Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Для фактического вычисления интегралов (99), (101), (102) и (103) зададимся распределением циркуляции ввиде тригонометрического ряда: го Г (0) = 4 1г Е ~, А„Е1п п0г (104) о» где угол 0 связан с переменной по размаху координатой г равенством: 2= — Есое 0, (О =0,=йе — Е=о.г~Е). ) (104') Составим теперь формулы, позволяющие по заданному уравнению распределения циркуляции Г(ь) найти подъемную силу н индуктивное сопротивление. Согласно (97), имеем для элемента длины крыла конечного размаха: »ЕЕТ'.= Рог,оГ»Ег Е1п а,.='Р1г Г(г) а»»ЕЕ, »ЕЕгу = Р»гогГ»Е2 соз а» = Р г' огГ (2) иггг где, в отличие от предыдущего параграфа, будем под Ес и Е7У пони- мать проекции индуктивного сопротивления и подъемной силй всего крыла.
Заменяя величину 1г на 1Е, так как по (101) с точностью до вторых степеней а». 1„=УИ'„+ ';= 1Е„)Е'~+ =1, 458 пгостгвнстввнное Бвзвихяввов движение [гл. чп Если распределение циркуляции симметрично относительно начала координат (л = 0„6 = — ), то должно быть Г(6) =Г(я — 6), а следовательно: Ир в!Г и'ь 1 — — — = 4Ь' 1 пА совп6' °вЂ” П~ — ,та ! Па — - . ° ' ' гвгп В~— ч=! =4У ~> пА„.„6, . (105) Подставляя это выражение в формулу (99), получим выражение индуктивной скорости: \ в чсм У ~~ ! сов ~У щ'.
в в'п! п,) сов 6' — сов 6 ч=в о Интеграл, стоящий под знаком суммы, вычисляется в смысле своего „главного значения" и равен сов па', ямпп6 , 6/ сов 6 — сов 6 в!и 6 в так что окончательно получим следующее выражение индуктивной скорости: пв(6) = — К 1~~пА„— '" ", (108) а по (101) — и угла скоса: О пв(6) = ~ пА 'г~ в!и п6 "вщ6' и ! (1ОУ) Аз= Ав — — ... — — Ав„— ... О.
Заметим еще, что, согласно распределению (104), значения циркуляции на концах „несущей линии' (я = — 1, 6 = 0) и (г = 1, 6 = к) равны нулю. пр в Вычислим по (104) производную„— „, полагая параллельно с (104) ь= — усовб'! будем иметь: $78) основныв иогмглы твогии „нвсящвй линии" 459 Определим подъемную силу. Имеем по второй из формул (102) +г % Я,: р1г ~ Г(»)сЬ» 4р|г 1з ~ ~~~~АяяпиВз|п840= а ч=т = 4р Ъ' 1 ~~~~ А„~ яп и 8 з! п 0 й0. и=1 а Но по известному свойству ортогональности синусов кратных дуг: % я — при и= 1, яп нВ яп 8 д0 = о 0 при а)1, следовательно, в сумме, входящей в только что найденное выражение подъемной силы, сохранится лишь один член, что даст такое окончательное выражение для подъемной силы: |св — — я — ° (21)Я А,, гз (108) Замечательно, что величина подземной силы зависит только от первого коэффициента А, в разложении циркуляции (104); напомним, что аналогичным свойством обладало и выражение подъемной силы крыла бесконечного размаха, которое зависело только от первых двух членов разложения комплексной скорости в ряд по отрицательным степеням комплексной переменной ($44 гл.
ч). Имея выражение подъемной силы (108), легко найти коэффициент подъемной силы крыла конечного размаха с„, определяемый отношением: Рв и 2В "' где 8 — площадь крыла в плане. Подставляя сюда выражение (108), получим; св — — яЛАы (109) где величина Л, представляющая отношение площади квадрата, построенного на размахе крыла, к плошади крыла в плане Л = (211 (109') называется удлинением крыла. В случае прямоугольного крыла удлинение имеет простой геометрический смысл отношения размаха к хорде: л= —. 21 ) 460 пространственное ВВЕВНЕРВВОВ НВнженне (ГЛ.
