Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 86
Текст из файла (страница 86)
В случае же разреженных и, особенно. сильно разреженных газов изложенные граничные условия тернет свой смысл. В разреженных газах параллельно со „скольжением" газа образуется „скачок" температур, который, так же как н скорость скольжения, можно принять пропорциональным температурному градиенту в жидкости вблизи стенки. В сильно разреженных газах само понятие температуры (так же как и скорости) нуждается в некотором уточнении, что и делзется в кинетической теории газов. В число граничных условий входит епге задание давления в какой- нибудь одной точке, обычно вдалеке от обтекаемого тела, во входном сечении канала или др.
> См. Л. Ландау н Е. Л и ф>пни, Механика сплошных сред. Гостехяздат, 1944, стр. 444. -" По этому поводу сч. две статьи Т зян а в гл. статей „Газовая динамика". Из>, впостр. л-рьь !950, стр. Зц> — 557. 4 781 подавив гидяодиньмичвских явлений 481 Начальные условия фигурирусот лишь в нестационарных задачах и представляют собою аадание пространственных распределений скоростей и температур в некоторый „начальный' момент времени. Прежде чем перейти к иллюстрации характерных особенностей решения уравнений авижения неидеальной жидкости, остановимся на важном для практики вопросе об условиях подобия двух движений реальной жидкости.
й 78. Понятие о подобии гидродинамических явлений. Безразмерные уравнения движения вязкой жидкости и газа. Условия подобия Два физических явления называют подобными, если величины одного явления могут быть получены из соответствусощих величин другого, взятых в сходственных пространственно-временных точках, простым умножением на одинаковые для всех точек множители, называемые козфсссимиснслами подобия. Пусть у' — некоторая характерная величина для первого явления.
с" -- значение той же величины в сходственной пространственно-временной точке второго, сравниваемого с первым и подобного ему, явлешся. Тогда одинаковое для всех пар сходственных точек отношение величин и определиг коэффициент подобия й . Выберем теперь совершешю с~роизвоссьно какую-нибудь одну цару сходственных точек, почемузноо особенно характерную для сравниваемых явлений, например, „бесконечно удаленную" или „критическую" точку в случае обтекания тел, гочку на оси трубы в установившемся протекании жидкости и т. и. 11усть значения везичиньс в этой характерной паре точек будут, соогяетсгвенно, с", и с",.
Тогда по определеннсо подобия имеем: сс со'-~о плн, исклсочая коэффициент подобия, Назовем пару величин с, уо массислабами величин у в сравниваемых о' ссежду собою двух явлениях. Из последнего равенства вытекает, что в любых двух сходственных точках подобных между собои явлессий безразмерные отношения величин к своим .носштабалс одинас;овы. Иначе говоря, два ссодобных явления различаются лшпь осасслабамсс величин. Выделим в данном явлении характерные для него масштабы; времени, линейных размеров, скоростей, пссотностей, давлений, температур с~ других определяюших явление величин. Маса габон яреиени может 31 зэч ыс.л с.лы; чйй динамик> в>жной жидкости и глзл 1гл.
ч>п х па (>', » на (к. и нз 1:,и, и на 1Г,,т', р на й ь, Т на Т,Т, зна(з; те пз 1>,.в >' на». Исключение сделаем лишь для давления р, приняв вместо отно>некиа р,'р,. известный уже нзм по предыдуп>ечу коэффипиент давления р: Это вырзженпе и примем за безразмерное давление. Тзкич оГ>разом, лля давления произведем замену: р на р + — й 1';,р, Подчеркнем, что эта усгупка общепринятым обозначениям не имеет существенного значения и не стави г давление в какое-то особенное положение. служить. например, период колеоательного процесса, время прохождения телом какой-нибудь характерной длины (в частности, длины самого гс»а> и др.; масштабом клип.
--линейный размер тела, диаметр трубы и др.; мзсп>табами скоростей, давлений, плотности, температуры и др.— соогвегствуквцие их значения в набегающем потоке „на бесконечности" илн те же величины, построенные по заданным объемным, массовым, тепловым расходам, моп>костям и другим харак>-ерным для явления и известным наперед величинам.
