Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 63
Текст из файла (страница 63)
п.) и нижней (н. п.) поверхностей (здесь штрих обозначает производную от йп Ья по х): ь 32) тонков кгыло в линаьензнговлнном потока Суммируя для верхней и нижней поверхностей, получим: '"в )с = — ~ ((д,(х)) ', (д (х)) ~ ~х — с У М' — 1 А в )7в= — ~ !"'(х)+ "г(х)) дх ' 2 р"' " ф'Мь — 1 „' А Разность абсцисс хв — хл точек В и А обозначим через Ь и примем за хорду, разность ординат ун — ул положим равной величине — уг, при этом отношение Л/Ь можно в выбранном приближении рассматривать как угол атаки а. Тогда, переходя к коэффициентам сопротивления с н с„, равным: 77,.
Л ! 7 в получим окончательно *в $ ((й1(х)) + (йг(х))~) с7х, ! 2 " ЬКМ- (37) А УМ-„ л Ь| (х) = й (х) = — — = — а. Ь По первой нз формул (37) получим: 4чг с $~М вЂ” 1' (37 ) 22" Из формул (37) можно сделать следующие два основных вывода: 1) в линеаризированной теории тонкого крыла коэффициенгп подземной силы не зависит от формы крыла, а только от угла атаки и числа М набегающего потока, 2) в отличие от дозву' кового потока, тело, находящееся в сверхзвуковом потоке идеального газа, испытывает сопротивление; это сопротивление называют волновым. Коэффициент волнового сопротивления с по сравнению с коэффициентом подъемной силы св представляет малую величину второго порядка.
Так, например, если взять пластинку длины Ь, то нлосков везвихвввоз движвнив сжимаемого газа 1гл. чз 340 Коэффициент волнового сопротивления пластинки пропорционален кваДрату угла атаки. Можно легко показать, что у крыла, имеющего вид чечевицы, состоящей из двух дуг круга одинакового радиуса, коэффициент волнового сопротивления будет равен (1 в максимальная толщина крыла, З вЂ относительн его толщина): (38) т. е. сумме коэффициента сопротивления пластинки и добавочного слагаемого, зависящего от относительной толщины крыла. Как это следует из первой формулы (37), пластинка, по сравнению с другими тонкими профилями при том же угле атаки, имеет наиленьшид коэффициент волнового сопротивлении. В БЗ.
Нелинеаризированные уравнения движения идеального сжимаемого газа. Переход в плоскость топографа. Уравнения Чаплыгина В предыдущем параграфе рассматривались лишь те простейшие случаи до- и сверхзвуковых течений, которые приводили к возможности использования линеаризированных уравнений движения. Малость возмущений, создаваемых обтекаемыми телами, позволяла отбрасывать вторые и старшие степени, а также произведения возмущенных элементов потока и их производных.
При обтекании крыловых профилей сравнительно большой толщины и вогнутости уже нельзя пользоваться линеаризированными уравнениями и граничными условиями, а приходится обращаться к общигй нелинеаризированным уравнениям течения сжимаемого газа. Объем настоящего курса не позволяет останавливаться на изложении различных существующих методов приближенного решения нелинеаризированных уравнений. ' Наибольшее применение для решения газодинамических задзч в последнее время получили уравнения Чаплыгина, открытые им еще в 1901 г. и опубликованные в известной докторской диссертации,я представленной к защите в Московский университет в 1902 г.
С. А. Чаплыгин показал, что, если в уравнениях движения сжимаемого газа перейти от независимых переменных х, у в физической плоскости к новым независимым переменным: модулю скорости движения ~ $~(, в дальнейшем обозначаемому через ги, ' См. И. А. Кибель, Н. Е. Кочин и Н. В. Розе, Теоретическая гидромехаиика, ч. !1, гл. 1, Гостехиздат, 1948, а также Р. 3 з у в р, Введение в газовую динамику.
