Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Во избежание недорас ' ' 15»7г зумений следует подчерк- г нуть, что уравнение осе- В' г г симметричного движения (47), составленное в координатах д, и дя, не совпадает с уравнением Рис. 143. плоского движения в тех з' же координатах; точно так же и сами движения: пространственное осесимметричное течение вдоль тела вращения и плоское обтекание меридионального сечения этого тела отличаются друг от друга и не могут даже приближенно сопоставляться. Так, напомним, что распределение скоростей по поверхности сферы оказалось совершенно отличным от соответствующего распределения в плоском обтекании круглого цилиндра: максимальная скорость в первом случае 8 681 ОБщие УРАВнениЯ Осесимметри'!но!'О ИВигкВ!!ии 418 Наличие в уравнении (47) существенного множителя го(!7О !р ) под знаком производных создает значительную рванину между уравнением Осесимметричного движения (47) и только что написанным уравнением плоского движения в тех же координатах.
Выбирая, например, в меридиональных плоскостях в качестве криволинейных координат обычные прямоугольные координаты (г", «), будем иметь: Игл=1, Н,= 1 и, следовательно, уравнение движения приведется к простому виду: (48) соогветствующему уравнению Лапласа в Пилиндричегкп« координатах ири отсутствии зависимости движения от о. Интегрирование этого уравнения проводится обычными приемами анализа.
Можно, например, составить такой, хорошо известный инте! рал уравнеяия (48)! л ло (г ', «) =- — ~ Оо([г с05 0. «) !!11~ о (49) глс Оо(р) — аналитическая во всей области те !ения (г'", «) функция. Лействительно, если й — аналитическая функция, то она сама удовлетворяет уравнению Лапласа (48). Имеем„рассматривая 0 как параметр и применяя штрих для обозначения дифференцирования по всему аргументу: дто до!ро л до!ро дгл 'о ' дг*' 'о ' дао — = !о !с05 0 — = — !о с055 0, — = о и, подставляя в (48), гоил 51по 0+ ри,' соз 0 = О.
° о Вычисляя теперь аналогичные производные от функции !о, представленной интегралом (49), найдем в силу предыдущего равенства: л 1 = — ~ (г*!р,"51п 0+Бр'созй)!70 = О. о равнялась трем вторым от скорости набегающего потока, во втором —- удвоенной скорости того же потока. Разница в уравнениях такого рода движений сразу видна из уравнений (46) и (47). В случае плоского движения коэффициент Ламе Но оказался бы равным единице, а не !" (!7„ !7!), и уравнение (47) приняло бы вид: пвостглнствепнов вгзвихтввоь движение (гл. чп " о=го(») = т.
е. потребуелг, чтобы лгидкость имела бесконечную скорость на отрицательной бесконечности (» = — со) и нулевую скорость в начале координат (» = О), причем зададим линейный закон уменыпепия скоросги. В этом случае легко найдем: л — — ) ОГ сов л — '- я . 0 а — — 1гч соэз й Л е ! О 1 — г'" ». 2 ») Н =- — », к — — ~ соз 0 у! = — гч, а' Функпия Ее (г) имеет в нашем случае простой физический смысл. Составим выражение составляющей скорости, пара:шельной оси течения: я )'~(г'~ ») = = — ~ ~~ (1гчсозй+»)пй дч 1 о и определим ее на оси потока (г' =О).
То~да будем иметь: "яв= ~ '~о(») г1 =~о( )' о Таким образом, первая производная от о (») представляет собгпо не что иное как распределение скорости 1', вдоль оси симлгетрни течения. Задаваясь видом функции "го="е( ) =~о(») найдем по (49) распределение скоростей течения: де 1 — — — ( г е (гг~ с о 5 й +») Ю, д» ) (ОО) г1т 1 1',. =- — Г, === — 1 / (гг» сов й - ~ ~») сов 6 М,! а а при;кел;шип и функцию тока: ь ь'=- ~ гть г/»= — ! соз11гй ~ До(1» созг1:, »)гг».
