Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 92
Текст из файла (страница 92)
поток будет дозвуковы.» (Мг ( 1). Для этого пспользтем полученный в числе первых интегралов интеграл внсргпп и., ит г -~-==г + —, 2 пз которо~о по предыдущему сразу следует: гг г 1,и" 1 1 ! 1 ! 1 д — ! )гМ '— т 2 пли д — ! 1+ — М' 2 ДМ'— Д вЂ” 1 2 В последней формуле нетрудно узнать выведеаное еще в 5 32 гл. 1Ч соотношение между числами Мт и Мг до и после прямого скачка уплотнения (формула (77) й 32). Отсюда сразу следует, что Мг(1. Итак, рассматриваемое ие тривиальное решение системы (49) представляет не что иное как переход от сверхзвукового движении к дозвуковому в прямолинейном одномерно.н потоке вязкого сжимаемого газа. Нетрудно убедиться в том, что не только числа М, но и температуры, птотности и давления на бесконечности вверх и вниз по течению связаны между собою теми же соотношениями, что в теории прямого скачка уплотнения, изложенной в гл.
1Ч для газа без внутреннего трения. Разница здесь в том, что а идеальном газе скачок уплотнения представлял некоторую нормальную к линиям тока поверхность разрыва злементов движущегося газа, причем само явление скачка приходилось рассматривать как предельное образование, 33 Зт. ПМП Л. Г.
Лтивнскнг. (д — 1) М'., ~Р— 1) М'-,' 1Мв г' 2 г ! (й -!)М', ! -! (Д (ф+ Д ' М'г1, 514 динамика вязкой жидкости и газа [гл. чщ !ЛИ-т" будем иметь ан в при х -0 нлп -.'==О и — — = л, 1 М"' и,, м," 1+ Л— Л+1 2 Интегрируя от этих значений и =. 1/ иэ н ( =. О, получим: /- Л вЂ” 1 — '" —— ( пт — и" ) г/яп Л+1 (й — !) (и — пэ) 1'=.. (51) Выполнение квадратуры справа зависит от числового значения величины п. Общий характер кривой скорости и(;-) пой казан на рис.
162. Левая и правая ветви кривой настолько быстро асимптотически стремятся к значениям й„=! и йз, что иа самом деле фактическая ширина области, где происходит переход, очень мала. Примем за меру толщины левого переходного участка среднюю интегральную величину — ~ (1 — и)яс, 1 — )/ /й/ равную отношению заштрихованной на Рис. 162. рис. !62 левой части площади к максимальной развости ординат 1 — )/ ил на этом участке. Аналопшно определим толщину правого переходного у частка как 1 Ьх= ~ (и — и)г/В )/ ~ь — ит ь не допускающее описания прн помощи непрерывных решений уравнений движения. В вязком газе, наоборот, явление перехода сверхзвукового потока в дозвуковой описывается непрерывным решением уравнений движения, а именно интегралом дифференциального уравнения (50") в области движения ( — со С х ( ' оэ).
Покажем, что, практически, эта область перехода сверхзвукового потока в дозвуковой имеет очень малую протяженность, зависящую от параметров потока и, в первую очередь, от 5(ь Вернемся к уравнению (50") н, потьзуясь имеющимся произволом в выборе начала отсчета абсцисс х, поместим начало координат в ту точку, где скорость и Равна кРитической скорости а", соответствующей параметрам потока вверх по теченнкь Тогда, вводя еще для краткости дополнительное обозначение ч' 82) ппямолинпйиоп движения вязкого газа 515 Полная „толщина" области перехода сверхзвукового течения в дозвуковое будет равна: 1 — + д„(! и) гГ5+ — — ~ (и — иг) йс. (52) 1 — )Iит !' йз — ьт .
— О э Фактическое выполнение квадратур зависит от значения показателя степени и в законе связи между коэффициентом вязкости и температуры пли теплосодержання. На рис. !63 приведены составленные А. Е. !'о- 4. ловиной кривые измене- ! ция толщины скачха б, выраженной в частях длины свободного пробега чолекулы 1,=1,255 Рй утат (пп йь аг — скорость звука, вязкость, плотность па бесконечности вверх по течению), в функции от числа М, при различных и. На основании при- р веденных графиков мож- у гз М~ ио заключить, что „толщина' скачка уплотвения Рис. 163. имеет порядокдлины свободного пробега, исключая значения Мп близкие к единице, илн очень большие М, (при и =!).
Экспериментальная проверка этого факта очень затрудпвтельна, так как границы скачка в силу его колебательных перемещений бывают обычно размыты и не поддаются фотографированию даже при очень малых временах экспозиции. С точки зрения изложенной только что теории становится ясной причина указанного еще в гл. !Ч возрастания в скачке уплотнения энтропии. Прирост энтропии служит указанием на наличие в области перехода сверхзвукового потока в дозвуковой потерь механической энергии, превращающейся за счет внутреннего трения в тепло. Общая формула диссипируемой в тепло энергии при движении вязкого сжимаемого газа будет выведена в следующем параграфе.
