростей в пограничном слое можно добиться конечности всех входящих в уравнения (60') (гл.
чш динлмикь вязкой жидкости и гьзь безразмерных величин и их безразмерных производных, как бы ни стало велико рейнольдсово число Й Обращаясь прежде всего к безразмерному уравнению непрерывности (третьему уравнению предыдущей системы), видим, что для этого следует произвольные пока масштабы 1' и Г подчинить условию: !ь' 1 — = сопз1+ О( — 1, 1'Ь" (,й„! после чего из первого уравнения системы будет следовать необходимость равенства: — ( — ) =.- сопя! + О ( — „) . ~ь-ьа( — ')~, ~ ~1-ь о ( — )) .
(61) Отсюда следует закон убывания масштабов толщин и поперечных скоростей в пограничном слое: с возрастанием рейнольдсова числа поперечные размеры и скорости в пограничном слое изменяются обратно пропорнионально корню квадратному иэ рейнольдсова числа. Это соотношение прекрасно подтверждается опытом. Обращаясь ко второму уравнению системы (60'), легко убедимся, что, в силу (61), (62) откуда вытекает второе важное свойство пограничного слоя: при больших значениях рейнольдсова числа можно пренебрегать поперечным изменением давления в пограничном слое. Давление во всех точках поперечного сечения пограничного слоя одно и то же и может изменяться лишь при переходе от сечения к сечению; следовательно, в плоском стапионарном слое р ==р(х). (62') Иначе говоря, давление внешнего по!пока передается сквозь пограничный слой без изменения.
Этот важный физический факт разъясняет, почему распределение давлений, рассчитанное по теории безвихревого движения идеального газа, хорошо совпадает с действительно каблюдаемым на опыте прн плавном обтекании тел. Некоторое расхождение теоретического и экспериментального распределений давлений, так как в противном случае иэ уравнения продольного движения в пограничном слое соверн!енно исчезнет влияние вязкости. Выбирая в двух предыдущих равенствах константы равными единицам, положим, !тоны удовлетворить обоим равенствам: 527 ьу 841 у! лэнвния .1лмнплпиого погглничного слоя имеющее место в кормовой части обтекаемого тела, объясняетсч обратныж влияние и сравнительно толстого вблизи кормы пограничного слоя на внешний поток (см.
далее ф 100). Выведенное только что свойство распределения давлений в потоке вязкой жидкости при больших значениях рейнольдсова числа объясняет также происхождение наблюдаемого иногда явления отрыва пограничного слоя с поверхности обтекаемого тела. В кормовой области цилиндрического крыла вниз по течению за точкой минимума давления происходит возрастание давления и — эО; Нр дх при этом жидкость движется из области меньшего давления в область большего давления против подтормаживающего влиянии перепада давлений. Если бы поток был влеален и скорость на поверхности крыла не равнялась нулю, то запас кинетической энергии жидкости оказался бы доста~очным для преодоления указанного тормозапего влияния поля давлений.
М 5 — ~- Х Рис. 165. В пограничном слое поле давлений по предыдущевгу мало отличается от поля давлений в идеальной жидкости, между тем, вблизи поверхности крыла скорости, а следовательно, и кинетическая энергия частиц жидкости ничтожны. Торможение жидкости вызывает остановку, а далее и попятное (рнс. 165) движение под действием направленного против движения перепада давления. Встреча набегающего потока с попятно движущейся в пограничном слое жидкостью приводит " резкому оттеснению линий тока от поверхности тела, к утолщению ппраничного слоя, а затем и к отрыву его от поверхности тела. /ди; .1о точки отрыва Я, как видно из рнс. 165, ~ †,) ) О, за точкой дг7'в=а отрыва ~ — ) (0; в самой точке отрыва имеем условие отрыва; гди т ду)в=о [гл. чп> >126 диньмика зяз>сои ясндкости и ГАЗА Из приведенных соображений ясно, что о>прыв может произойти только в области замедляющегося внешнего потока, где давление восстанавливается, т.
е. только в кормовой части крыла вниз по течению за точкой >И минимума давления в которой — = О. йр йх На рис. 166 показан примерный вид профилей скорости (жирные линии), линий тока (тонкие линии) и границы" пограничного слоя (пунктир) вблизи отрыва. На крайнем правом профиле скоростей часть отрицательных скоростей, соответствующих попятному движению, заштрихована.
Подробнее об явлении отрыва будет сказано далее. Возвращаясь к выводу основных уравнений пограничного слоя, произведем в безразмерной системе (60') замену масштабов )' н Р согласно (61), тогда получим: ди ди 1дР д> ди) > 1 ри — + р — =- — — — + — 'р — )+ О ~' — ) дх ду 2 дх ду 1 ду> в„ др Г 1 > д(>и) д(со) ду ' 1, К /' дх ду — 2 р= —,(, — 1), АМ~ Таким образом, удается выделить в общих уравнениях движения вязкого сжимаемого газа те члены, которые при больших значениях рейнольдсова числа имеют главное значение, и оценить порядок членов, которые при больп>их К можно отбросить. Отбросим в полученной системе уравнений члены, имеющие поря- 1 др док малости — и выше.
После этого частная производная К дх в правой части первого уравнения системы может быть, согласно второму уравнению системы, заменена полной производной — „, а втойр рое уравнение опущено. Далее, левая часть четверто~о уравнения системы в силу третьего уравнения может быть преобразована к более простому виду: Яр ( —,:",'И'„-')~-+Я~ (1, ':,'Мз ')~= =(ри +ро — )(>'+ — М и ).
э 84) УРАВНЕНИЯ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ Б результате получим следующунз безразмерную систему уравнений плоского стационарного ламинарного пограничного слоя н сжимаемом газе: ди ди 1йр д» ди1 ри — + ро — = — — — + — ( р — ), дх ду 2 дх ду (, ду!' д (ри), д (ро) — + — ' — =О, дх 1 ду ('ри — + ро —,) ((+ Ме и'-') = =й — '(-'+ — '' -"')1 — 2 , = —,,(Ф вЂ” 1), ЛМЕ (63) (А — »и Уравнения неизотермического ламинарного пограничного слоя в несжимаемой жидкости можно получить из этих об1цих уравнений, полагая число М , характеризующее влияние сжимаемости, равным нулю. Отбрасывая в третьем и четвертом уравнениях системы (68) члены с М, получим следующие уравнения неизотермического пограии ~ного слоя е лесжихеиелгой жидкости: 1 ир д ' ди ди ди ри — +» —, дх ду д (ри) д (ри) О, — +— дх ду дТ, дТ »и — +»т— дх ду 1 д ' д7' — --('1 — "~, 1 (64) 'Т ' ! др д'и — + — Ъ ди ди и — +ив дх д> ди ди — + — = дх ду дТ , дТ и — -'-Π— = дх ' ду йх ду (65) О, 1 д'Т я ° ду- 34 Зсс НИЬ Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