1О1) о Нулевой линией тока ф" =- О служит ось течения г' = О. 11росгейший пример такого осесимметричного течения получим, если положим й 55! овщиз тглвнения остюимметгичного движения 417 Поверхности гока имеют уравнением г» л = сопя!; общее их расположение показано на рис. 144. Картина течения соответствует растеканию приходящей из бесконечности с бесконечной скоростью жидкости, встречающей препятствие в виде безграничной Рис. 144.
плоскости, перпендикулярной направлению потока на бесконечности. Поверхности тока, очевидно, асимптотически сходятся к оси Ол при л-ь — са и к плоскости хОу при и — »О. Вычисление интегралов (49), (50) и (51) может представить иногда сложность, которую мозкно обойти, если, воспользовавшись аналитичностью функций -з и уз, разложить их в ряды: 0» (гг' соз 0 + л) = то (л) + 1» соз 0 ° уз (л) + ...
уз(!г соз 0+ л) =у»(л)+1»» соз 0 у„(л) + ... Подставим эти разложения в рассматриваемые формулы и, замечая, что » 1 соз»л 0 Д0 = —, (2п)! 2»" ° (и!)з' о — созе»- г 0 ла = О, Р г. ~ з 27 3»». пи!. л. Г. л»ац»»с»»а. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ВЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ (Гл. Рн получим: Те(1"", г) = ч, гв "т(~л! (г) г~ ( — 1)п з ~,~ 2тл(„1Р з (т"' г) = ч -( — г™ ту("" 1(г) (52) ) „злу(зл)( ) к.ч ( 11л Ь 2м (и!)т О и О фг(г", г) = ь гвт"у'зл)(г). жз ( — 1)л 2п 2тл (и!)т 2 1 Ф(г) = — е ~/ 2л что дает плавное изменение скорости (тл вдоль осн Ог, показанное на графике (рис.
145), Последовательные производные функции уь (г) определяются очевидным ра- 1,0 венством: У! "11(г) = 0,90 Ф!"1(г), ца причем 1 дь Ф(л) (г) = = — (е '-' ). '~/2л Иг" 27 Вспоминая определение полиномов Эрмита Н„:т Н„(г) = — — «-е 1 1 — м И» — м = ( — 1)не — (е ), о'гл будем иметь такое выражение для последовательных производных заданной функции уе (г): Рис. 145 1 /(в+11(г) = 090 ( — 1)" Ф(г) Н (г) = 090 — е " Н (г). ' Н з п е-5 'и е и Т з ! е и, ()п йзе Вез!Дп о( тпе Соп(тасйоп Сопе (от а %пп) Тпппе1.
Зобато. Деюп. 5с. 17о!. 10, № 2, !943; рр. 68 — 70. т См. Янке и Эмде, Таблицы функций. Гостехиздат, 1948, стр. 122, Пользуясь зтим~ формулами, можно строить различные формы конфузоров, диффузоров и других каналов. Так, например, положим:1 1з(г) =0,55+0,90 ~ Ф(г)с!г, л 419 й) 661 пгодольноа овтвканик ткл вващения На рис. 146 приводятся линни тока и распределение продольных скоростей, соответствующие рассматриваемому осеснмметричному потоку. Римскими цифрами отмечены сечения трубок тока, а римскимн цифрами со штрихами — соответствующие этим сечениям эпюры скоростей. Принимая линию тока за твердую стенку, получим профиль 1 конфузора, причем эпюры покажут, насколько однородно поле скоростей в различных сечениях конфузора, Так, например, видно, что профиль конфузора, показанный на рис.
