Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Пеоднородность поля этих индуктивных скоростей Ч, является следствием различия расстояний отдельных точек плоскости от элементов „свободных вихрей" пелены. Анализируя с количественной стороны порядок разности между рассчитанными по формуле Био — Савара индуктивными скоростями в точках плоскости П вблизи точки О' и в самой точке О', можно было бы доказать,' что во всех плоских сечениях потока, удаленных от концов А и В несущей линии (крыла), неоднородное>пь поля индуктивных скоростей вблизи сечения крыла тем меньше, чем боль>ие удлинение крыла, >и.
е. о>пношение его размаха к средней хорде. Таким образом, представляется допустимым для каждого плоского сечения потока ввести понятие о своей местной скорое>пи на бесконечности Ч (рис. 150), равной сумме скорости потока на бесконечности перед крылом Ч и „индуктивной скорости" Ч<, созданной „свободными вихрями" пелены в точке О' несущей линии: (95) Имея это в виду, примем следующую „гипотезу плоских се ч е ни й": при дос>паточно больших удлинениях крыла конечного размаха каждое плоское евгение потока, удаленное от концов крыла, можно рассматривать «ак плос>сое обтекание полученного в пересечении крыла плоскостью крылового профиля, с „местной скоростью на бесконечности", равной сум.ие скоростей потока на бесконечности впереди крыла и скорости, индуцированной „свободными вихряма" ~елены в соотвеп>сп>вую>цей точке несущей линии.
Принятое допущение, сообщающее условным плоским сечениям потока смысл подлинных плоских движений, сводит расчет крыла конечного размаха к решению изложенной в гл. Ч задачи о плоском обтекании крыловых профилей н к последующему суммированию результатов по всем плоским сечениям крыла. Такое допущение имеет смысл только для крыльев значительного удлинения. Изложенная гипотеза плоских сечений неприемлема для крыльев малого удлинения. Обозначим через а (рис.
151) угол атаки набегающего потока на бесконечности перед крылом, т. е. угол между вектором Ч и хордой сечения крыла. Этот угол назовем геометри >еским углом атаки. Введем в рассмотрение также дейппвительный (нли эффективный) угол атаки а„как угол между „местной скоростью на бесконеч- < См. А. А. Д ар од в ппы н, Обобщение теории весущей линии на случай крыла с изогнутой осью и осью, яе перпендикулярной потоку. Прим, матем.
и механ„т. Ч!!1, !944. 9 72) ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КРИЧА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА 453 196) Давление плоского потока на крылово» профиль, согласно гипотезе плоских сечений и теореме Жуковского, определяется отнесенным к единице длины крыла по размаху г:авным вектором К, равным по величине й= рЧ„,Г, где А должно быть определено, как было указано в гл. Ч„путем использования постулата Чаплыгина о безотрывном обтекании задней кромки сечения крыла.
Вектор К направлен 1рис. 190) по перпендикуляру к .Местной скорости на бесконечно- ~ФА сти" Ч в соответствующую сторону. ,П В каждом плоском се- Ч ме »енин яектор К будет с;и 1 ' г — ТЧ иметь свою величину и и гое г е свое направление. Желая найти надземную силу крыла в нелощ, определим сна|ада подь щпую силу сечения, как о пи сенную к единице длины крыла составляюпгу~о Я, век гора К на направление, перпендикулярное е вектору скорости потока на бесконечности Ч, впереди крыла, а уже затем просуммируем этн составляя»пие, умноженные на длину элемента крыла, по всему размаху. Такое определение подъемной силы представляется вполне есгественным, если обратить движение п рассматривать движение крыла коне |ного размахз в неподвижной жидкости. Замечательно, что при этом, наряду с подъемной силой сечения Й„появляется еще состаеляюгйлн й„главного еекгпора й ло направлению двиясения, т.