УП Индуктивное сопротивление Д„ найдем, подставляя величину циркуляции (104) и индуктивной скорости (106) в первое из равенств (102). Будем иметь: ОЭ гсе=р 4 К ! ~ ~~А„Е!Еп8 «~тА ''пт е!пбд0= а с-1 ОЭ с =ррс(2!) «тАсАсс ~ е!Впав!Етэд!!. с,ю 1 о Замечая, что по свойству ортогональности функций синуса с — если п=т, яп пе а!п те дц = О, если и:ф:т, получим: руж 7Р =-.— (2!)- У пЛ . (110) с=1 и 74.
Крыло с минимальным индуктивным сопротивлением. Эллиптическое распределение циркуляции. Связь между коэффициентами индуктивного сопротивления и подъемной силы. Основное уравнение теории крыла и понятие о его интегрировании Индуктивное сопротивление представляет существенно положительную величину, нечзвисиио от того, каковы будут значения коэффициентов А„. Отсюда сразу вытекает важное следствие: индуктивное сопропивление крыла конечного размаха при отличной от нуля подъемной силе (Л, ф О) будет минимальным, если все коэффициенты в разложении циркуляции, кроме первого, равны нулю. Это, согласно равенству (104), соответствует распределени1о циркуляции: 1" =4Ъ',,!А1з!Еа (Ае — Ае — .
— 0), (111) нли, возвращаясь к переменной е по (104'): Переписывая последнее равенство в виде 1.1 га !4Р гА1)1+1 $74) квыло с минимальным индьктивным сопвотивлкниам 461 убедимся, что эпюрой распределения циркуляции по размаху крыла 1песугдей линии) будет эллипс (рис. 154) с полуосями: по оси с равной полуразмаху крыла 1, по оси à — максимальной по размаху циркуляции Г, причем коэффициент А, можно выразить через эту максимальную циркуляцию Га: Г А,= —. ь 4У, Е' 4У ЕА =Го 1112) Полученное распределение циркуляции называется эллиптическим. По только что доказанному при эллиптическом распределении циркуляции индукепивное сопротивление минимально; в связи с этим Рнс.
154. крыло с эллиптическим распределением циркуляции играет центральную роль во всей теории крыла конечного размаха. Всакое другое крыло стараются конструировать так, чтобы распределение циркуляции на нем, по возможности, приближалось к эллиптическолеу. Рассмотрим ближе особые свойства крыла с эллиптической циркуляцией. Прежде всего из формул (106) н 1107) сразу следует важное заключение: при эллиптическом распределении циркуляции индуктивная скорость и индуктивный угол (скос) одинаковы вдоль всего разлеаха. Действительно, подставляя в формулы (106) и (107) значения коэффициентов А„: 1' А,=- —, Аз-— -Аа —— ...
—— О, 4У 1' получим; В= — —, аг — —— ГО 41' 4~'„1 (113) Из этих формул, между прочим, видно, что с возрастанием размаха при заданной максимальной циркуляции индуктивная скорость и угол скоса стремятся к нулю, как это и должно быть при переходе к крылу бесконечного размаха. пяостРАнствГнноа ввзиихяввов дяижвннв (гл. чп или, вспоминая еще, что для малых углов атаки, отсчитываемых от направления нулевой подъемной силы, с, = (.у") ° ае аоое к где аь †действительн угол атаки, отличающийся от геометрического а на постоянный скос а„ найдем искомую связь в виде: Г= — дУ 1 (114) Отсюда сразу следует, что при постоянной вдоль размаха аэродинамической характеристике ао и отсутствии геометрической закрученности (а=-сопз1) закон изменения вдоль размаха хорды д совпадает с законом изменения циркуляции Г, т.
