Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 76
Текст из файла (страница 76)
и М два обыкновенных линейных уравнения второго порядка лгжандрова типа: 422 пвостванстввнное вззвнхеввое движение (гл. тп ФО е(Л, й) =с%/ ~~~~,АЯ„(Л)Р„(у)+ЛАЗ; (55) здесь А„— неопределенные коэффициенты, значение которых зависит от формы обтекаемого тела. Для определения коэффициентов А„найдем прежде всего выражение функции тока ф.
По обшим формулам (35) Э 63 и (53') будем иметь: дф Н~Н, дт дт — — — — — с (1 — ра) аЛ = Н„ан д," дф Н.Н, дэ дт — = — ' — = с(1Я вЂ” 1) —, дн Нь дЛ ' дЛ ' или, после подстановки разложения (55): дэ — ' = — саУ [(1 — у.а) ~~ А,߄— "+ Л (1 — ра)~, в=а Еы — =с ( [(Лв — 1) ~~,'А„—,Р„-г-н(Лв — 1)~.
я=о Переписывая второе равенство в виде дй ~д=с'р' (Л' — 1)[Ао ~'Ро+,5',Аэ — „," Р +р~ ч=г и полагая коэффициент Аз=О, подставим под знак суммы выражение для Ра из основного дифференциального уравнения функций Лежандра (54'): 1Л1яйР1 Р (л+1) Лн! я !' '(1 йа) =", бесконечность при х= -1. В случае внешнего обтекания тела координата Л = ей Е может достигать бесконечных значений, а координата р ограничена. Принимая во внимание, что потенциал скоростей возмущенного движения (т.
е. полного обтекания за вычетом однородного потока со скоростью, равной скорости на бесконечности) должен стремиться к нулю при удалении от поверхности тела, можно вне отрезка оси Ол ( — с ( в с. с) представить полный потенциал скоростей в виде суммы потенциалов скоростей возмущенного движения и однородного потока, набегающего на тело со скоростью, на бесконечности равной $' и направленной вдоль Оан $66) пзодо!!ьнос оьтзкьник тсл в! лщзння Тогда будем иметь: ч=! Интегрируя по р, получим окончательное выражение для функции тока: ф= — — сз)г (Лв — 1)(! — рв)~ У " —." — "+1 ~. (66) з в Г ъ-~ 2А„лс7„ОР„! 2 1.2зл(л+1) ДЛ ДЗ ч Уравнение „нулевой" поверхности тока будет: —." — ч+ ! = О. Х 2А„ЛС1„арч л(в+1) лЛ ф. в=! !57) Сравнивая его с заданным уравнением профиля тела вращения в эллиптических координатах, можно определить величины коэффициентов А„, что и решает задачу. Конечно, именно этот пункт и является наиболее сложным с вычислительной стороны.' Имея выражение потенциала скоростей, найдем и саму скорость по формуле: '= '+ "= — ','( — ".)'+ — ',( — ")'= Нз д), Н* дз = —.,~(Л~ — 1) ~ !1 А„— „." Р.
()з)+)ь1 + з ! , !1,,)~ "~~АД„~Л) "„~" +.Л~ ~. Полагая в уравнении (57) А„= 0 при и) 1 и Л = Ле, получим: Аз=— (Ъ„, ! Ло.+ 1 Лз — !и — — —, 2 Л вЂ” 1 Ле — 1 ' См, С. К а р1ап, Ро!еп!!а! Е!оы звоп! Е!опяа!еб Вод!ез о1 речо1ицоп. КАСА Кер. № 516, 1935 г:, в втой статье вопрос об определении коэффициентов А„сводится к решению линейной системы алгебраических уравнений; более простой приближенный метод, применимый к удлиненным телам, будет изложен далее в 6 68.
