Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 64
Текст из файла (страница 64)
1, 1947. Если теперь ввести вместо Л независимую переменную з, связанную с Л дифференциальным соотношением 54) метод хгистилновичл пРиалижгнныв ФОРмулы 345 !51) !51') 1+, 1 й — 1 1+ — Мз 2 1 + — Мя 2 а" а па а следовательно: а+! Ме 1 — Ма 1 — Л--1 2 ! ! а — 1М2 !+а !Мя 2 2 а — 1 д+1 М" 1 1 1,Я вЂ” ! '2 + а+! 2 й ! 1+ Мт 1+ — Ме Л вЂ” 1 2 2 ' Н. А. Сл е з к ин, К вопросу о плоском движении газа. Труды МГУ, ":!', а также ДАН, нов. сер., т.
1!1, Аа 9, 1936. 2 См. только что цитированные работы С, А. Христиановича и особенно последнюю нз них, в которой дан подробный анализ первого прнблиа'ения. Вопрос об области применимости рассматриваемого прнблюкения лалее несколько уточняется. то система уравнений !49) приобретет „каноническую" форму: дв — д4 дз = У'К дз дт — др — = — ),'А' —, ~ дз да ' где величина К представляет следуюшую функцию г,: К= ! — Ле ьь+г ( а — 1.;)~ — г Решение задачи о бесциркуляционном обтекании профиля сжимаечым газом при сравнительно малых дозвуковых скоростях, основанное на применении упрощенной системы уравнений, было дано впервые проф.
Н. А. Слезкиным в 1935 г.' С. А. Христианович исследовал общий случай циркуляционного обтекания крылового профиля и предложил метод интегрирования строгой системы уравнений !51) путем последовательных приближений. В настоящем курсе мы принуждены опустить изложение глубокого по идеям, но весьма сложного с математической стороны метода С, А. Христиановича и удовольствоваться лишь простейшим приблилеением, дающим при не слишком болыпих дозвуковых скоростяхя удовлетворительную точность. Выразим величину К в функции числа М Лля этого заметим, что по формулам !66) гл. Ь1; 346 плоссое вязвихяввов движение сжимакмого газа (гл.
чг Таким образом, К, как функция от числа М, равна; К=(! — М)(1+ — ', ' М) †. (51") 1!риводим график зависимости величины г' К от й и М (рис. 108), а также табл. 7 значений )ГК для воздуха (я=-1,4). Таблица 7 м гК !' х ~ м 1ГК 1,0000 ! 0,35 0,3228 1,0000 (! 0,40 0,3701 1,0000 !! 0,45 0,4179 0,9999 !' 050 0,4663 0,9996 !!, 0,55 0,5152 0,9991 !! 0,60 0,5649 0,9982,", 0,65 0,6154 0,9965 0„70 0,9940 ' 0,75 0,9899 ' 0,80 0,9840 ! 0,85 0,9754 !' 0,90 0,9632 0,95 0,9461 1,00 0,6668 0,7192 0,7727 0,8274 0,8834 0,9409 1,0000 0,9271 0,8925 0,8416 0,7740 0,6788 0,50.92 О О 0,05 0,10 0.15 0,20 0,25 0,30 0,0457 0,0913 0,1372 0,1832 0,2294 0,2759 а йд ВФ ца ад Рпс.
108. Как видно из графика и таблицы, )7 К при не слишком близких к единице значениях 1, и М мало отличается от единицы; так, например, при 1, = 0,65, М = 0,61 величина )7 К только на бо('„ Ф отличается от единицы. Заменим в системе (51) )7 К постоянной величиной ко- Х орую включим в состав функ- ВВВ- пии с!7. В частности, можно положить К = 1 или К = К >. йм Тогда вмес го точной сис гемы уравнений (51) получим в плоскости (г, 6) приближенную а2 систему уравнений ВВ а7В ай7 йд7 ВВ — У = — ', — т = — — т, (53) а(В ад7 ' ВВВ 377' (ан дя дг' дг да' (а х ничем не отличающуюся от условий Коши — Риманна, связывающих э и ф в плоском' движ нии несжимаемой жидкости.
Равенства (53) естественно сравнить с аналогичной системой уравнений в плоскости годографа (г, О) для несжг:маемой жидкости (1=0) (,змейка" над буквой показывает, что соотв.гстгуюп(ая величина относится к потоку несжимаемой жидкости): (53') д'! дг дг дб ~ 54) метод хгнстилновичл. пгивлижяннык эотмтлы 347 ям!екающим из !50) при л = О. Предположим теперь, что в физической плоскости течения несжимаемой жидкости л определено обтекание заданного крылового профиля Г' с циркуляцией, отвечающей плавному сходу струй с задней кромки профиля. Вычисляя ю, Л, О, з, й и ф в функции от х, у, можем определить и все элементы в плоскости годографа !О, з), в часгности граничные условия задачи в этой плоскости. Переходя к приближенному решению задачи обтекания контура сзмижаежыя газом, потребуем, чтобы: О='1, з=з.
