Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 77
Текст из файла (страница 77)
(63) йй о В / (Р о=а Рассмотрим иоиеречное аб1иенание эллиисоида вращении Л = Л, продольное осесимметричное обтекание которого было рассмотрено в предыдущеи параграфе. В этом случае граничное условие (63) можно выполнить, положив Со= О при и ) 1; тогда будем иметь (Р,=й): с'1 ~ "о ( йЛ') 2!Ч1 (Ло)~ = Ло Огкуда, согласно ранее приведенному выражению ф1(Л), следует: Ло (64! 1 Ло 1 Л„+1 2 — — — — Ло !и —" 2 Ло — 1 1 Напомним, что здесь Ло = —, где е — эксцентрнситет эллипса, представляющего меридианальное сечение эллипсоида. Потенциал скоРостей рассматриваемого поперечного обтекания эллипсоида вращения Равен по (61): 1 Л + 1 Л "о(2 !" Л !+ ! Ло) о=сЛл,~/1~ — 1~/ 1 — йясово о + ! (65) 'о '.
Л+ 2 — — ло !и— "о 1 2 Ло — ! скорости определятся простым дифференцированием (65); ! дт 1 дт 1 дт Ь' = — —, Нлдл' и ди' ' Нодо 430 пгостьлнстванноз ьвзвихвевоя движении 1гл. чп Решение задачи о продольном и поперечном обтекании тела вращения приводит, как это видно из содержания настоящего и предыдущего параграфов, к необходимости проведения в каждом отцельном случае трудоемких вычислений. Эти вычисления могут быть значительно облегчены, если рассматриваемое тело имеет значительное удлинение. $ о8. Продольное и поперечное обтекание тел вращения большого удлинения. Приближенные выражения граничных условий.
Применение тригонометрических сумм для определения коэффициентов А„ и С„ В большинстве практических приложений прнхоцится иметь дело с телами вращения, удлинение которых, т. е. отношение цлины к максимальной толщине, довольно велико (порядка 8 — 12). Так же как и в теории крылового профиля, это объясняется хорошей обтекаемостью такого рода тел реальной жидкостью.
Расчет обтекания тел вращения большого уцлинения может быть произвецен приближенным методом, значительно более простым, чем изложенный в предыдущих параграфах. Изложим вкратце основную идею этого приближенного метода, принадлежащего Я. М. Серебрийскому.' Как уже было упомянуто ранее, основным затруднением в решении задачи является определение коэффициентов А„прн продольном и ф— при поперечном обтеканиях тела. Чем проще будет связь между 1 и у., определяющая форму контура в меридиональной плоскости, тем меньше коэффициентов А„, С„можно брать в разложениях потенциала скоростей. Самая простая связь представляется равенством 1 = сопз1, т.
е. разобранным ранее случаем обтекания эллипсоида. Отсюда следует вывод: чем ближе по форме исследуемо тело м эллипсоиду, тем легче может быть разрешена задача. В связи с этим решим прежде всего вопрос о выборе положения начала коорцинат на продольной оси тела. Совершенно так же, как при решении плоской задачи об обтекании крылового профиля произвольной формы (й 48 гл. ч), заметим, что фокусы уцлиненного эллипсоида вращения находятся посредине отрезка, соединяющего точки пересечения наибольшей оси с поверхностью эллипсоица н центры кривизны поверхности в этих точках.
Начало координат следует выбирать совпацающим с серединой отрезка, соединяющего фокусы; при таком выборе начала координат, чем ближе обтекаемое тело к эллипсоиду, тем меньше уравнение контура будет отличаться от простейшего равенства Х=сопзг. Если обтекаемое тело имеет большое удлинение, то поверхность его располагается в области значений 1ч мало превышающих значение Х= сйч= 1 или 1= 0, соответствующее отрезку оси 0», соеди- г Я.
М. Серебри йс ки й, Обтекание тел вращения. Прикледн. матегь и мехам., т. УШ, 1944. 2 68) овтяклнив тял втлщзния вольшого тдлннвния 48) пяющему фокусы. Рассматривая значения функций Я„(1) и — „при л, % лишь немного превышаюп1их единицу, убедимся, что при достаточно малых ч будут иметь место равенства: (~„=1п —.+-7„, — = — —., +В, (66) где 7„и 3„— малые по сравнению с первыми членами поправки. Замечательно, что, согласно равенствам (66), при малых т все функции Я и —" в первом приближении не зависят от индекса и. лая Основное граничное условие (57) продольного обтекания в первом приближении будет, согласно (66), иметь вид: ЧЧ 2Ач ЛРч ~Ы л(п 1-1) ~1,» ' ('67) — — ч а„соз(а — 1) тй У 2Ач ИР„ ьм л1и+11 чн (67') из которого можно вывести выражения коэффициентов А„через а„.
