Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Предположим для определенности, что на отрезке ( — с, + с) осн Ол задано непрерывное распределение источников (стоков) интенсивности у7(г). Тогда потенциал т возмущенного дваженяя, созданного этой системой,особенностей", будет, согласно второй нз формул (21) й 61, равен (знак минус введем в определение интенсивности у7): 4Э4 пгостгаиствяннов внзвихнввов двнжвние (гд.
чп Однако метод Кармана не был общим и требовал решения в каждом отдельном случае системы большого числа линейных алгебраических уравнений, что делало его на практике слишком трудоемким и мало точным. Аналогично, пользуясь вырзжением потенциала диполя (22) й 61, можно составить и потенциал лояеречиого обтекания тела вращения, складывая однородное натекание с заданной скоростью на бесконечности с потенциалом скоростей возмущенного движения жидкости от непрерывно распределенных по отрезку — с« зс, + с дилолей интенсивности и (а'): +с га соз а ~' ш (л~) Из~ чг (г*, г, а) = 4я,) [гь~+ (з — а')Я)эй (71) — с~а-=+с, заполненным .особенностями", и вторую, представляющую остальную часть оси Оз, где (з( ) с.
С точки зрения эллиптических координат Л, я, введенных в начале й 66, отрезок, на котором расположены ,особенности", можно предстзвить, согласно второй из формул (53), так: Л = 1 — 1 = и "~ 1, а остальную часть оси Ог, как я = ~-1, 1 СЛ(скь Тогда, срзвнивая между собою вне отрезка ( — с(а'(с) выражения потенциалов возмущений (70) и (71) с соотзетственнымн выражениями тех же потенциалов, взятыми из формул (55) и (61), получим следующие два равенства: +1 1 ~(с' ) ~~ =с)« ~~Ая1'.) (Л), (72) я з +т 1 ( т(си')Ан' 1, ~чи(п+1)С а~, 4ясэ,) (Л вЂ” 1«')з «ь .~й 2 " ПЛ (76) которые прн заданных коэффициентах А„и С„можно рассматривать как два интегральных уравнения для определейия нейзвестных функций д и ш.
Здесь также можно задаваться распределением интенсивности ш (з') нлн, наоборот, определять эту интенсивность из интегрального уравнения, представляющего условие непроницаемости заданной поверхности тела по отношению к потоку, складывающемуся из возмущенного и однородного на бесконечности.
Не останзвливаясь на изложении этих, в настоящее время уже мало- употребительных методов, укажем лишь на простую их связь с методами, изложенными в предыдущих параграфах. Покажем, что при заданной форме поверхностей обтекаемых тел вращения неизвестные функции «7(з') и и (л') могут быть выражены через ранее введенные коэффициенты А„и С„. Разобьем ось симметрии тела вращения Оз на две областй одну, определяемую интервалом $691 435 МЕТОД «ОСОВЕННОСТЕЙ Интегральное уравнение (72) может быть легко решено, если искать решение в виде ряда с(ср.') ~ ~ а»Р»(1«'), — 1 Д!«' =1, Подстзвляя это разложение в (72), получим: +1 О« 4 ~ ав ~ »Л, —— сУ,~ А»1.1» Л). в о в Замечая, что по известной формуле теории функций Лежандрат =- 2()в (Л), Л вЂ” н' — 1 перепишем предыдущее интегрзльное уравнение в виде 2, ~ л„Ц„(Л)=с)' ~ Ав()в(Л).
и о в=о откуда будет сразу следовать искомое решение: 4 (з') =2»сУ, ~~~~~ А»Р»(з'/с). (74) в о Для разыскания второй неизвестной функции т(л') продифференцируем раз по Л н другой раз по н' известное разложение'- — (~~~ (2П -(- 1) (!в (1) Рв (1«'), 1 в о тогда получим 1 1 у ~й;>» г1Р» (Л в )з к ~.~ = — -в т (2и+1) —" — ",. КЛ Ан' »=1 Подставляя это разложение в интегральное уравнение (73), преобразуем его к виду: (Ю +1 «О — — у (2я+1) —" ~ т(с11') — "«т!ь'= У у — С вЂ” ". 1 ъ! с«~в Р, НР», жчп(л+1) Щв 8»сэ 24 сЛ,~ Аи' «' ЛЕ 2 " и'Л »=1 — 1 в ' См. Унт те ке р и В з т с он, Курс современного анализа, ч.
