Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 85
Текст из файла (страница 85)
дх!, дх,' 3 дх '! динамика вязкой жидкости и глзл 1гл, шп будем иметь: р — = рг + 2 Р1т (ВЯ) — 6 гад ~ р + — р дЬЧ ~ . дЧ Г 2 (15) дг Система уравнений (14) значительно упрощается в случае изотермического движения несжимаемой жидкости. Вынося в первом уравнении системы й за знак производной, получим: дт ' х дх ' ' ~дхз ' дуз ' дхз,) ' 'дх~дх ' ду ' дх)' или, замечая, что в силу уравнения несжимаемости послелняя скобка в правой части обращается в нуль: о — =рà — —.+1гр и. 0и др дГ х дх Преобразовав аналогичным образом остальные два уравнения, будем иметь следующую систему уравнений изотермического движения нес>кимаемой жидкосги: Ыа др — =рр' — — +, раи, ~ дт д ; — =рР— — +рр и, ) ип др дг л ду г.— = рŠ— — ч-Гчр ш дм др 'да ' дх (14') или в векторном виде: р — =рà — цгадр+ир Ч, дч дГ 1'16) где под символом твЧ понимается вектор с проекцииии Чви, Чав, Чзш.
Используя легко проверяемое непосредственным днфференцированнем векторное соотношение УзЧ = ьгад Йк Ч вЂ” го! го1Ч, Сгоящие в левой части системы проекции ускорения должны быть известным уже образом разложены на локальные и конвективные части.
Основная сложность системы (14), кроме нелинейности конвективнык членов, заключается еще в том, что коэффициент вязкости в является функцией температуры Т, а распределение температур, в свою очередь, как это уже иавестно из динамики идеального газа, зависит от поля давлений и скоростей. Система (14) может быть записана в компактной векторной форме, если в основное уравнение динамики сплошной среды (36) гл.
11 подставить выражение тенаора напряжений в форме (11). Тогда, вспоминая Я 17 гл. 11), что (я — скалярная функция) Р1т (е1е) = угад м, ьч 77( вещие твзвнвння движения вязкой ькидкостн 477 которое в случае несжимаемой жидкости (Йч У = О) переписывается в виде: УвУ = — го1 го1 Ч, будем иметь еще такую векторнуго форму того же уравнения (16): р — = рг — ргали р —,ь го1 го1 У. вг (16 ) К выведенным динамическим уравнениям присоединяется уравнение сокранепия массы (или уравнение неразрывности) (21) гл.
П вЂ” + р Йч Ч =- — „+ Йч (рУ) = О. п~ зависящее, очевидно, от того, принимается ли в расчет пявкость или нет. Уравнение оаланса энергии (45) той же главы (ч 16) преобразуем к случае наличия вязкости, подставляя в него вмесго Р выражение (9) пзсгоящей главы. Предварительно находим: 2 2 РУ = 21ьтзУ вЂ”,'р + — (ьЙмУ)ФЧ=2иЯУ вЂ” ~ р+ —,, оЙч Ч Ч. 3 11роивведение оЧ можно раскрыть, составив 1-ую проекцию а 3 (ЯЧ) =. ~ Я Г =- — ~ ( —.+ — Г = :-ч г о'к'г ,СЫ О ! 2;Ы(~~х- йх, 7 у з — 1 !'=1 и заключив по последнечу выражению, что 1 1 /КЯ~ ЯУ = —,(У ° У)Ч+ 2 ьгаб ( 2 ); с другой стороны, по известной формуле векторного анализа будем иметь: (У ° Я)Ч= гад( 2 ) — Ч Х го1Ч, гак что I 1н') 1 БУ = ча д ( — 1 — — Ч Х го1 Ч.
(,2/ 2 11роиаведем еще в уравнении (45) гл. И замену: ЗсчТ=!с,Т вЂ” КТ==1 — —,, Р а по (48) гл. 11: ,' Л .71ь7 = у йч (! втаб Т) =- Йч ! — 'дтас1 !). с„" 478 (гсс. шц динамика валкой жидкости н глэл Тогда уравнение баланса энергии примет вид: сг г. Р д (с+ 2)=рГ Ч+с!!ч~!сдгас$(УЯ) — ссЧХго!Ч— — РЧ вЂ” — !с Ч б!ч Ч~ + р — ! —, + йч ( — ягад с) . 3 ~ дг!р, (с, Но, согласно уравнению (16): р дс ~ ) дс дс д +Ч ° ягабР+Р йчЧ= д + дсч(Р ь сл, !л~ р — (с — '- -,— =- РЧ гас! !1-л — ы сгс(, 2, ', 2,' или, вспоминая неоднократно ранее употреблявшусося формулу векторного аналпяа йч(оа)=- -йча+ а «садо, получи» р — (с + — ) = с!сч~ оЧ (с+--,-)~ — (с -с- — ) йч (гУ). Далее, при стационарном движении, согласно уравнению неразрывности (16): йч(рЧ) = О, следовательно, р дг (с+ 2 ) = д! ~рЧ(с+ — )~.
