Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 79
Текст из файла (страница 79)
е. является по отношению к жидкому объему т ортом внутренней нормали. Отсюда следует, что производная от главного вектора количеств движения может быть представлена в виде: — = — р — ~ ~рп йа — р ~ 1/ Ч да+ рд-! Ип йао+р ~ 1/ Чйао= йК д1 д Г йс д1,~ о дт1, о, а а а а~ д Г = — о йг ~ оп да+ р дс ~ ипо йао+ р ~ ~'аЧ йао. Подставляя полученные выражения К н — в равенство (81), иК о'с получим после очевидных сокращений: Р = — р — ) Чан да+ р ) 1 й )/Яно — У„Ч) йао. й 1 Г/1 Замечая, что поверхность сферы ао возрастает с удалением от ! начала координат как ге, а подинтегральная функция убывает как —., о' г' о заключим о стремлении второго интеграла к нулю и в пределе при го — — со найдем окончательно: й1 К = р — ~ апйа.
йс.~ (83) Аналогичные рассуждения приводят к выражению главного момента сил )давлений: 1.=р — ~1 ~ртХпйа. и 1 лги а м Действующие со стороны жидкости на тело силу Й и момент 1. можно интерпретировать как секундные изменения некоторых „лрисоединенныл" к движущемуся телу количестви и момента количестви движения. Обозначим через К* и Оа главный вектор н главный момент количеств движения самого твердого тела, а через г и М вЂ” главный вектор и главный момент внешних сил, приложенных к телу, ломимО 5 71) коэееицивнты „пгисокаинвнных масс" 441 реакций жидкости; тогда по теоремам количеств движения и моментов количеств движения, примененным к твердому телу, будем иметь: йКч йц* — =К+Р, — =1.+М, йс ' йс нли, что все равно: — „(Ке — ~,и Ь)= Р, е — ((3* — р 1 е (г Х и) йо1 = М. йс 1 а (85) Сравнивая систему уравнений движения твердого тела в жидкости (85) с аналогичной системой движения того же тела в пустоте йКе И(2~ — =Р— =М йс у йс 1 заключаем, что движение тела в жидкости происходит так, как будто к главному вектору количеств движения его К*, благодаря наличию возмущаемой телом жидкости, присоединилось добавочное количество движения В= — р ~ мийо, н (86) а к главному моменту количеств движения твердого тела Ов „при- соединился" добавочный момент количества движения Л = — Р ~ Р (гХи) йо.
(87) Уравнения движения (85) можно переписать в форме — (Кч + В) = Р, — (Я*+ 3) = М, й йс йс (88) а векторы В н Л назвать, соответственно, „присоединенными' коли- чеством движения и моментом количества движения. Изменим обозначение проекций векторов скорости полюса тела Чв и угловой скорости «в вращения тела на связанные с телом оси координат, пронумеровав их по порядку так: ив = б1 ое 9я тео = Чв1 ми = Чв ма = йз1 ме = бв % 71.
Коэффициенты „присоединенных масс". Свойство симметрии. „Присоединенная" кинетическая внергия. Определение „присоединенных масс" поступательно движущегося цилиндра, шара и вллипсоида 442 поостванстввннов ввзвихьввов движение (гл. яп Аналогично положим: Вд Вэ В Во 7 В» /о Во в =в„ Уо= Во. В новых обозначениях выражение потенциала скоростей (79) будет: (89) » 1 Воспользуемся теперь выполняющейся в любой момент времени на поверхности тела о системой равенств (80), тогда в новых обозначениях вместо (86) и (87) будем иметь: о а (' до» . ( тч до» В» — о ~ ~7»7о — р ) т»7ьта»Ь ~ ~»ь»7ь ,) дл,) Л» ' дл а ь=1 в=1 (9О) (»=1,2, ..., 6), где введено обозначение: (дт» 7»'=-1, 2, ..., 6~ Л,.„= р ~~,рл д,, (91) Ал= ~ 1гл»1»л = ~ (ло+»овз о1гу)»1»л м* ог' =п»*по+во )Г з»7то — »о, )» у»7то = = л»*по+ л» «омэ шэУо'о где у, и х,— координаты центра тяжести тела; отсюда в новых обозначениях следует: К1 = л» »71 + л»хоцо и» Уоцо.