П,стр.114 ' Там же, стр. 1!7. 43Б ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ЕЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ (Гл. Тгц Подставляя сюда разложение неизвестной функции в форме гл(сР') = — 2ясзУ (! — Р' ) у с„—, ът ЙРв и замечая, что в силу ортогональности полииомов Лежандра: +1 ~ О, при й~п, дР дР„ (1 — Р' ) — ", —,ИР'= ( 2п(и+1) — 1 др' дн' 1, при й= п, 2п+1 убедимся в справедливости равенства с„= С„. Итак, имеем: гп (сР') = гп (г') = — 2ястр, ~1 — ( — ц ° ~ Сл —,. (75) (,с) !! ' лУа д(г'/с)' Ь=1 4 (г) дгч У = — =У Я 2ягз = сО откуда дгь д (г) = 2яУ гч— дг ' (76) причем г*(г) представляет заданное уравнение контура меридионального сечения; 2) в случае поперечного обтекания тела вращения выберем т (г) из условия, чтобы элемент тела, вырезанный плоскостями г и г + дг, обтекался так же, как элемент цилиндра бесконечного размаха в плоском движении.
Это приведет к равенству: ш (г) = 2вУ г*ь(г). Совокупности формул (70) с (74) и (71) с (75) позволяют при желании пользоваться потенциалами скоростей возмущений в цилиндрических координатах, если уже заранее вычислены коэффициенты А„ и С„. Заметим, что эти коэффициенты проще определять при помощи разложений уравнения контура мерндионального сечения в ряды по функциям от эллиптических координат, з уже затем доводить расчеты до скоростей в эллиптических или цилиндрических координатах.
Так, например, как было показано в предьцгущем пзраграфе, в случае удлиненных тел вращений со значительным удлинением коэффициенты А„ и С„ легко определяются путем разложения уравнения контура в тригонометрический ряд по косннусэм эллиптической координаты 4. Заметим еще в заключение, что для тел с очень большим удлинением можно определить д(г) и т(г) из следующих двух простейших предположений: 1) в случае продольного обтекания считать нормальную к поверхности т тела составляющую скорости возмущения У„равной скорости плоского движения от источника, расположенного в ближайшей точке оси. Тогда условие непроницаемости поверхности даст: з 70) движение телА сквозь несжимАемУю жидкость 487 $70.
Общий случай движения твердого тела сквозь несжимаемую иденльнуюжидкость. Определение потеннмвла скоростей. Главный вектор и главный момент сил дввлемия потока на тело При рассмотрении внешнего обтекания твердого тела до сих пор всегда предполагалось, что или тело неподвижно, а набегающий на него поток однороден и стационарен, нли же жидкость вдалеке от тела неподвижна, а тело движется сквозь нее поступательно и равномерно. Именно в этом предположении был доказан парадокс Даламбера о равенстве нулю главного вектора сил давления жидкости на поверхность тела конечных размеров. Обратимся теперь к рассмотрению общего случая неравномерно»о и непостпупательного движения тела сквозь несжимаемую идеальную жидкость, предполагая, что центр тяжести тела (или как-нибудь иначе выбранный полюс) движется с данным ускорением, а само тело заданным образом вращается вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс.
Основываясь на доказанной в самом нача.че гл. 1Г теореме Лагранжз, можем считать движение жидкости вокруг тела безвихревым, что, вместе с условием несжимаемости, приводит, как и в случае равномерного поступательного движения, к равенству нулю лапласиана потенциала скоростей возмущения жидкости твердым телом: Рассмотрим граничные условия. В силу непроницаемости поверхности движущегося в жидкости тела, составляющая скорости движения частиц, соприкасающихся с поверхностью о движущегося тела, по нормали к а должна в любой момент времени совпадать с нормальной составляющей скорости соответствующей точки поверхности, так как в противном случае жидкость нли проникала бы сквозь поверхность тела или отрывалась бы от нее.
Обозначим через Чз скорость полюса твердого тела, а через ы — угловую скорость тела. Тогда, по известной формуле кинематики твердого тела, скорость Ч любой точки тела, имеющей вектор-радиус относительно полюса г, будет равна: у' = у' —, ю 'к', г, а граничное условие на поверхности тела напишется в виде: "'»= Увч+(ЮХГ)„= дт = пвп + ооп„+ то п +н (уп — »п,)+ +н„(»п — хп,)+м,(хпу — уп ). (78) Здесь из, оо, же и а, мю м,— пРоекцин вектоРов Уз и ю на оси неподвихсной системы координат Оху» с началом О, в данный пвостианстввннов везвихвввое движение [Гл. чп 438 момент вРемени совладагоисим с полюсом тела; л, лю л,— пРоекции орта внешней нормали к поверхности в, направленной внутрь обтекающей тело жидкости.
