Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Есгественно возникает вопрос об обраще- нии этой теоремы, т. е. об установлении необходимых и достаточных условий подобия двух гидроаэродинамических явлений. Однако реше- ние этого вопроса упирается в необходимосп, сгрогого доказагельства теоремы о существовании и единственносги решений уравнений. что и насгояшее время сделано липп, в ряде простейших случаев.
Кроме того, разнообразие постановок задач о движении з~идкосги и газз гакже вызывает некоторые трудности. В слу >ас изотермпческого ста- пионарного обтекания тел несжимаемой вязкой жидкосгюо необходи- мыми и достаточными условиями подобия обтекания двух тел яв>шюгсш 1) геометрическое подобие тел и их расположения по отношению к набегающему погоку и 2) одинаковость числа К .
При обтекании тел сжимаемым гааом, при отсутствии теплоотдачи на ~дТ поверхности тел,— =0', к предыдущим условиям присоединяюгся ',дп еще условия одинаковосги в обоих движениях чисел М „и 1з. Число ч при этом можно считать одинаковьш, согласно рзвепсгву (6), или включать одинаковость з отдельным условием в тех случаях, когда это равенство не справедливо, например, в случае жидкостей. При задании температуры на стенке Т,„ к числу условий присоединяется еше условие одинаковости „температурного фактора".
Аналогичное рассуждение, проведенное. в более общем случае наличия объемных сил, например, сил веса, привело бы еще к необ- Ъ',, ходимости введения числа Фруда Р = — (д — ускорение силы тя= АИ '>г Т жести), а при нестационарносги движения — числа Струхалз 8=— лдмнньннов движвннв по тРуБе ( ) иногда — ), где 7' — характерный для нестационарного движения, лг) заданный наперед промежуток времени 1например, время полного оборота винта и др.), и — число оборотов, или угловая скорость, Указанные только что величины: К, М, 1т, о, — ", г, 8 входят в число необходимых и досгз~очных условий подобия двух движений жидкости или газа.
Наряду с этими, как иногда говорят, „определвющими критериями" подобна имеются н другие также характерные для явления безразмерные величины, одинаковость которых в двух подобных явлениях является следствием подобия. Примером таких величин могут служить коэффициенты подъемной силы, волнового и индуктивного сопротивления крыла, коэффициент сопротивления трубь> 1см. далее) и др. Для двух подобных обтеканий тел эти коэффициенты имеют одинаковое значение, однако они являя>тся лишь косвенными, „неопределяющими" критериями подобию В пеподобных обтеканиях геометрически подобных н подобно расположенных тел „неопределяющие" критерии являются функциямн „определяющих".
Вспомним, например, формулы зависимости коэффнциен>ов подъемной силы и волнового сопротивления пластинки от числа М. Ус>ановлением условий подобия. как строгих, ~ак н прнолиженных 1пе все условия подобия па самом деле одинаково важны), занимается специальная о>ворья по>>й>бия, которая в пос:шдпее прсмя, и связи с развитием экспсрн>ннпшп,пых исследований, получила большое распросгранснне.' ч 79. Ламинарное движение вязкой несжимаемой жидкости по цилиндрической трубе Одним из наиболее простых случаев дни>кения вязкоЙ несжимаемой жидкости является так называемое ла,винарное (слоистое) движение по цилиндрической трубе произвольно~о сечения, при котором линии тока — прямые линии, парал:>ельныс оси трубы. Как показыва>от опыты, такое движение осуществш>ется и цилиндрических трубах с различными формами сечений, если только число Рейнольдса не превосходит некоторого определенно~о „критического" своего значения, после чего движение перестает быть ламинарным, >астицы жидкости приобретают сложные траектории, и приводимое в настовщем параграфе решение теряет свою силу.
Практически излагаемые сейчас результаты имев>т значение лишь при движениях с очень т Литература по >еоряп подобия и моделирования в разны.> областях механики весьма обширна. Удовольствуемся рекомендацией кпнгп Л. И. С ел о в а, ,Методы теории размерностей> и теории подобия в механике', Гостехнздат, 1944. Изложение гндроззродннамяческой теории подобия можно найти в нашей монография, дтподннзмина пограничного слоя", Гостехяздзт. 1Ч41, стр. 37. (гл. еш динамика вязкой жидкосги и глзл малыми а<оростями, или в тонких капиллярах, или, наконец, при движении очень вязких жидкостей. Подробнее об условиях существования ламинарного режима течения и явлений перехода его в более сложный, турбулентный режим будет сказано далее. Направим (рис.
1бб) и ш ось О» по оси трубы и 1 будем предполагать тру! О' г бу бесконечно длинной. 1 а поток — направленным 1 вдоль оси труоы, так что I г из трех компонент скорости (и, и, те) остается лишь одна ю, а остальРис. !бб. ные две равны нулю. Отвлекаясь от температурных вличний, т. е. считая поток ичотермическим, а следовательно, плотность р и коэффициент вязкости 1с — постоянными, будем имегь, согласно 1141 и уравнепик1 черазрывпосгп, сисгсму уравнений 1 др 0 =-- —— дх ' 1 др О= — —— а дг дш 1 др деа „дтп' дек' д» й д» ' 'д.ге ' ду» ' д»»,' — = — О.
дш д» Из этой системы сразу следуег, что тв представляет функцию только х и у, а р — функци~о только». Иными словами, если провести нормальные к оси трубы сечении, то во всех таких сечениях распреде,чении скоростей одинаковы, а поля давлений однородны; давление меняется только от сечения к сечению, сохраняя повсюду в данном сечении одинаковое значение. Предыдущая система равенств сводится к одному: (22) Левая часть итого равенства представляет функцию только от х и у, правая — только от; при независимости координат друг от друга это может быть лнпп, в случае посгоянсгва левой н правой частей равенства, ч 79) льмннлвнов движвнив по твуБк Введем удобное для дальнейшего обозначение: — = сопя = — —, др . Др г 122') !!оставленная задача с математической с~проны совершенно зпа,югнчна известной задаче теории упругости о кручении призматического стержня и легко решается для простейших контуров сечения трубы.