Величины 1.ы, вычисленные в связанной с твердым телом координагной системе, представляют некоторые постоянные, зависящие лишь от формы поверхности тела, так как по ранее доказанному э» от времени не зависят. Являясь коэффициентами в выражении „присоединенных" количества и момента количеств движения через обобщенные скорости дго величины 1д, играют роль инерционных коэффициентов, „присоединяющихся" к инерционным коэффициентам, входящим в аналогичные выражения количества движения н момента количества движения самого твердого тела. Так, например, проекция количества движения твердого тела, массу которого обозначим через то, на ось Ох будет равна: э 71) коэееицивнты „пвисовдинвнных масс" 443 Проекция на ось Ох суммы количества движения К* и „присоединенного" количества движения будет равна: Кт+В, =(т + Лы) д,+Л яУа+ Лафа+Лед, + +(т"а,+ Лга)д +( — тьу,+Л„) ам Как видно из структуры этого выражения, инерционные коэффициенты Л,а „присоединяются" к инерционным коэффициентам в выражении проекции количества движения твердого тела; ˄— к массе, Л, и Л, — к статическим моментам масс; остальные коэффициенты в общем случае дополняют члены, отсутствующие в выражении проекции главного вектора количества движения твердого тела.
Вот почему инерционные коэффициенты Лез обычно называют коэффициентами присоединенных масс. Тридцать шесть коэффициентов „присоединенных масс" (~=1,..., 6) обладают свойством симметрии, т. е. не зависят от порядка индексов. Чтобы это доказать, составим применительно к рассматриваемому объему т следующее известное соотношение: 7е7Я7ь ат = ~ 7~ йгв(Кгдййь) йт = = ) й1т(7,дгай7ь)йт — ) атай7, ° нгайфьат, и вычтем из него аналогичное соотношение с измененным порядком индексов; тогда получим общую формулу: (7,7яйь — 7„7айг) ах = = ~ й1ч(7 Кгай 7ь) йт — ~ йгв(йаатайфе) йт. Замечав, что в силУ гаРмоничности фУнкций 7, и 7ь интегРал слева обращается в нуль, и применяя в правой части формулу Остроградского, приходим к равенству: Примем во внимание, как и раньше, что интеграл справа, при удалении поверхности сферы ао на бесконечность„ стремится к нулю (гл.
тп пгостяанствяннов вязвихяявов движвния ях имеет порядок †,, — — порядок †, ~; тогда будем иметь: ( 1 дтв 1 г~а дл га Фг — пл= ~ юа пл, дтв 1 дтг дл .~ а дл л Ю или, по определению коэффициентов „присоединенных масс", "га = ьаг Т= — ) 'к'Ясй= — ~ атаб9 ° йтаб эдт=- , г 2,! 2. з =ф ~ д1т(фатадэ) дт — ~ чЧЯлйт= т — — Ч вЂ” „па+ — ) Ч вЂ” „пчз, р Т др р(' дт и вновь замечая, что при удалении поверхности вв на бесконечность второй интеграл обратится в нуль, получим аналог известной уже нам по в 36 гл.
Ч формулы (21) на случай внешнего обтекания тела: у. 1' д л 2 ~ дл а (92) Подставим сюда разложение потенциала скоростей Ч по потенциалам составных движений Чб тогда, перемножая суммы, найдем искомое выражение кинетической энергии возмущенного движения жидкости через скорости тела и „присоединенные массы"; в в 1 Т--„'~„;~', ~„Ы,. (93) я аа 1 Сравнивая это выражение с (90), получим связь между „присоединенной' кинетической энергией возмупгенного движения Т и,присоединенным" количеством движения: дТ в = —.
дЧг (94) что и доказывает свойство силскетрии этих величин. Таким образом, из тридцати шести коэффициентов, имеющих место в общем случае движения твердого тела, различных окааывается лишь двадцать один. Присоединенные массы 1,а входят коэффициентами в выражение квадратичной зависимости кинетической энергии Т возмущенного движения жидкости от скоростей движения твердого тела.