е. сала сопротивления. Эту, также отнесенную к единипе длины крыла по размаху силу гс' назыяают индуктивным сопротивление»с сечения, а сумму величин Й~, умно,кенных на элемен~ длины крыла, вычисленную по всему размаху крыла, называют индуктивным сопрогпивлениеж крыла. Как это следует из рис. 150, имеем: 1с = Цз1пив, АР— — Й сов ио (97) Возникновение в идеальной жидкости сопротивления движению тела представляет лишь кажущееся противоречие с парадоксом Даламбера.
При доказательстве правильности парадокса Даламбера Я 64) ности" Ч и той же хордой. Угол между скоростями Ч и Ч обозначим через и; и назовем углом скоса потока или индуктивным углом. Как видно из рис. 1б1, 454 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ 1гл. Рг| было оговорено, что тело имеет ограниченные размеры и возмущающее влияние его не распространяется на бесконечность.
В рассматриваемом же случае движения крыла конечного размаха образовавшаяся за крылом вихревая пелена тянется до бесконечности, производя возмущения в бесконечном удалении вниз по потоку от крыла. Легко себе представить, что в некоторой аналогии с обтеканием решетки ирофилей скорость на бесконечности перед веагн еееедгеееюе крылом конечного размаха не равна г Р скорости на бесконечности за крылом в области вихревой пелены. В этом— 1 основное отличие теории крыла конечного размаха от теории пространственного обтекания тел вообще. Прежде чем перейти к изложению методов расчета крыла конечного раз! маха, заметим, что не следует в даль- ! 1 1 ь нейшем забывать о важной физической стороне явления обтекания крыла конечного размаха, совершенно не учи! тываемой гипотезой плоских сечений,— Р .
152. ис. 152. о наличии вблизи поверхности крыла поперечных токов. Эти поперечные токи можно легко наблюдать на поверхности модели крыла, установленной в аэродинамической трубе, если покрыть верхнюю и нижнюю поверхности крыла тонкими шелковинками. Отклонение шелковинок (рис, 152) от среднего продольного направления потока оказывается максимальным вблизи концов У крыла, причем, как показывают фотографии такого рода „спектров обтекания', на верхней поверхности ,~ — — 00 крыла шелковинки скашиваются к се- х + + э + У редине крыла, а на нижней — к концам крыла. Такое расположение шелковинок говорит о наличии тенденции к перетеканию воздуха Рис.
153. с нижней поверхности на верхнюю, что и естественно, так как на верхней поверхности создается разрежение, а на нижней давление (рис. 153), Поперечные токи тем больше, чем болыце перепад давлений между нижней и верхней поверхностями крыла, т. е. чем больше коэффициент подъемной силы крыла и чем интенсивнее вихревая пелена. При малых значениях коэффициента подаемной силы 1что соответствует малым углам атаки) пренебрежение поперечными токами допустимо, ири больших углах атаки, особенно при возникновении отрыва пограничного слоя с поверхности крыла, роль поперечных токов увеличивается. 6 г8) ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ „НЕСУЩЕИ ЛИНИИ 455 При дальнейшем изложении методов расчета крыла конечного размаха будем предполагать, что коэффициент подъемной силы невелик, вихревая пелена имеет малую интенсивность, а следовательно, малы все индуктивные скорости, малы и поперечные токи.
й 73. Основные формулы теории „несущей линии", „Индуктивная скорость" и .индуктивный угол". Прямая задача определения подъемной силы и индуктивного сопротивления по заданному распределению циркуляции Перейдем к определению величины „индуктивной скорости" Ч! в плоском сечении потока, отстоящем на расстоянии е от основной координатной плоскости хОу (рис.