Уравнение баланса энергии (17) в сделанных предположениях отсутствия объемных снл (Г= 0) и стационарности ! — = — 0) примет удоб- гдР дс ный для дальнейших применений нид: ;,~рИФ+7),„„.б('+ ') . - !с го!УХУ+ —,ГУйчЧ1 = О. 2 й ' (18) следовательно, после простых приведений получим такую окончательную форму уравнения баланса энергии: р — (с+ —, = — РГ У+ — + д г. !гг) др дс(, 27 ' дс + д!ч ~ !сигай (!гг) — ! Ч Х го!У -" — ГЧ йч У+ — ' 8тад с1.
(17) В дальнейшем удовольствуе»ся рассмотрением преимущественно стационарных движений, причем в таких условиях, когда можно пренебречь влиянием объемных сил. В этих предположениях уравнение баланса энергии упростится. Действительно, прн стационарном движении 771 овщив ллвнвцнз движения вязкой жидкости 479 В этом уравнении использовано принятое в й 75 о<юзначение (5) числа а; число а для совершенных газов будем считать постоянным. Если к выведенной системе уравнений присоединить уравнение Клапейрона ~ =1сТ, Р которое можно переписать в виде л 17 Л вЂ” 1 — = — ° з'с Т= — 1, Р усг Р й и уравнение (3) в форме: (19) 1йй) то в результате пулем имею, обгцуго систему селга уравнений с семью пеизвестпыми: и, и, тз; р, Р, С 1». г См.
по этому поводу специальный очерк: „Заметка об условиях на поверхности соприкосновения жидкости с твердым телом", помещенный в конце второго тома монографии „Современное состояние гидроаэродииамикв вязкой 'кнлкости" (под ред. С. Гольдштейна). Гос. нэд. иностр. л-ры, М„ 1948, стр. 356. Система уравнений движения сжимаемого вязкого газа, таким образом, оказывается замкнутой — число уравнений совпадает с числом неизвестных.
Для решения этой, в общем виде весьма сложной нелинейной системы уравнений в частных производных необходимо еще знать на~альные и граничные условия задачи. Укажем. что в своей общей постановке вопрос об условиях существоззния и единственности решения составленной системы уравнений до снх пор не решен. Соответсгвующие условия обычно указываются в каждом отдельном случае. Отметим лишь одну характерную физическук> особенность движения жидкостей и газов с внутренним трением. !1рн обтекании неподвижного твердого тела вязкой жидкостью обращается в нуль не только нормальная компонента скорости (условие непроницаемости, имеющее место н в идеальной жидкости), но также и касательная компонента (условие „прилипания" жидкости к стенке илн отсутствия скольжения жидкости по стенке).
В число граничных условий рассматриваемой задачи входит, таким образом, равенство нулю скорости жидкости на неподвижной твердой ~ранице илн, при движении тела в жидкости, совпадение с соотяетствующими скоростями точек поверхности тела скорости частиц жидкости, прилегающих к поверхности тела. Это граничное условие долгое время (еще в середине Х1Х в.) оспаривалось некоторыми исследовате:шми, но в настоящее время подтверждено многочисленными прямыми и косвенными опытами.
' Оговоримся, однако, что в разреженных динамика вязкой >кидкос>'и и газа (гл. юп газах условие „прилипания" газа к твердой стенке, не имеет места; в этих условиях наблюдается „скольжение" газа по стенке, которое можно считать пропорциональным производной по нормали и поверхности обтекаемон> тела от касательной составляющей скорости. Не приходится и >.оворить о том, что условие „прилипания" совершенно теряет свою силу в сильно разреженных газах и, вообще, в тех случаях, когда длина свободного пробега молекулы становится велика по сравнению с размерами тела.
В этом случае основное зна'>ение по сравнению с соударением молекул друг о друга приобретают удары молекул о поверхность тела, и предположение о „прилипании" газа к >вердой поверхнос>и теряет всякий смысл. Впрочем, такого рода ,.движения" газа выходят уже за рамки механики в узком смысле слова и составляет скорее предмет изучения кинетической теории газов.
' Заметим, ~го вопросы обтекания тел разреженнычн газами приобретают в последнее время практическое значение в связи с полетами реактивных снарядов па больших высотах, гле разрежение воздуха очень велико'-. ! раничные условия для температуры могу> быть весьма разнообразны. Наиболее часто встречается задание распределения темпера- гуры по поверхности обтекаемых тел или на стенках каналов, по которым происходит течение жидкости (газа), а также температуры набегающей жидкости „на бесконечности". В других случаях задается распределение теплоотдачи, т. е. секундного количества тепла, проходящего через единицу площади пояерхносги. Согласно закону Фурье (4), последнее эквивалентно заданию производной от те>щературы по направлению нормали к поверхности обтекаемого тела или канала.
В такого рода граничных условиях заложено предположение об огсугс>вин „скачка гемператур" между. обтекаемой стенкой и „прилила>ощими" частицами жидкости. Эти граничные условия хорошо подтверждаются опытными исследованиями в жидкостях и нераареженных газах (точнее, при малой величине длины свободного пробега молекул по сравнению с размерами обтекаемых тел или каналов).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