Подсчитывая кинетическую энергию жидкости как объемный интеграл: ~ тц КОЕФФициенты „пгисоединенных масс~ 445 Если написать в развернутом виде выражение кинетической энергии самого движущегося твердого тела: 1 ) о . ! о о » Т = ~ ~ 1( с1т = 2 (т (ио+ во+аоо)+2т х,(оов,— п(ове)+ в» + 2тоу, (и(ов — иов,) + 2т*е, (и„в„— т(ов ) + аат !1т х в = — д.
ч. ( и — ~ = — и (г) ая д. ч. ~ — ~ = — и (г) ае х Соо о = — ио(т) аа о = — ио(1) аа —, го г" и коэффициент при ио(1) будет играть роль „единичного потенциала" Ф„ равного ао вь = — — созе. г» Единственный коэффициент „присоединенной массы" будет равен по (91): о» 3» 1 = — р ) ~р,—.г Ые=ра ) соз ода=яра =т т1. » я я я о дг» 1 о о где т — масса жидкости в объеме нину его длины.
11авление жидкости на цилиндр цилиндра, приходящемся на еди будет определяться по формуле: иг ыат " ' аг' то легко убедиться, что при „присоединении" кинетической энергии возмущенной телом жидкости Т к энергии самого движущегося тела То коэффициенты 1оь так же, как и в случае векторов количеств и моментов количеств движения, „присоединятся' к соответствующим инерционным коэффициентам в выражении Т»: массе, статическим моментам, моментам инерции и центробежным моментам. Зто еще раз поясняет смысл коэффициентов 1оь и происхождение их названия „присоединенных масс". Конечно, термин „масса" здесь следует понимать в обобщенном смысле как величину, характеризующую инерционность вообще.
Поясним изложенное несколькими примерами. Пусть круглый цилиндр радиуса а, окруженный идеальной несжимаемой жидкостью плотности о, совершает поступательное движение вдоль оси Ох, перпендикулярной оси цилиндра, со скоростью ио, являющейся заданной функцией времени д В этом случае (вспомнить формулу (44) й 39 гл. Ч и выделить из нее потенциал в возмущенного дзижения1: 446 пгостелнстевннов ввзвихвввов движение 1гл. чп В случае равномерного движения цилиндра эта сила пропадает„ и имеет место парадокс Даламбера: прн ускоренном движении цилиядра реакции жидкости существует, причем она те.и больше, чем больше ускорение цилиндра. Составляя дифференциальное уравнение движения цилиндра (т*— масса единицы длины цилиндра, à — внешняя сила, помимо реакции жидкости): Ф Ниь видим, что его можно еще переписать так: (т*+т)ф.—.
Р . Под действием приложенной силы Р цилиндр будет двигаться в жидкости так же, как в пустоте, если только массу его увеличить на „присоединенную массу" жидкости в обаеме цилиндра. Столь же просто решается задача о прямолинейном движении шара. В этом случае, сохраняя те же обозначения, что и для цилиндра, имеем по (43) $64: аг соз б иь соз б о= — —.и ГТ1, е-= — — °вЂ” 2гг ь'" '' 2 гг аа СОВ От С аг 2СОЗ бт я . 2 а 1 = — р с1е 1 — — ., ( ~ — ° —.~ааз1п О до = — краз = — т о о где т — масса жидкости в объеме шара.
Дифференциальное уравнение движения шара будет: ть — =гс +Р' = — — т — „+Р аиь аиь аг з и 2 лс х (т +2т)~ Сравнивая это уравнение с уравнением прямолинейного движения шара под действием той же силы Р в пустоте т* — =Р диь ЛФ приходим к заключению, что движение шара в жидкости можно рассматривать как происходящее в пустоте, если только к массе шара „присоединить" дополнительную массу, равную половине массы жидкости в обаеме шара. Если масса жидкости в объеме движущегося тела мала по сравнению с массой самого движущегося тела (например, снаряд или самолет в вовдухе), то „присоединенной массой" можно пренебрегать. В других $71) КОЭФФИЦИЕНТЫ аПРИСОЕДИНЕННЫХ МАСС 447 случаях (дирижабль в воздухе, корабль или торпеда в воде и др.), наоборот, роль „присоединенных масс" оказывается первостепенной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