Проиллюстрируем метод простейшим примером. Рассмотрим обтекание эллипсоида вращения, меридиональное сечение которого имеет уравнением ЛО' пяостелнствьннов ввзвихгевое движение )гл. чп Потенциал скоростей будет равен по !55): !56) ее г* с Ле с~!л- — 1) откуда следует; сЛ„=а, с3 Л",— ! =Ь !ее — Ье с или, введя эксцентриситет е =— а а' Л, = —, ')г Лз — 1 = —,.
Ь е е с В этих обозначениях получим: 1, к+1 — л!и — — ! 2 Л вЂ” 1 — 'Л ! 1!е ! 2е 1 — е 1 — ее а (Л, 1л) = — 1/ а (56') Лля проверки можно, пользуясь этим выражением, получить потенпиал обтекания сферы радиуса а, если заметить, что по определению эллиптических координат: при с- О е-+ О, сЛ-+ г, )л-+ сов!), где г и 0 — сферические координаты. Проиаводя разложениям 1 л+1 Л г1, ! !п — = 1п — = 2 !л — + — + ...) Л ) 1, Л 1 1 Л Л 3)з 1 —— Л !п) — --= 2(е+ — еа+ ...) е<1, с и заменяя е на †, убедимся, что 1 сал"1 при с -~ 0 -+ )с г~ ! + — ( — ) ~ т. е. к известному уже по $ 64 выражения> !43). Этому выражению можно придать несколько иной вид, если ввести явно полуоси эллипсоида а и Ь( а, расположенные, соответственно, по осям Ое и Ог'", Будем иметь, согласно !53), уравнение эллипса Л=Л„в виде: 425 8 57) попьввчное озтекание тал вващвния Проекции скорости на оси эллиптических координат будут )Г 1 Л+! — х!и — — 1 ;=.ж=--~;;=, „: — .
-) Н,„дм — 1п — —— 2 1 — е 1 — ез 1 Г1олагая здесь 1=1„= — —, убедимся, что на поверхности эллине е' соида Гг,=О; это и естественно, так как координатные линии (Х) перпендикулярны к поверхности эллипсоида и условие !г„ = 0 эквивалентно условию равенства нулю нормальной к поверхности составляющей скорости. Распределение скоростей по поверхности эллипсоида определится равенством: Г'== Гг Еа!'сч аг 1 — н' — ! ! .4- е г~ 1 — езнг ' г — — (! — ез) 1я— 2 ! — е Полученное только гго репзение относится к обтеканию эллипсонда вращения, удлиненного вдоль ио течению. Подобным же образом ыоа!но было бы исследовать н менее ингересный с практической стороны случай обтекания сплюснутого эллипсоида, фокусы мерндионального сечения которого лежат не на оси Оз, а в меридиональных плоскостях.' В только что цитированных курсах приводится также решение более общей задачи об обтекании эллипсоида, у которого все оси различны.
В 67. Поперечное обтекание тел вращения. Пример эллипсоида вращения Наряду с продольным обтеканием тела вращения, параллельным его оси (рис. 147 а), представляет интерес и поперечное обтекание, перпендикулярное (рис. 147 б) к оси симметрии тела. Из сложении этих двух потоков можно получить обтекание тела вращения под любым углом атаки, что весьма существенно. Выясним идею решения задачи о ггонеречнолг обтенинии тела вращения.
В этом случае уже не получается осесимметричного движения. уравнение Лапласа, определяющее потенциал скоростей, будет в ' См., например, Н. А. Кябель, Н. Е, Кочин в Н. В. Розе, Теоре'рческая гядромехавика, ч. !. Гостехиздат, 1948, стр. 358 — 350, а также ! ° Л а м б, Гндродияамика. Гостехиздат, 1947, стр. !75 — 181, э 67) ПОПЕРЕЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ 427 Комбинируя эти функции так, чтобы выражение потенциала скоростей воамущенного движения было ограниченным при Х -ь со, получим общее выражение потенциала скоростей: в= чзч .У~ ьг„(1)Р„(й)(А„ьсозйз+Вивз1пвз)+ 1/„л; ч ва ю здесь последнее слагаемое представляет собою потенциал скоростей набегающего на тело однородного потока со скоростью на бесконечности У , направленной параллельно оси Ох (рис.