Если сечение трубы представляет эяпгилс с полуосями а и К уравнение которого в плоскости хОу будет — + — =1, аз аз то решение уравнения 123) можно представить в форме: 124) причем постоянная Л определяется из условия удовлетворения этого выражения уравнению 123): — 2А(-',+ а,) = — ' — „; и будет равна ар ааьв где Лр — падение давления на участке трубы длины б При равномерном движении вязкой жидкости по цилиндрической трубе перепад давления Лр играет роль движущего перепада, уравновешиваемого силами сопротивлений трения, направленными против движения жидкости. Отсюда непосредственно вытекает, что давление в цилиндрической трубе должно падать вниз по течению, а следовательно, Ьр ) О.
Для трубы переменного сечения, где движение может быть как ускоренным, так и замедленным, такое заключение наперед сделать нельзя. В конкретных расчетах перепад давления Ьр на участке трубы длины 1 либо задается непосредственно, либо, как далее будет показано, может быть легко выражен через другие заданные величины; секундный расход жидкости сквозь трубу, среднюю по сечению или максимальную скорость. Уравнение 122) сводится к линейному уравнению в шстных произвогппчх вгорого порядка н плоскости мОрп даю дам Лр '7ятэ =- — + — „=: — —, 123) длз дуа Нг' ко~орос должно оыгь решено при сзгедуюпгем гршпгшоч условии па ьопггрс С нормального и оси сечения цилиндра: тэ=О на С.
490 динлмикл вязкой жидкости и глзл [гл. шп Таким образом, получим энюру скоростей в любом сечении эллиптической трубы: ар азат г ха узл 124') — 2, г -4-ая 'Г, аз аз,)' ! раничное условие (23') при этом, очевидно, удовлетворяется. Заметим, что изотахами служат подобные контуру Гу (не софокусные) эллипсы. В случае круглой цилиндрической трубы радиуса а будем вместо 124') иметь, полагая б †. — а и г =- 1/хз +уз: то = — — (а- — хэ — уь) = — (ая — - гзз).
а' 4эг 4иг (24а) Ь р алая 2я) аз+ ь'"' ' после чего распределение скоростей 124') перепишется в зиле: ая Ьз,) ' 'г2У) Аналогично для круглой' трубы аз Ьр гд 4,м 12б) причем 120') Определим теперь объел~иый расход сквозь сечения рассматриваемых труб и связь между расходом и перепадом давления на единицу длины трубы.
Совсем просто вычисляется расход сквозь сечение круглой трубы. Для этого достаточно проинтегрировать элементарные расхолы по кольцевым участкам, написав вар (,') = ~ то ° 2кг' агл = — — Р ~ (аз — г"'12ге йг':, 4я1 14ак показывают формулы (24') и (24"), скорости по сечению эллиптической трубы распределяются по закону эллиптического параболоида, а по сечению круглой трубы — по параболоиду врагцения. Последнее распределение иногда называют „параболой Пуазейля" по фамилии французского ученого, известного своими исследованиями движения жидкости сквозь капиллярные трубки П840 г.).
Из распределения скоростей (24') определим максимальную по сечению скорость на оси эллиптической грубы: ьч 79) и получить 491 ллминлгчюв дввжвнив по геэьь ангар 8и1 (27) 1;1 чагагг ааау с 8И1 чва 8И1 (27') сравнив с (26), получим важное соотнонгеиие ме'кду средней по сече- нию и максимальной на оси скоростями: 1 чь 2 пгал (27 и) Определение расхода сквозь эллиптическую трубу сведем к определению расхода сквозь круглуго трубу, если в интегральном вьгражении расхода тогт.сг)гг- и ~ ~ (! .
-' — „— —,1гг(л г1гг у'-д а" Ьа1 пг:южим: х-=-ггх', у — Ьу', г' —.. )1х' +у'; гогда интеграл по площади эллипса сведется и интегралу по плогпзди о' единичного круга и легко вычислится: С) =--Нг„л„. ад ~ ( 1'1 — Х'а — гг'З) ггн'Сгб'="- г — ') -' о Буделг иметь по (25): 1 чааьаар Сс 2 " твлгла ЧИ1 (на+ Ьь) (28) 1 РеанЯЯ скоРость тоеч, согласно (28), окажетса Раиной: 1 теоР 2 сошьем' (28') Таким образом, как в случае круглой, так и з случае эллиптической тРУоы сРеднЯЯ ело)госгггь Ровна гголовггне еналсгг.гтльной, Это приводит к известному закону !!уазейля: при ламинарном движении вязкой несжимаемой жидкости сквозь круглую цилиндрическую трубу секунднын объемный расход пропорционален перепаду славления на еДинИцу Длины тРубы и четвертой степени ее радиуса и обратно пропорционален коэффициенту вязкости.
Зная расход 0 и площадь сечения трубы а =- яав, найдем среднгокг скорость: 492 динАыикл вязкой л(идкости и ГлзА )г>>. Тш Из выведенных формул заключаем, что по заданным геометрическим параметрам трубы, коэффициенту вязкости и одной из характерных для потока в трубе величин: расхода, средней или максимальной скорости, можем определить потребный для создания движения перепад давления Ьр на некотором участке длины 1. Этот перепад давления Ьр уравновешивает сопротивление движению жидкости, создаваемое силами вязкости на стенках трубы, благодаря чему и получается равномерное и прямолинейное движение жидких частиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