Разнообразие выбора масштабов явления велико и не может быль заранее ограничено какими-то общими указаниями. Если выразить все величины„служащие для описания явления, в частях своих „мааптабов", то эти величины станут безразмерными. Такими же безразмерными окажутся н уравнения, характериаующие явление, и граничные и начальные условия, если входящие в них вели>ины заменить произведениями масштабов па со»гветсгв>.книне бечрззчерные величинь>. Еделзеч это в только .го зьп>еденной системс уравнений динамики вязкой жилкосгн, при >ем уловольш куемся лгп> простоты случаем стацио>ирного обтекания гела при отсутс>вии обьемных снл.
В этом случае время явно не вхолит и маантаб времени можно не вводить; точно тзк же не придется вводить масштаб объемных сил. Примем зз масштабы: один из размероз тела ( и величины „на бесконечносги" Ь',, р„й, Т, >'„и т. д. Условимся временно 1'это не приведет здесь к путанице) обозшшать безразмерные вели чины теми же буквами, что и размерные. Тогда замена разменных ве>ошин пз Г>езрззчерные свелстся к чзмене: Замечая, что масштабы являются величинами постоянными, не зависящими от координат, легко проведем указанную замену в системе уравнений динамики вязкого сжимаемого газа; будем иметгп 1:;„ — гйч)рЧ) = О, / 1 / 1 — бгч ) р,.
)г .2Ч, '/ /+ — 1/,,)/,' — ' ь Ипн11 — /+ 1' 1:")— 1': 2 — > / го1 Ч ' ' Ч - —, У г) )ч Н ) ~ —.= О, / /г Пч ' /ь рм Разделим обе час/и первых трех равенств па козффициенг при безразмерном копвективном ускорении. В четвертом равенстве насппабный множитель пропадет. 1)бе части пятого равенства разде- Ч !. лим на выражение — . В шестом равенстве произведем привеление к одному знаменателю и простые сокращения. В седьмом воспользуемся произволом в выборе ре, /е и положим р..=р, /„=/„. Тогда будем иметь в безразмерных величинах: ди, 1 д/г и,„Г д / дгг) ра — +...
= — — — + /Г2 — ~ )г — /+, .. 1. дх 1 ''' 2 дх р Р / Г дх ' дх/ д (егг), д (рч), д рич) ~!)т (рЧ) = — '-,— — ' — -х- — ''- = — О дх ' д! ' дх 1 )/~ \г „ — — )г го1Ч)(Ч- — — Ч д)чЧ)~ = О, 2 /г — 1 р 1.'-'„' )г =- /ч. 31ь ь' 7к) подовиг гиа одинамичвских явлении 4нн 484 динАмикА вязкой жидкости и ГАВА [гл. чллл Величина: рОУО) УОГ К= НО НО где УО, ро, )ОО, 1 — некоторые характерные для данного движения величины, называется по имени известного гидродинамллка Х!Х в., который впервые ввел и рассмотрел эту величину, числом Рейнольдса (кратко, „число к"). Входящее в предыдущие уравнения число р У! У! У„., 1'", — — — =- (й --1) —., = (й — 11 М., Г Л У, Згр — р ° й)г Т Ю !г)л ро 1 р 1 а,' 1 р, У, Н 1'е й 1' йМ" Заметив это, получим окончательно следующук> систем> безразмерных уравнений егиипионирного движении внзного газа: ди ди ди' 1др .
1 ! д Г ди', ) дх ' ду ' д л 2 дх ' й [ дх (,'' дхл д ~ (ди до)), д ~ (ди дыл) 2 д ( .~1,)~ до до до 1 др Р ' и — +Π— -1-го — гл = — — — + дх+ ду ' де/ 2 ду 1 ! д ! 'ди до 1 д ' до' (21) обозначим через К и будем называть „числом Й на бесконечности" или „числом )х набегающего потока". Далее, заметим„что в бесконечном удалении от тела скоростное поле однородно, скорости деформаций отсутсгвуют и движение вязкой жидкости совпадает с аналогичным движением идеальной жидкости. Следовательно, „на бесконечности" можно применять газодинамические формулы, изложенные ранее в гл.