147б). Полагая в только что выведенной общей формуле потенциала: Аво=б Ачз=Ачз= . =О~ В, =В„,=В„,=... =О, АРН =с$г С, т. е. довольствуясь решением, содержащим соз з, я, кроме того, представляя х по формулам, помещенным в начале предыдущего параграфа, как функцию 1ч 11 и з: х = г* соз з = с зп 1 з1н т, соз в =.— с)/),я — 1 у' 1 — 11в соз е, получим следующее выражение потенциала скоростей поперечно набегающего со скоростью 1г вдоль оси Ох потока: р=сЪ' сове ~~Єфф,(А)Р,',(и)+с1г )là — 1 у'1 — васозз, э=1 или, используя определение присоединенных функций Лежандра 160), О =с$' ~ХŠ— 1 )~1 — рай~ С вЂ”" — "+ 1) созе. (61) — — у%ч НОЕ ФРЕ ч — 1 Лля определения постоянных С„, как и ранее, следует составить граничное условие на заданной поверхности обтекаемого тела.
В этом случае не осесизснетричного движения функции тока отсутствует и приходится непосредственно вычислять нормальную скорость 1г„=— дл и приравнивать ее нулю. Несколько облегчая вычисления, выпишем в выбранной системе координат (А, р) условие, что при непроницаемости поверхности обтекаемого тела элемент дуги его мериднонального сечения параллелен составляющей скорости в меридиональной плоскости (условие скольжения жидкости на поверхности тела) пРостРАнственааое еезВихРВВОВ дВижение !ГЛ.
АП! (62) А а Заменив входя!дне сюда выражения вторых производных на осно- вании дифференциальных уравнений функций Р„и ~„: (1 — Ая) — л —," = 21 ах" — и (п + 1) 1,1„, дяРаа дРаа (1 — !ая) —" = 2р —" — л (и + 1) Р„, дия ИР получим после простых приведений А 1 5 аа= а ГЛ ! ~Ч дд„дР„ скал сова дн Р 1 — РЯ л ~ аа аа! дР п=а I 'Ле — ! ~~ ~Г ! — Р я а или, вспоминая выражения элементов дуг координатных линий и проекций градиента потенциала на направления этих линий, 1 ди 1 дт Н„с!1: — — ' = — Н„с!1а 'Надл " ' Н,.ди' Отсюда вытекает искомое граничное условие 5 дя Нздв дь яд!= ад —,',!Р в котором Х является заданной функцией а, согласно уравнению контура обтекаемого тела в меридиональной плоскости. Составляя частные производные —, — от выражения (61), будем иметь: дт дв дЛ ' дР аа 1 +)/'(1, — 1)(! — ра) в С„" —,"," ',", аа = 1 1 дт I ла — 1/ъа дадаадР„ С!асоСОзадР ' а ! — Ря(„й,~ 'а д! Ыл + У(Л — 1)(! — 251 ~' ф— "„~ — "'',Р„".
6 67! ПОПЕРЕЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТРЛ ВРАЩЕНИЯ 429 Подставляя эти выражения производных в (62) и испо:п,зуя ранее выведенные значения коэффициентов Ламе (53'): ,. Ло — 1ло * ло — Но Нл =си —, Н =сов Ло ..-1 ~ Р ! ~о получим после очевидных сокращений ~Ь С„((Л + р — ) —" — „" — и(и+ 1)(Я„-„йд" + — „"Є— )~ = ал =Л+и —, и1л Имея в виду, что А представляет заданную функцию от Р, перепишем граничное условие в окончательной форме так; ~а (1н) д1)„аР и ~ а(лй) ин иЛ ан '5'С ! — ' —." — и — и(и+1) — ф Р )! =- —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