146 штри- эб ховкой, имеет достаточно хорошую форму: некоторое повышение скорости к стенкам конфузора не вредит делу, так как подтормажнж к сти -за вяз- $2 20 2В 2 Рнс. 145. ванне нд о из кости вблизи стенок должно О йб выправить поле. Рассчитанвый конфузор, как видно нз рис. 145 н 146, удваивает скорость движения. Изложенный только что метод может с успехом при- меняться для расчета конфузоров аэродинамических труб, сопел н других каналов, если скорости в них значительно меньше скорости звука. й 66. Осесимметричное продольное обтекание тел вращения. Случай зллнпсонда вращения «=ссЬЕсозто 0 2~ со, г*=сзЬЕз1пть О~т1~2к, где величина с представляет расстояние фокусов семейства координатных линий — софокусных эллипсов и гипербол в от начала координат.
Положим: сй Е = Л, сов т1 = р, 1 ==-. Л ==- оо, — 1 < р<+1; тогда связь между координатами (г*, л) н 1Л, р) будет иметь вид: гь с У Лв — 1 ФГ1 — рз, л= сЛР, 153) чут Для расчета внешнего осесимметричного обтекания тел вращения (рнс. 147 а) возьмем в мерндиональных плоскостях (гь, л) зллиплтичеслую систему координат (с, т1), связанную с 1г", л) соотношениями !вспомнить формулы (51л) й 40 гл. Ч'р пгостглнстввнное кязвихвевов движениг.
1гл. чп Определив производные: найдем, согласно (46), коэффициенты Ляме: Н,=г = с )/1,Я вЂ” 1 1/1 — 1лв. (53') После этого уже нетрудно составить и основное дифференциальное х Г сазе а1 Рис. 147. уравнение Лапласа для потенциала скоростей. По (47) получим: (о4) Будем искать частное решение этого уравнения в виде произведения двух функций от переменных 1 и Р в отдельности: тогда в уравнении (54) переменные разделятся и из равенства дгм / 1 — 1ле — =С1 1/ дл ~/ ле — 1 ' да д1 с1" дг* / И вЂ” 1 — = — си дн ' 1/ 1 — нт' — = с>., дл дн 5 66) ПРОДОЛЬНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕ'! ВРАЩЕНИЯ 421 — Г(1 — ХЯ) «~ ~~ + и (и -.
1) 7. = О, — ~(1 — рз) — 1+л(л+ !) М=6. ! Г дМЗ лн ( (54') Этим уравнениям удовлетворяют ' два класса независимых решений; 1) функции Лежандра 1-го рода, в частности полиномы Лежандра Р„(х), определяемые рзвенства.!н: 1 Ра (х! = — (Зхз — 1), 2 Р (.)=1, Р,(х)= Ра(х) = 2 (Зхз — Зх), 1 н реккурентным соогношением для вычисления последующих нолнномоз: (и + 1) Рп+ ! (х) = (2н + 1) хРН (х! — НР„, (х); 2) фу н к пи н Лежандра 2-го родз 4)п(л), определяемые равенствами: ! х!.! ! к ь! Ь!х)= —.!и — '-, Г,! (х'1=- —.т!и — . 1 2 х — ! ' 1 . з А+! 3 !3з(х) = — (Зхз — !1! —— 4 х — 1 2'' ге (х) == — !'Зхз — Зх) !и — — хз-+— А+1 5, 2 4 ' .к — 1 2 3 и, вообще, ГЗ„(х) — !Г 1п + Г1 х+1 (2 х — 1 7х '"' (2п — 1)х! — 1 Р„(х), 1 1е 2е х Зх 5х При желании можно пользоваться реккурентным соотношением (и+ 1) С;Гп, ! (х) = (2п+ 1) х~г„(х) — п41„, (х), совершенно аналогичным реккурентному соотношению для полиномов Лежандра.
Функция Р„, как папином л-ой степени, обращается в бесконечность нри бесконечно возрастающем аргументе, функция же Я„ при этом стремится к нулю, но зато обращается з логарифмическую ' Гх Унтт оке р н Г. Ватсон. Курс современного анализа, ч. И. Госгехнзаат, 1934, стр. 91 н сз. в силу независимости А И р будет следовать, что каждая нз частей равенства лолжна быть постоянной, которую можно выбирать совершенно произвольно. Полагая эту постоянную равной и (и + 1), где и— целое положительное число, получим для определения Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
