Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 67
Текст из файла (страница 67)
чг к обеим частям (69) по равному количеству р,(: ° Ч~, будем иметь: ху 56) твшвткх правилки в локвнтнчкском нотокг 565 Отсюда будет следовать: р„,р (гК рт рх= ~ з з )' 2рв "ао ао! что при а = — 1 н аз = — — дает Рз о— Ро .а р, дв. ' р,'„(,— 1",) =р„'Ч„Ч,„ Подставляя в равенство (68') полученное значение рх — рх, а также значение рт (1 ° Ч,) нз (73'), окончательно найдем: й=р (Ч Ч)1 — р (1 Ч,„)Ч,=р Ч,зМ(1 ° Ч). (76) Итак, главный вектор снл давления потока на профиль в решетке, обтекаемой сжимаемым газом, прн закритических числах М выражается той же формулой Жуковского, что в в случае обтекания несжимаемым газом; это оказывается верным постольку, поскольку изэнтропа заменена касатечьпой к ней в некоторой промежуточной точке, а плотность газа положена всюду разной среднему гармоническому нз плотностей газа вдалеке перед н зз ре щеткой.
Прн расчете решеток в дозвуковом потоке можно с достаточной степенью приближения использовать линейную нзэнтропу, как это делалось в 554; прн этом естественно пользоваться н предлагаемым обобщением теоремы Жуковского. Относительная разница между средней арифметической рю и средней гармонической ,„ нз плотностей до н зз решеткой не существенна, так кзк з — — .,(' —,)' рш 'х рх+ рх / 4(и+ 1)з например, для воздуха (й = 1,4) это отношение не превосходит 4з! от малой величины (1хг — 1т)'.
Вопрос об учете влияния с>кимаемости газа на распределение давления по поверхности профиля произвольной формы в решетке с данными параметрами еше не доведен до практического решения. Принципиальной особенностью задачи об обтекании решетки сжимаемым газом по сравнению с изолированным профилем служит наличие в решетке взаимного влияния профилей друг на друга. Как было показано в й 51 (рис, 103), при возрастании числа М з дозвуковом потоке размеры области влияния обтекаемого профиля также возрастают.
Поэтому, если попытаться в грубом приближении свести обтекание профиля сжимаемым газом к некоторому условному потоку несжимаемой жидкости (вспомнить й 52), то сле- 1 дует: 1) увеличить, как и в случае единичного профиля, в У) — З(взв Раз ординаты заданного профиля в решетке и 2) уменьшить взаимное 1 расстояние между профилями в то же число раз, т. е. Ф 1 — Мз 1 Уменьшить в — — — — . раз относительный шаг. Таким образом, влияние т,г 1 )ЫЗ (шг. ьч гшоскос вкзпитоепог! движение сжнмдкмлп'о Глзл сжгглаелгосгпгг газа на обтекание профиля в реи етке оказываегпся более значггтельным, чезг в с гучае единичного профиля, ' Аналогичное явление повышенного влияния сжимаемости имеет место и при продувке единичного крылоного профиля в аэродинамической трубе с рабочим участком, ограниченным твердыми стенками. Влияние увеличения стеснения потока помещенным в него крылом на аэродинамические характеристики профигш быстро возрастает с уоеличением числа М набегающего потока.
й 57. Нелинеаризированный сверхзвуковой поток. „, Характеристики" уравнений плоского сверхзвукового потока. Линии возмущения и их основные свойства Л (а — и)д -( (Л,— Л, )д — — (Л,— ', Л ио)д — +Л (а — )д — — — О до или з ! ди Лг — Лгио ди1 Ля (а — из) ~ — -+ —. ~дх лэ(аэ — ие) ду) — (), + Л по) )Л вЂ” — .. — ~ = О. Гдо Лэ(аэ — оэ) до1 дх Л, + лэио ду (77) г См. ранее цптпровапную книгу Липмана и Пакета, стр. 20б. э Подробный и полный обзор опубликованных исследований по вопросам сверхзвуковой аэродинамики кзк советских, так я зарубежных ученых см. в курсе К и б е л ь, К о ч и и и Р о з е, Теоретическая гпдромехзппка ч.
П гл. !. Гостехпздат, !948. См. также А. Р егг!, Е!ешепгэ о! Аегобупагп!св о! 8прегэопгс Р!олчэ, Кечг Уогв, 1949. Теория сверхзвуковых течений представляет в настоящее время наиболее хорошо разработанный отдел газовой динамики. Существуют графические и аналитические методы приближенного решения задач сверхзвукового обтекания, опубликованы также и некоторые случаи точных решений простейших задач. Изложению этих вопросов посвящены специальные курсы гззовои динамики. я Основное значение для понимания сверхзвуковых процессов движения сжимаемого газа имеют „линии возмущения', представление о которых уже было дано в б 28 гл. 1Лг при изложении нестационарного одномерного движения газа и в б 51 настоящей главы при исследовании линеаризированного движения.
