Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 71

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 71)

орт. Введем так называемые иоэффийиенты. Ляле: тогда предыду~|ая формула даст следу1опгее выражение ортов координатных осей: тт~ дчт (3) Условие взаимной ортогональности координатных осей будет: ( О, или дх дх ду ду , дг дг + — — + — — = 0 если 1 '-/ дондо диг дд~ ! дог да. ~ ' -т- Лнфференцнал луги юг координатной линии Го,) равен модулЮ частного дифференциала вектора-радиуса по аргументу о: ( дг э4 — — - (а, г(=( —,~ дд, =Индо Яг !дя, 389 6 66[ овтогонельные гоиволинейные коовдннат1в !ее! — — с[5в с[5в = НвНв (й~в Игтв, = стев дв! = НвН !Гав дЧ ! й = с[5, Г[5 = н,н де[1 дгув, (5) а также н выражение для элемента объема: ![т = «51 [ев«ев = Н1НвНв сИ! гав дг)в.

(6) В !!илиндрической (рис. 133) системе координат (Г"', -., »), связан- ной с декартовой очевидными соотношениями: Х = ГЕ СОВ В, У вЂ” Гв В!П Е, » =- », г" = [Гхв+у'-, и сферической (г, е, 0): х =гсоввв[п0, у = Гв[п 551п 0, » = гсов0, от:1ичающейся от цилиндрической заменой: ге=гв[п0 н»=гсов'1, будем иметь Н„,.= — 1, Н,=г', Н =1, Н,=гв[пй, На=с; и в ! в+ге!о!ев+с[»в о1гв+гвв[пвйсйв+гяУР. дв„-.

= г" дес[е, с[е, = !Рг* д», де, = ге~й Ыг"; ~И„= гв в1п 0 с!е ![0„де, = г бг Ы0, гйв = — г в[в 0 Фг с[е; йт = г' с~ге !й ~Ф» = ге ып 0 Иг с[в ![О, [8) В ортогональной системе координат дифференциал любой дуги !й складывается из дифференциалов дуг координатных линий по правилу прямоугольного параллелепипеда." ![5 = с[51 + егере+ дез = Н1п1![!в+ Нвг1ув!+ Нйгу',". (4) 11аряду с координатными линиями и касательными к ням — координатными осями — вводят в рассмотрение координатные поверх- ногти [д!) и касательные к пнм координатные плоскости. Уравнения координатной поверхности [о![ получим нз (1) или (1'), если будем считать постоянной координату дт, а менять остальные две координаты.

В случае ортогональной системы координат через каждую точку М пространства можно провести тря взаимно перпендикулярные координатные поверхности н трн координатные плоскости. Легко проверить, что каждая координатная линия (![!) будет перпендикулярна соответствующей ей координатной поверхности [!у!); аналогично расположатся н координатные оси по отношению к координатным плоскостям. Полярным перемножением дифференпмалов дуг координатных линий получим элементарные координатные площадки: [гл.

Р»| Зйо »»РостРАнствеиное ББВВихРБВое дВижениВ По определению градиента скалярной функции будем иметь: 1 дг (Ргад»),», — — ята»)»Р ° 1»» = — — я»ад»Р ° — = Н» ' дп» 1 »дт дх дт ду дт дя ~ 1 д» (0) Н» (дх д»1» ду дд» дя д»)»»' Н» д»)» ' 2(иве)»генп»»я вектора может быгь вычислена в ортогональной криво. кс. линейной системе по формуле 1 (д(а Н»НБ) д(ляНБН») д(а Н,Н)» б)та — — (» ' + Я' ' + ч" 1, (10) Н»Н»Н» 1.