е. также будет эллиптическим. Форма крыла в плане представится уравнением эллипса: Ьв г' 14ГО(иь" ь.1 (115) Иа первый взгляд можно подумать, что с изменением угла атаки а, или скорости У набегающего потока максимальная хорда такого эллиптического в плане крыла должна изменяться. На самом деле, как это сразу следует, например, из равенства (81) й 42 гл. Ч, при малых а циркуляция Г, определенная на основании постулата Чаплыгина, будет пропорциональна произведению У а,: 1о=соУ а,, Если у крыла с эллиптическим распределением циркуляции .геометрические" углы атаки а по размаху не меняются, то будут сохраняться неизменными и „действительные" углы атаки а„.
Крыло с постоянным по размаху геометрическим углом атаки называют геометрически незакрученным или плоским; крыло с постоянным по размаху действительным углом атаки называют аэродинамически незакрученным. Геометрически незакрученное крыло с эллиптическим распределением циркуляции будет и аэродинальически незакрученным. Докажем теперь, что геометрически незакручснное крыло с эллиптическим распределением циркуляции и одинаковыми по все,ку размаху аэродинамическими характеристиками сечений имеет эллиптическую форму в плане. Для доказательства свяжем прежде всего коэффициент подъемной силы отдельного сечения с„с соответствующим ему значением циркуляции Г (г).
По теореме Жуковского будем ичеть для единицы длины крыла (д — хорда): , ув У"Г=с и Ь, $74) квыло с минимальным индтктивным сопвотивлвнивм 463 где са — некоторая константа, характеризующая форму крыловых профилей в сечениях исследуемого крыла, так что форма крыла з плане определится чисто геометрическим равенством: Ьз ая — + — =1 ('4со)а Га рг„а йе = к — (21)аА,, 2 Йя — — и —, (21)Я Аы р1' я нли, вводя коэффициенты индуктивного сопротивления и подъемной силы: Рк сэ —— 2й н вспоминая определение удлинения А крыла (109'): с, = ЫАг, сэ — — к1Ап Отсюда следует важная формула связи между коэффициентами индуктивного сопротивления и подъемной силы крыла: 1 с,= — с„, (116) показывающая, что индуктивное сопротивление эллиптического крыла быстро падает с убыванием коэффициента подъемной силы. Аналогичную формулу можно вывести и для крыла любой другой формы в плане.
Введем обозначение ~~~ лА„ я=1 АЯ 1 ( ) где 8 будет тем меньше, чем ближе рассматриваемое крыло к эллип- тическому. Итак, при принятых условиях геометрической незакрученности и одинаковости аэродинамических характеристик вдоль размаха крыло с эллиптическим распределением циркуляции будет иметь и эллиптическую форму в плане, подобную кривой распределения циркуляции. Вот почему такое крыло называется эллиптическим. Найдем еще связь между коэффициентами подъемной силн и индуктивного сопротивления эллиптического крыла.
Имеем по (110) и (108): 464 пяостгзнствяннов ввзвихтевоя движяния (гл. чп Тогда, повторив те же выкладки, получим для крыла любой формы в плане: с; = — „с„. 1+В з (118) Ь00 700 000 З00 000 000 'г' км / час (119) з См. Б. Т. Гор о щ ен ко, Аэродинамика скоростного самолета. ОбоРои гиз, 1948, стр. 25. При полете современного скоростного самолета на режиме максимальной скорости потребные для поддержания самолета в воздухе ск не велики (ся — — '0,15 — 0,20), Прн этом коэффициенты индуктияного сопротивления с; становятся малыми по сравнению с коэффициентами профильного сопротивчения с „, обусловленными сопротивлением трения и сопротивлением давления, возникающими из-за неидеальностн воздуха (об этом будет сказано подробнее в заключительной главе).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