Кроме граничного условия (78), потенциал скоростей удовлетворяет епге условию обращения в нуль при удалении на бесконечность, где жидкость покоится: и — ь 0 при г-+ оо, причем, как уже было показано ранее, стремление это имеет порядок 1,'г' или более высокий порядок. Следуя Кирхгоффу, ' представим искомый потенциал Р, как сумму 9 = ив-,~ 1 пойэ+ твейз+ ыикь+ ~в9ь+ ы~йг~ (79) где функции к, предполагаются гармоническими, т.
е. удовлетворяющими каждая в отдельности уравнению Лапласа, и стремящимися к нулю при удалении от тела; для выполнения граничного условия (78) функции э, должны на поверхности тела в удовлетворять условиям: дчг дчч двв — „=л — =п — =л дл к' дл в' дп (80) дчь дрь дчь — =ул — »л — =»л — хл, — =хл — ул .
дл е г' дп и ю дп Задача о составлении потенциала скоростей возмущенного движения ю сводится, таким образом, к определению гармонических, убывающих в бесконечности до нуля функций эг, каждая из которых, кроме того, удовлетворяет своему граничному условию (80) на поверхности в. Функции в, имеют простой физический смысл.
Как это следует из (80), функции к„рэ и эв в каждый данный момент времени представляют потенциалы скоростей того возмущенного движения жидкости, которое возникает при поступательном движении рассматриваемого тела с единичной скоростью, параллельной, соответственно, осям Ох, Оу или О»; фУнкции Р„эь и кг аналогично пРедставлЯют потенциалы возмущений от чисто вращательных движений тела также с единичными угловыми скоростями вокруг осей Ох, Оу и О». Представим себе теперь связанную с твердым телом подвижную систему координат Оху», которая в данный момент времени мгновенно совладает с неподвижной системой Охуж В этой подвижной системе величины л, и„, л, не будут зависеть от времени и, следовательно, потенциалы эг, вэ„..., ав окажутся функциями толысо координагл.
Первые три из этих функций могут быть разысканы приемами, изложенными в предыдущих параграфах, остальные, соответствующие г см. восемнадцатую лекцию из классических „чог1егппкеп аьег магьешапвсье Рьув!к топ О. кггсььо!!". Вгыег Ваяй, месьап1з, ее!рг!я, 1697, стр. Йй, 70] движвние телА скВОзь несжимлвмую жидкОсть 438 откуда следует„что (81) Вектор К' найдем по формуле ьг' = — ) рп а~во, куда вместо давления р следует, согласно интегралу Лагранжа— Коши (13) (й 36 гл. Ч), подставить выражение: р=ррм — — — р— р'у'о до 2 дг' причем, по условию покоя жидкости на бесконечности: при г -ь сю р - р, 1г-ь О, о -э О, функция Р® в последнем равенстве может быть заменена на постоян- ную величину р /о.
Отбрасывая интеграт от постоянного слагаемого р получим; д Г рГ (А =р ) Фпог1оо+ 2 ) Чвцоо1оо (82) оК Секундное изменение главного вектора количеств движення— ~й составим как сумму локальной производной количества движения в объеме т, заключенном между поверхностями о и ао, и количеств движении, переносимых в единицу времени сквозь „контрольные поверхности" о и о, [вспомнить формулу (30) й 22 гл. ПЦ: — = — ~ рЧ ~й — ~ ррмЧ о1о+ ~ р У„Ч гЬ . ЛК д ФЕ дС вращательным движениям, определятся как решения уравнения Лапласа, удовлетворяющие своим граничным условиям (80) на поверхности тела о, а также условиям обращения в нуль на бесконечности.
Перейдем теперь к разысканию главного вектора и главного момента сил давления жидкости на движущееся в ней твердое тело. Заключим движущееся тело внутрь некоторой неподвижной сферы очень большого радиуса го с поверхностью ао и применим теорему количеств движения к жидкой массе, находящейся в переменном во времени объеме т между поверхностямн а и оо. Обозначим через К вектор количества движения жидкости в объеме -, через м — искомый главный вектор сил давления жидкости на поверхность тела а и через й' †главн вектор сил давления, приложенных извне к поверхности о„; тогда будем иметь: пРОстРАнстВеннОИ БезВихРеВое дВижение 1гл. Рп Первый интеграл, стоящий справа, в силу равенства Ч ==,раба и известной интегральной формулы, может быть преобразован к Виду: д 1' д 1' д р — ~ Кгаб одт = — р д/ ~ ап да+ о д/ ~ апойао, дс,) причем знаки минус, стоящие перед интеграламн по поверхности а в обеих предыдущих формулах, объясняются тем, что орт направлен внутрь жидкости, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