дд» дя, дча которую проще всего вывести, применяя известное нам по гл. ! интегральное определение дивергенции д!та= !пп — ~ а„аЪ 1 г »-эя к элементарному криволинейному координатному объему»»т. Будем иметь (рис. 132): д!чи=- Нт — » — ая,да +['ая,де»+ м»)(»»~+ 1 [для Н»НБ а после сокращения на п»»[,»(»)я»(»)а, получим формулу (10), й. бО) оггогонлльныв кеиволннейныв коопдинзты 391 Проекции вихря вектора го(а на оси криволинейных координат гкглучим, применяя д'и отдельных сосгавляющих вихря но напраялеоиям осей н сон гпетствующих элементарных площадок известнунг теорему Стокса (гл. 1) о связи между интенсивностью вихря вектора н циркуляцией вектора но элементарному контуру, охватывающему г;оординатную площадку (направление обхода показано стрелками па рис, 132): го(чгадаг= 1(ао а г(г.

., пщп Будем иметь приближенно, а в пределе н то шо, для одной нз спсгавляющих, например го( „а: го1,, а г(аз = гога а Иг Ня г(г) г г(гув =— д (а, азг) =ад,дзг 1-[~чдая-;- д;-Ф~г~— чг д(а, г(аг) 1 — ~а гЬг + ' г(дя — а Йая =— ч, дч, д (а Н, ляг) д (а, !У, аг)г) Йуг — " Й~я, даг даг откуда, сокращая на г(г)ге(гуя н повторяя то же вычисление для других составляющих, найдем: ~'— '"'; —,"" -' — '„"') ! д(а,„нг) д(ач Нз) 1 го! а=— НаН 1 го1, „ив 3 г (11) дчз д(гг 1 д(а, На) д(а, Нг) 1 го1 „а=— г* Н,Н„ дг)г доз Наконец, пользуясь (10) и (9), напишем еще общее выражение д.я оператора Лапласа в любой ортогональной системе криволинейных координат: уеу = д)ч пгаг( 9 = Приведем в заключение формулы градиента, дивергенции, вихря н оператора Лапласа в наиболее употребительных лилиндричесггих н сферическигг координатах: 392 (и'остевггстяянг(оя Бкчвихен(о(: движения (('л, ягг а) г!(глиндргг«гесггие координаты: =д дв да » дв 1дт «гад в=.— '„, гад «в= — —, д(г»а,„), 1 дн гв д«'.

! '" д» 1 дн, дп» гог,-. а =.=- —, — ' — — ', г д» дв ' да» да, го1,а = — — — ', да дг' ' 1 д(гва,) 1 дн« го!» а ===— дг» «в д» ', дт') ((г в,, «.» д»», -.' д»г ', двв б) с(гге!(и и сииа координатны дт ! дв ! дт ь«гад» (в = — ', угад,я =- -- — — ', «тадв и = — —; дг' ' гвшб д»' ' г дб ' 1 д (гви,) 1 дн» 1 д(ивмп 0) д!я а = — — «+ . — '+ —. «в дг гвш 0 д гвгп 0 дб 1 д(а,в!пб) го(, а= Мп 0 дб 1 да(( гв(п 0 д» ' ! д(га») 1 даг гог а= — — ' — — —" г дг г д0' 1 ди«1 д (га,) го!в а —. =гвш д» г д» "(,""'дб) «.в д» + гввгпвб д»в + «~в!па дб й 61. Потенциал скоростей. Поле источника и диноля. Непрерывное расиределенне источников и динолей.

Ньютонов потенциал. Потенциал простого и двойного слоев На основании общих соображений, приведенных в гл, (г, задачу о внешнем обтекании тела потоком с однородным полем скоростей в бесконешом удалении от тела можно значительно упростить, сделав наперед предположение о безвихревом характере движения. В этом предположении во всей области движения имеем го( 'г«' = О Выведенные формулы представляют необходимый справочный материал для дальнейшего. потенциал нсточникл, диполя и дв. и, следовательно, вектор скорости имеет потенциал о, именуемый по~лгнйиало.к скоростей и связанный с вектором скорости равенством: Ч = чгад м. 11 5) 1!Рсдполагая еще, ~то жидкость нес.кимзема, будем иметь условие б!» Ч = О, (14) что вместе с !!3) приводит к равенству б!» радо = Чз~р= О, представляющему известное уравнение Лапласа.