Тзк, например, при т=5 имеем: 3 3 А =-а — — аз+ — аю 5 +35 9 А =а — — а. 7 16 64 А = — а, Аа= — а. 4 7 Ф з 21 5' 8 32 5 и 15 11редставив контур меридионального сечения приближенным тригонометрическим разложением в эллиптических координатах 5з = ~~У ач соя (л — 1) тЬ ~68) определим тем самым числа а„, а уже после этого, согласно тождеству (67'), и величины коэффициентов А„, что и дает первое приближение к решению задачи об осеснмметричном продольном обтекании удлиненного тела вращения. Если удлинение обтекаемого тела велико, то указанное приближение оказывается для практики достаточным. При желании можно учесть в формулах (66) остаточные члены 7„ " 3я, что приведет ко второму и следующим приближениям.
ЛР„ где производная —" представляет известную функцию величины нй й =спят). Ограничивая сумму некоторым фиксированным числом членов л = т, можно, пользуясь приведенными з 2 66 выражениями полиномов Лежандра, написать тождество: (гл. Рн вРостРлнстввннов ББВВнхРРВОВ дйижвния имеет порядок единицы. Рассматривая граничное условие (63), видим, что стоящая в квадратной скобке слева величина мала но сравнению с величиной —" — ". Действительно, ьь (ХР) л1;) БР„ ЛР Л1 — — = — ° те = 1 Даь ах,! ь,( ='!п —.
1 в Таким образом, в квадратной скобке в левой части равенства (63) 1 1 первый одночлен имеет прн малых '. порядок — „„второй — 1л —,. Из приведенного рассуждения следует, что на поверхности удлиненного тела вращения, где с мало, точное граничное условие поперечного обтекания (63) может быть заменено на приближенное: 1 тЧ ьтРьь !а А или «ь ьь=1 (69) Сравнивая это граничное условие с приближенным граничным условием продольного обтекания (67), видим, что между искомыми коэф- фИЦИЕНтаМИ Ав И С„СУ1ЦЕСтВУЕт ПРОСТОЕ СООТНОШЕНИЕ: и (69') В первом приближении обе задачи — продольного и поперечного обтекания в решаются одновременно и сравнительно легким путем.
Аналогичным путем решается вопрос о поперечном обтекании удлиненного тела вращения. При плавности контура координата 1 1 изменяется вдоль всего контура также плавно в пределах от 1 + — $,„ь, 1 1 до 1+ — 1,,„ь ВРи этом )ь остаетса в пРеделах .-"-1; таким обРазом, л1 можно считать, что производная — имеет порядок ".„,,„, т.
е. сравни- ь1Р тельно мала, Отсюда следует, что величина н(1Р) — =л--!-й— ЙР ЛР $69) 433 МЕТОЙ „ОСОВЕННОСТВй Изложение приемов построения второго и следующих приближений можно найти в ранее цитированной статье Я. М. Серебрийского. Определив козффнциенгы А„и Ся, найдем выражения потенциалов и компонентов скоростей Йля продольного и поперечного обтеканий, после чего уже пегрудно разыскать и распределение скоростей и давлениИ по поверхности заданного тела вращения илн вне его при любом угле атаки. Отмегин, что при всех вычислениях на поверхности удлиненного тела и вблизи ее можно пользоваться для с2 и — " У(( )ь угл приближенными выражениями (66). Само собой разумеется, что при удалении от поверхности обтекаемого тела Л возрастает, и формулы (66) становятся все менее и менее точными.
5 69. Метод „особенностей". Применение непрерывно распределенных источников (стоков) и диполей для решения задачи о продольном и поперечном обтекании тел вращения у(г* г) =,— ! у) (г') г(гУ )7 гээ+ (г — л')э —.1,' '. ° (70) Если задаться видом функции Уу (г'), то, вычисляя интеграл (70)„получим потенциал скоростей, а дифференцирование по г* и г позволит вычислить н пРоекции скоРости в, и гм НаобоРот, задаваЯсь фоРмой обтекаемого тела, можно, переходя от потенциала скоростей возмущенного движения к полному ууотевцналу продольного обтекания тела однородным потоком с заданной скоростью на бесконечности и написав условие непроницаемости поверх- ности тела, получить интегральное уравнение, в котором У7(л') будет неиз- вестной функцией.
Заменяя потенциал скоростей на функцию тока, Карман' Разработал метод прнблнукснного интегрированна соответствующего инте- УР, Р * * Р Р У Р. 'УР..КР ' . В «Р Р ° Р«Э Р хУ РРРРР А(УПапб1, аиэ беш Аегобуп. 1пм, Аасйеп, 1927, Ней 6. Подробное изложение этого н других методов, а также применение нх к Расчетам см. Н. я. ф а б р и кант, Курс зэродннамнкн, ч. 1, гл. Ш. Гостех- вэдат, 1936, 26 з Умь л г. 1ээчРУ «.
э. Изложенный в предыдущих парагрзфах метод исследования продольного н поперечного обтеканий тел вращения, основанный ва непосредственном решении уравнения Лапласа в эллиптических координатах, не является единственным методом решения этой задачи. Первоначально формы обтекаемых тел вращения для дирижаблей определялись наложением однородного, параллельногонекоторой Осн потока на поток от системы источников (стоков), распределенных вдоль той же оси. Для этой цели применялись вначале дискретные „особенности" потока — системы источников (стоков) нлн днполей, а впоследствии — непрерывные нх рзспрсделения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