Тот факт, что .толщина" скачка уплотнения имеет порядок длины свободного пробега молекулы, может вызвать сомнение в возможности вообще пользоваться в этом случае обычными уравнениями движения вязкого сжимаемого газа. Частные случаи рассмотренной задачи были исследованы Гамелем (а = со) 3 и Прапдтлем (с=0), а затем Релеем и Беккером (а= —, и О, коэффицпснт вяэкостп не зависит от температуры).' ' См. НапдЬыс!1 бег Рйузйц Вб, Ч!1, !927, 5. 323 — 330, 33" 515 (ГЛ. 2ГП2 ДИНАМИКА ВЯЗКой ЖИДКОСТИ И ГАЗА 3 83. Работа внутренних сил и диссипация механической энергии в движущейся вязкой среде — гй = ~ рг У22т+ ~ р„Чйо+ ~ ранг„дт: а здесь 2Чо2 представляет величину отнесенной к единице массы ьющности всех внутренних поверхностных сил, вкл2очая сюда как давления, так и силы трения (внутренними объемными силами, как например, силами тяготения, пренебрегаем).
Преобразуя полученную формулу известным уже по предыдущему обрааом, найдем: ~ р — ( — 2)2й=- ~ рр Уйт.'- ~ ИР Чбо+ ~ рЧщ22т= ю ~ рр ° Ч2й+ ~ п ° РЧ до+ ~ р2Чг„гй =- =- ~ рр ° Уо2т+ ~ ейч(РЧ) 212+ ~ рХ2„222. Используя произвольность выбора об.ьел2а т, получим то же выражение в дифференциальной форме: р — „( — ) =- рР. Ч+ бгч (РУ)+рк,„. Р2 (53) С другой стороны, умножая скалярно обе части основного динамического уравнения „в напряжениях" р — = рР + 02гя Р КЧ Ф иа Ч, будем иметь: лЧ л ГР2~ оЧ ° — =р — ( — ) =рр ° Ч+Ч -ГНК Р. КГ ЛГ (, 2 ) (53') Работа внутренних сил трения (вязкости) вызывает в движущейся жидкости затрату некоторой мощности, превращающейся (диссипирующейся) в тепло.
Чтобы найти количественное выражение этой мощности, применим прием, аналогичный принятому в 3 24 гл. 1И для идеального газа. Составим выражение изменения кинетической энергии в некоторол2 объеме жидкости т, ограниченном поверхностью о: В 83! яхвоть внзтввнних снл н диссипеция знвягни 517 Вычитая почленно обе части уравнения (53') из уравнения (53) получим искомое выражение !Чг„в виде: (54) ф/,„= Ч П!ч Р— б!ч(РЧ). Выразив правую часть через декартовы компоненты входящих в нее векторов и тензоров, проведем следующее упрощение (координаты х, у, е заменены на 2„ хя, ха): Ч ° П!ч Р— б!ч(РЧ) = ~Ьд Уе(П!чР)! — ~~Ь вЂ” (РЧ) = ! ! ,!'= ! = Х У 1 -д —;д —.'~ —.,(!У, У)- е=! г=! т ! е=! е а Ьд=! с,у=! Последняя двойная сумма, если вспомнить принятое в гл.
1 обозначе- дУ! ние дифференциального тензора 0 ч = -', представляет инвариантную комбинацию компонент тензоров Р и 77: Х Р„В,,=-Р И, !. у = ! называемую скалярным произведением деух тензорое. В частном случае двух равных тензоров такое произведение дает квадрат модуля тензора, определяемый как сумма квадратов всех компонент тензора: з РЯ = — Р ° Р = ~~ ~Р!х !ту=! Формула зта по своей конструкции аналогична известной формуле квадрата модуля вектора.
Разложим дифференциальный тензор В на симметричную и анти- симметричную части, положив (авездочка, так же как и в гл. 1, обозначает сопряженный тензор): В = 5+ А, 3 = — (1:! -)- В"), А = — (П вЂ” !.!"'), и:!и в проекциях: дУ ! ЕдУ! дУ! 1 удод дУ!! дх! 2 (, дх! дхг 2 (, дх! дх,,! ! Ч' [гл. чш 518 динлмикл вязкой жидкости и глзл Тогда будем иметь [Р, = Рч) а У РМ вЂ” г= ~Ь Рг ЪЧ+ У Р~,:Ад= Р Я+Р 'А.
Легко сообразить, что, в силу условия антисимметричности А,т —— — А,, последняя сумма равна нулю: а Р ° А = ~~ РЧА;з О. ;, !ма Таким образом, вместо [54) получим в рМс„= — Р ° Ь'=-- —,У, Р, 8;,, ,Ф1 око [56) рИ~„=-- — 2рЯа+(р + — !л д!ч Ч) 6 Б. 2 Вычислим скалярное произведение тензорной единицы Ф нз тензор скоростей деформаций о; тогда получим [оеж — — 0 при [ф1, Вы=1): е а е ,Я=- У 6,.5„= У Ли=УЫ -б! Ч, ~/ ' ~ 1дх~ гу г ~=1 е=1 н, окончательно, найдем искомое выражение мощности: рМ =- — 2иЯа+ р д!ч Ч+ — р [6!ч Ч)'-. [57) Во втором слагаемом р д!чЧ узнаем мощность, затраченную силами давления на расширение газа [вспомнить 2 24).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