149). Найдем сначала элементарную скорость, индуцированную в точке О' .свободным вихрем"— бесконечным вихревым лучом, выходящим из точки М. Для этого следует вспомнить формулу (30) 5 62 скорости, индуцирозанной вихревым отрезком, и положить в ней: О=90', ~ О, Г= е!Г= — „Ф', Ь=)!,— е~, ЕГ Принимая во внимание направление элементарной нндуцированной скорости бЧ! по оси ОУ вниз, будем иметь (Оо, < 0 при †„ ( О, 2 С ь): 1 е1' 1 я'1' еь 4е е — "„4е Р8) +г ! г л. о! (е) = — — л! — —,. 4я,/ — ! !99) Интеграл, стоящий справа, является, очевидно, несобслгвеллым, так как подинтегральная функция обращается в бесконечность при поскольку эта бесконечность имеет порядок первой степени, возникает сомнение в существовании интеграла (99).
Чтобы рассеять это сомнение, уточним вопрос о применимости формулы (98) и об интегрировании в формуле (99). Как известно, формулу !98) для скорости, индуцируемой вихрем, нельзя применять в той особой точке безвихревого потока, где расаоложен са,ы вихрь; в этой точке с координатой З = й скорость Полную „индуктивную скорость" о! в точке О' от всей системы „свободных вихрей" получим, если просуммируем элементарные индуктивные скорости ло! по переменной ч по всему отрезку несущей линии от точки В(" = — — 1) до точки А !" =!). Будем иметь следующее выражение индуктивной скорости: пэостэанствзнноз везвихэзвоя движение ( ° .
456 обращается в бесконечность. Формула (98) определяет скорости безвихревого потока лишь вокруг данного „изолированного вихря", т. е. при я=ЕЕ Сообразно с этим и интеграл (99) следует понимать в специальном смысле и вычислять особым образом, исключая при интегрировании точку «= ». Разобьем для этого интеграл (99) на два интеграла, взятые соответственно по интервалам (е ) О): — 1 = ч ( (л — е и я+а( ч( 1, не заключающим внутри себя точку г = з, которая остается в интервале (з — е ( ч ( з+ е), расположенном между принятыми интервалами интегрирования.
Значение интеграла (99), определенное как предел: э — е 3 (100) следуя Коши, называют главной частью интеграла (99).' Предел (100) существует и представляет определенную функлг цию чь(з), если, например, функция „— „удовлетворяет в промежутке — 1< ( < 1 так называемому условию Липшипа: где й и а — некоторые постоянные и, кроме того, 0(а - 1. Л1' Если, например,— „= сопя!, то +г з — е 31 1 ! Л1 гл.
часть ) — =!пп ~ — 1=,,!,) — г «+а = !нп(( — 1п(з — ь))' ,',' — (!п(ч — з))', ',~,~=!п — ' а=э +! э, ! (йр ж !каг=аг = — — =— У 4зУ~ „( л(л — ч (101) 1 См., например, В. И. С ми рно в, Курс высшей математики, т. 1П, Гостехнздат (1933), стр. 415 н т. !Ч (1941), стр. 240. В дальнейшем, встречаясь с „несобственными" интегралами типа (99), будем помнить, что такого рода интегралы должны вычисляться в смысле их „главного значения" по формуле (100). Если непрерывная, один раэ дифференцируемая функция Г (1) задана вдоль всего размаха крыла, то, вычисляя главное значение интеграла (99), определим для всех плоских сечений индуктивную скорость пм а затем и „углы скоса" а,.
Предполагая „углы скоса" малыми, будем иметь: 0 73) ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ „НЕСУЩЕЙ ЛИНИИ 457 получим следующие выражения элементарных сил: ГЕ»ги = РГ (2) Ю» (2)»Егг »ЕЕ»У = РГ (2) ггго гуг Интегрируя эти дифференциальные выражения вдоль всего отрезка несущей линии ( — Е==Е~Е), получим формулы индуктивного сопротивления и подъемной силы крыла: Еге = — р ~ 1 (2) О» (2)»Егг +» ЕСВ = Р»гго ~ Г(2)»Е2. (109) Подставляя в первую из этих формул значение О»(2), согласно равенству (99), получим формулу: +» +» »се=4 ~ Г(2)дг ~ у— — с — » (103) явно выражающую индуктивное сопротивление через распределение циркуляции Г (0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