1Ч и АГ! Для идеального газа. Будем, в частности, иметь (здесь в промежуточных выкладках временно появляется газовая постоянная ег', обозначение которой не должно быть спутано с числом Рейнольдса): 7И( подоьне гнгы одинлмичяских яялвннН 43б ды дю дяг~ 1 дд 21и — +и — +те — ) = — —,—.+ дх ду даг' 2 дх д ' дя', 2 д -)- 2 — (,з, — 1 — -; — ()г д1 ч Ч) (~, дх,1 даг 3 дх д(ри) + д(ря), д(рю) 1) дх д» ' дг з з д)ч ~ рЧ (~1 - ~- — М" )г "~) — — р. кгас1 ( — + (гг — 1) М" ьг ~— (21) /г — 1 2 К вЂ” — М,л! Г01 Ч )С Ч вЂ” — Ч г))ч Ч) 1 = О, 3 2 р — —.(Ф вЂ” 1), й=п' И1 1( этой системе уравнениИ присоединшогся безразмерные граничные условия, о которых было в общих чертах сказано раньше. Лля кон«ретпого слччзя обтекания тела эти грани шые условия привелутся к заданиго и безразмерном виде уравнения поверхности, равенства пурно на неп величины скорости,.
заданию распределения безразмерной гемпературы (теплосодержания) илн нормальной ее производной, атакже безразмерных значений скорости и температуры на бесконечности, равных при ранее выбранных масштабах единицам, н коэффициента давления, равного на бесконечности нулю. Безразмерная система уравнений и граничных условий движения жидкости или газа представляет некоторый самостоятельный интерес, так как позволяет изучать не голько отдельное единичное движение, но одновременно весь класс движений, отличающихся от данного масштабами линейных размеров тел, скоростей, температур и т. д. Вместе с тем безразмерная система уравнений позволяег просто н наглядно установить условия подобия двух движений жидкости или газа, что полезно для моделирования натурных явлений в лабораторных условиях, для обобщения результатов эксперимента и др.
Предположим, например, что рассматриваются два подобных стационарных обтекания вязким газом тела или системы тел, причем влиянием объемных сил можно пренебречь. Границы обтекаемых тел в обоих движениях будут геометрически подобны и подобно расположены по отношению к набегающим потокам, что входит в определение геометрического подобия, представляющего часть условий общего подобия явлений. При наличии геометрического подобия безразмерные 1т.
е. отнесенные к масштабам длин в сравниваемых явлениях) кггординаты в сходственных точках будут выражаться одинаковыми огвлеченнымн числами. Безразмерные граничные условия будут также дипАмикА вязкой жидкости и >'Азл 1гл. тпн одинаковы; одинаковыми окажутся и безразмерные величины скоро- стей, давлений н другие в сходственных точках потока, представляю- щие решения безразмерной системы уравнений (21). Следовательно, одинаковы должны быть и сами безразмерные системы уравнений. Как видно из структуры системы 121), при этом в двух подобных системах должны иметь одно и то же значение величины К, М д и гб если задана температура на поверхности обтекаемого тела, то из безразмерных граничных условий для температуры будет еше выте- кать одинаковость отношения размерных температур на стенке в ка- ких-нибудь сходственных точках к температуре на бесконечности.
Это отношение Т„: Т температуры на стенке обтекаемого тела Тя, к температуре набегающего потока Т, называют >лезглературным фаилгором. Отсюда следует прямая те оремз подобия: если два стацио- нарных движения вязкой жидкости или газа при отсугствии объемных сил и лучеиспускания подобны между собой, то соответствующие этим движениям числа К, М„, л, я и — ' одинаковы для обоих Т„, Т рассмагриваемых дан>некий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