Рассмотрим некоторые общие свойства линий вОзмущения в плоском безвихревом сверхзвуковолг потоке. Вернемся к основноИ системе дифференциальных уравнениИ плоского потока сжимаемого газа (4) и (5). Обобщая прием, изложенный в 9 28 гл. 1Лг при решении задачи Римапна о распространении „конечных возмупгений", составим линейную комбинацию уравнений (4) и (5); умножим соответственно первое из этих уравнений на Л„ второе — на )з и сложим их между собой. Тогда получим: 807 "с7[ пелипссавизивованнсай свавхзваковой поток Попытаемся теперь найти в каждой точке плоскости (х, у) такое направление с угловым коэффициентом ду си =— дх !сабы выражения в квадратных скобках равенства (77) представили производные по этому направлению соответственно от и н гщ (78) ду дх Для выполнения этих условий необходимо подчинилсь величины )ч н Ля очевидной пропорции: ! (аа — ссс) ис с! — с,сии (79) Лс (ае — ссс> — (Л! -Р лаио[ нлн, сто все равно, удовлетворить системе равенств: Л! — Л ив = тЛ (ав — иэ), Ла (ае — оз) = — т (Л, + Ляио).
Собирая здесь члены с )ч и Ла, получим однородную систему уравнений: Л, — Ля [си(аз — иа)+ !со) = О, тЛ, + Ля [ав — ов+ ио[ = О, нмесощую отличные от нуля решения только при равенстве нулю определителя системы, т. е. при выполнении следующего квадратного уравнения относительно т: (ия — ая) тя — 2ссот -[- (оя — ая) = О. (80) Составляя дискриминант уравнения (80) ияоя — (ия — ав) (оя — а') = ая (ив + оя — ая) = ая ( (гя — а'), убедимся, что уравнение (80) будет иметь действительные решения только в сверхзвуковом потоке при выполнении условия (г~- а или М~ 1.
В каждой точке сверхзвукового потока можно указать два соответствующих сопряженным корням квадратного уравнения (80) с(ут ии -! а)с Г' — аа ис,л = — „! 2 а=~..),..= (81) дсс [ Л! — Лассо дх Ла (ае — сст) ссо Лс (ае — оа) с1х Л! -[- Лаии ди ди ду дх до до ди ду ди , ди аи ду ах дх ' ду ах' ди с!у ди ди ди + — ° — = — + —.т = —. ду ах дх ду Йх' 368 плоское гкзввхюлвок двнлкяния сжимлвмого глзь (гл. ш направления (будем их в дальнейшем называть „характериспличе.
скими"), вдоль каждого из которых функции и и о должны, согласно (77) и (78), удовлетворять соотношению ),я (а — и ) „— — ()и + ) яио) „— = О. а йи ао (82) Заметив, что произведение корней квадратного уравнения (80) равно ог — ая пллтя = и- — а" перепишем уравнение (82) в виде: йо 1 (ал — ил) Х (ал — ол) йи 'Ат+ Ллио т,т 11л -г- Л ио) нли, согласно (79), так: ао и ио се а )Г ь'г а" (83) йи т,тл оя — ае ау ио+ а у 'ч'л — пл ах ил — ал хглракнлеригтаками первого семейства, интегральные кривые уравнения йу ио — и )/1/л — ал л л характеристиками второго семейства.
Точно так же равенство (83) определяет в каждой точке плоскости годографа скоростей (и, о) два семейства Н, и На кривых, опреде- Уравнение (83) может быть проинтегрирована в конечном виде (что и будет сделано в дальнейшем), так как местная скорость звука представ.тяет известную функцило скорости движения )'= )'ияя-ь-оя.
Таким образом, совершенно аналогично случаю нелинеаризированного распространения конечных возмущении в задаче Риманна, вдоль кривых, представленных дифференциальным уравнением (81), неизвестные функции и и о оказываются связанными известным наперед соотношением (83) или его интегралом. Семейства (С,) и (Ся) интегральных кривых уравнения (81), соответствующие наличию разных знаков перед радикалом, образуют характеристшси в плоскости (х, у), а величины т, и тя, определяемые тем же уравнением (81), предсгавляют угловые коэффициенты касательных к характернсгикам или характеристические направления в плоскости (х, у).
Будем называть для определенности кривые, соответствующие дифференциальному уравнению (81) с положительным знаком перед радикалом Зб9 йа 57! НЕЛИНЕЛ!аИЗИРОВЫ!НЫЙ СВЕ РХЗВХКОВОй ПО!'ОК ляемых дифференциальным уравнением (83) с тем или другим знаком перед радикалом в правой части. Каждое ич этих семейств также представляет „характеристики", но уже в плоскости годографа (и, О).
3наку пл!ос перед радикалом соответствуют характеристики первого семейства, знаку минус — в!порога семейства. Обозначая через и углоВОй КОЭффнцИЕНт „ХараКтЕрИСтИЧЕСКИХ Нанразпвпнй" В тачКак Пзоскости (и, О1, будем иметь по !83)1 т ., ""=- )с !ск — ак Характеристические направления в плоскостях (х, у) н (и, и), как это сразу следует из !83'), связаны между собой очевидными соотношениями: т! ! л = — — = —.— —, или лт +1=0; и!тз те' тк ! л .= — =- — —, или а си +1= — О. з'= ,та = т, ' г Отсюда следует, что прн выборе осей х и у параллельными осям и и О, характеристические направления первого семейства в некоторой точке плоскости !х, у) оудут перпендикулярны характеристическим направлениям второго семейства в соответствующей точке плоскости !и, О) и, наоборот, характеристические направления второго семейства в плоскости !х, у) окажутся перпендикулярными характеристическим направлениям первого семейства плоскости !и, О).
Это важное свойство характеристик позволяет, если наперед известно семейство характеристик в одной плоскости, указывать характеристические направления в соответствующей точке другой плоскости. При пользовании графическими методзми интегрирования основных уравнений княжения, известными уже нсм по гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