!55) .'Лг!я этого, согласно !'50) и (54), достаточно связать скорости те и ю или, что все равно, безразмерные скорости Л и ), соотношением: ! ье «Л Г«Л вЂ” ~ — + сопя!, $Г 1 1"- ' ° Л а -1- ! !55') в котором констант можно определить из условия, жобы о!но!не- Л пие — стремилось к единице, кот!а Л стремится к пульс Соответсгвую!цая связь Л !Л) и.!и Л !Я), ввиду некоторой громоздкости ее аналитического выражения, приводится в табл. 8 н в виде графика— на рис.
108. Таблица 8 И" И л". аэ М ,'/ == —,„ь — — — — М лч и" 0 0,35 0,0500 ' 0,40 0,0998, :0,45 0,1493 ~ 0,50 0,1983 ! 0,55 0,2467 0,60 0,2943 0,65 0,34!О ! 0,70 0,3862 ! 0,75 0,4307 !! 0,80 0,4734 ' 0,85 0,5144 !~~ 0,90 0,5535 !, 0,95 0,5904 ! 1,00 о !!.05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,6668 0,7192 0,7727 0,8274 0,8834 0,9409 1, 0000 0,625 ! 0,6568 0,6857 0,7!1О 0,7324 0,7483 0,7577 0 0,0457 0,0913 0,1372 0,1832 0,22 94 0,2759 0,3228 0,3701 0,4179 0,4663 0,5152 0,5649 0,6154 Здесь под '! понимается угол вектора скорости несжимаемого потока с осью абсцисс, а под з — величина, определяемая равенством «м «Л г- гет «з = — = — ~ Л= —.~ гэ Л 348 плоское ьззвнхневоз движение сжимаемого газа (гл. чп Рнч чч~- 1 "ч ...
1 ! (55) 2 ГчооР'чо со М и для сжимаемого: Рчм — Рчч, 2Р а П' з Рок ,, а — 1Мз ~Л ) Мз' Замечая, что по (52) Мз = 21з а+ 1 — (а — 11 1з' полу~им: 2 ФЧ-! "(а — 1)хе ФМз Ыу 1 Г.'— 1, 1 2 а — 1.. — хз а-г1 3аметим, чго при рассчатриваемом допущении К=сопз1 соотношение (55') могло бы быть заменено более простым приближенным.
При выполнении требования (55) система равенств (53) позволяет обычными приемами теории плоского несжимаемого потока найти в плоскости годографа (з, 0) поток сжимаемого газа, отвечающий тем же граничным условиям, что несжимаемый поток в плоскости (з, 6). Однако отсюда еще не следует, что и в физической плоскости тече. пия з контур С совпадет по форме с изученным в плоскости .з несжимаемого потока контуром С Как показывает основное равенство (41), элементы дуг контуров, а следовательно, и сами контуры С и С не будут одинаковы. Можно было бы доказать, что при не слишком больших дозвуковых скоро.
стах разница в форме профилей невелика. В ранее цитированных работах С. А. Хрнстиановича вопрос об указанном различии между профилями, о возникающих при этом изменениях в потребной для плавного обтекания задней кромки профиля циркуляции и другие относящиеся сюда вопросы подробно исследованы. В дальнейшем, в порядке простейшего приближения, будем пренебрегать указанной разницей между формой профилей в физических плоскостях сзкимаемого и несжимаемого потоков. Чтобы получить интересующее нас соотношение между распределениями давлений по поверхности профиля при сжимаемом и несжимаемом обтекании, составим выражения для соответствующих коэффициентов давления Р„, и р,, Имеем по теореме Бернулли для несжимаемого газа: 54) метод хРкстиАНОВичА.
пРнялижгнныз ФОРмУлы 819 н следовательно, 1 а+1 — (а — 1)л2 ' ай+1" ~ ' л' а(1 (а 1)„- РАЛ ЛЛ1 2/ Ла алз ~Л1- — Л / ФО О а 4- 1 нлн, после простых привелений: 1 а 1Л2 а+1 а+1 со (57) Задаваясь скоростью на бесконечности в сжимаемом обтекании и1 или величиной Л, найдем по табл. 8 соответствующее значение Л; затем, придавая различные значения Л и определяя по той ОО Ож ОО О.Г О,О Оу О ОО йг аз ОА ОО дО от ОО ОО ОО 12 О„„(О Рнс. 109. же таблице Л, определим связь между р, н р при помощи параметрических формул (56) и (57), что и дает искомое решение. На рнс. 109 и 110 представлены рассчитанные по первому при- ближению Христнановича (формулы (56) и (57)) номограммы связи И й~ Ю й СУ с сз о" !Ф 'а '»" у с к сЮ ст Т ы' М ч й Р :Ъ 54( метод хРистилновьчА.
прквлижвнные Фопьгулге между р,е и р, для различных значений числа М, набегающего потока. ' Пунктиром на рис. 110 указана граница применимости первого приближения; вправо от этой линии й ) 0,85 и первое приближение уже недостаточно для учета влияния сжимаемости. На рис. 109 дана номограмма пересчета положительных давлений (разрежений), на рис. 110 в отрицательных давлений. Пересчет по этим номограммам ггие в рве при заданном М не составляет труда. Как показывают номограммы, влияние сжимаемости газа на распределение коэффициента давления в первом приближении сказывается е увеличении абеолготнод величины нозффиииента давления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