Итак, искомый потенциал скоростей м является решением уравнения Лапласа, удовлетворяющим определенным граничным условиям. Рассмотрим задачу о внешнем обтекании некоторого твердого тела с поверхностью ч н ортом внешней нормали п однородным нз бесконечности потоком с заданной скоростью Ч .. Тогда граничными условиями будут; а) условие непроницаемости поверхности тела: '»'„= ртам . = — = О на поверхности дв б) условие на бесконечности Ч= атаби=Ч при г -+ со, де — ' =- тз = сопя!, дз — = и = сопя! дт дл — =э=сопя!, д|~ д» где г — радиус-вектор точек области течения относительно начала координат, расположенного вблизи обтекаемого тела. Как доказывается в теории потенциала, при весьма широких предположениях о виде поверхности ч, уравнение Х!апласа (15) при только что указанных граничных условиях имеет единственное решение; функция ~у, представляющая это решение, называется гарлгомическод функцией.

Не останавливаясь на общей теории решения уравнения Лапласа, приведении его к интегральному уравнению и других относящихся сюда общих вопросах математической физики, перейдем к рассмотрению некоторых частных гидродинамических задач, а затем изложим метод расчета пространственного обтекания осесимметричных тел †наибол важной для практики пространственной задачи.

Что касается вопроса об обтекании тел произволыюй формы, то, в отличие от плоского движения, соответствующая задача з пространстве представляет непреодолимые трудности. Начнем, как и в случае плоского движения, с установления потенциалов наиболее простых движений. 1'. Однородный прямолинейный поток, параллельный некоторой прямой, имеющий повсюду одинаковую запани!по скорость Ч с проекциями л, и, гв, будет удовлетворять очевидной системе равенств; 394 игостванстзеннов ввзвихвввоз движения 1гл.

тгг Следовательно, потенциал скоргктей в этом случае равен а=их-1-игг+геа== и'1лсоза+усозЗ Г- -сову), 1161 где а., 1т, 7 — углы заданного направления потока с осями координат Ох, Оу и Оаз 2'. Погон источника 1стока) мощности Я будет симметричен относительно положения источника и даст поле скоростей, отвечаюиГее очевидному условию сохранения расхода где г — радиус-вектор некоторой точки потока относительно источника; отсюда получим; Г- Замечая, по н с4юричсской системе координат дт О 1 дт 1 дт найдем искомый потенциал скоростей Ф г) 4яг' (17) причем, в случае источника Ц)0, в случае стока Я(0. В выра- М кении 117) нетрудно узнать простейший случай ньютонова потенциала, встречающийся в теории притяжения, электростатике и др. 3'.

Поток диполя получим, используя допустимое в силу линейности уравнег' ния Лапласа 115) наложение частных решений уравнения. Определим сначала потенциал скоростей поля, создаваемого совокупностью источника и стока с рав! А' ными по абсолютной величине мощностями ~ф. ф Расположим сток (рис. 134) в точке А прямой линни АЬ, источник — в смежной а точке А'„ находящейся от точки А на расстоянии АА' = Ьз. Определим потенциал скоростей а в некоторой точке дг с вектором-радиусом АгИ = г, образующим угол ч с направлением прямой АЕ; будем иметь: 'т= + гд 47 4яг' Фяг' $ 61) потющиьл исто~ника, диполя и дьч 395 Предположим теперь чго„аналогично тому, как это имело место и случае плоского диполя (Э 38), источник сближается со стоком, но гаь, что мощность увеличивается до бесконечности и при этом выполпчсгся равенство: !1п1 С> ° ЛА' = — т (конечная величина).

л'-ьл о.+ аэ Тогда, переписывая погенцнал скоростей; в виде 1 —, 1)г — 1/е ; = — — 9-АА' °вЂ” 4е АА' и переходя к пределу, получим слслуапцсе выра'конно потенция ът ~ьоросгси: ги д /1, 4- йе(,г)' () и;ш, вычисляя производную н замечая, что, согласно рис. 134, о (1) 1 еГг сов Э г' дз ее де е получим еще такое его выражение: тсо.

Характеристики

Список файлов книги