Гостехизаат, 1947. в С. А. Ч аллы ги н, О газовых струях. Учен. записки Моск. уииверс., отя. физ.-мат., вып. 21, 1904. 0 33) нвлинвлризировлнныя трлвнвния движвния глзл 341 ду ' ро дк' др и =— дх (39) дФ ре ду' где рр — плотность в покоящемся газе; отсюда следует: и йх+ о Иу = йо, ! -- о а'х + и йУ = Р— 0 йлт ! (40) нли, умножая второе уравнение на 1= !/ — 1 и складывая с первым, (и — Го) й (х + гу) = аЪ + ! Ре абб. р Заменяя в последнем равенстве: и — !о:= ве-'", х+ !у = г, получим соотношение йг = (Н9+ ! — Иф~) — е'" (41) оГ1оГш!аюп!ее оа случай сжимаемого газа нзвестн1чо уже по предыдущей главе связь между сопряженной скоростью и производной от комплексного потенциала по координате. '!тобы перейти к новым независимым переменным в и 0, будем считать г, э и 0 функциями в и 0; тогда равенство (41) перейдет в следующее: дв дб (дв дб р ~дв дб 1! в — е(те+ — аб = ~ — йв+ — аб+ ! — ( — ав+ — аб 11 — ег = де дг ( дт дб .Р„(дб .
дф ')1 1 = — ( — + ! — е-) ен йв+ — ( — + ! — ) е' йб. 1 гдт .Ро дат 1 едт Рч дфт в(,дв р дв) ' в(,дб р дб) Сравнивая в этом равенстве коэффициенты при одинаковых дифференциалах новых независимых переменных, получим: дг ! гдв, рлдМ н ! дв в дв р дв) дг ! где Рч дбт н дб в дб р дб (42) и углу 0 вектора скорости с осью Ох, в плоскости годографа снорости, то нелинейные в физической плоскости (х,у) урзвнения газовой динамики становятся в плоскости „годографа скорости" (в, 0) линейными. Для доказательства этого важного результата используем введенные ранее потенциал скоростей и функцию тока, положив: 342 плосков ввзвихвквок движения сжимаемого глзл (гл.
ш Рч (! ( л ! „1я)» (43) зависит только от величины скорости те, а не от ее направления 1!. Чтобы исключить из системы уравнений (42) старую независимую переменную а, пролифференцируем первое уравнение (42) по 0, второе — по гв и результаты вычтем друг из друга, тогда, в силу очевинного соотношения дея д»а дед»я дыдв ' получим равенство: — + 1 — ~ вы — — ем — + 1е!» —, ( — — ! — ', 1 г дьг .Ря д'-Р т 1 дэ, д г1 Ря'1дф гя(,дгядз Р дмде,) гя» до + ди' (,ж; .1дО ' которое после очевидных сокращений и вылеления действительных и мнимых частей приведет к следующей системе уравнений: (44) Замечая, что д РРо! Ра дР РиЛР ЛР Ре ! Ф д»е! Р! Рг дм РЯ др Лм Рг ле дм: а по теореме Бернулли найдем после чего система (44) окончательно перепишется в форме: — = — — — (! — М) —, дт Ро1 дф дж Рв дв ' дР Р„аф — = — "Ю вЂ” ' дз Р дж' 145! Введем вместо те переменную Чаплыгина -., равную л — ! яг» 7г+ 1 ач» гас а* †критическ скорость.
Напомним, что входящая в систему (42) величина — ', равная по Ре известной формуле изэнтропического движения з 33) ивлинвлвизивованныз тгавненигг движвния газа 343 Заменяя в формуле Бернугггги (гл. 1!г) игв ггз /г+ 1 — +- — = сгг', 2 а — 1 2(а — 1) согласно прздыдугцему равеггсгву + зг а — 1 с получим: 1с з сгг 2' т) а — 1' отк)лз слег!)ег: я вгг 2 т аз гг — ! 1 — с' 1 — — — т 1 — МЯ =-- а — 1 1 —- а по (43) г — з(з )— д — 1 'г — г 1 2 ' ! (1 г)гга — г ' кроме того, дт дз сгз а — 1 э д; — 2 дж дю дг а+1 а*~ дс дз а — 1 вг дф — 2 дга )г -1- 1 а'~ дл 11одставляя гоггько что найденные выражения в систему (45), получим систему уравнений сгаплыгина: а+1 1 — —: дя 1 а — 1 дзс дт 2с (1,)жа — г дз ' (46) дт 2с др да (1,)с'а — с дт а + 1 г 1 — — — -- с 2.
(1 — т)"' 117) 11ерекрестным дифференцированием и вычитанием уравнений сисгемы (46) можно получить раздельные уравнения для са и о, причем зти уравнения будут линейныжи уравнениями второго порядка в частных производных. Так, например, уравнение для функции тока ф ичсет вид: 344 нлосков ввзвихгзвок движение сжимлзмого глзь 1гл. тл или, если вернуться к координатам та, В н ввести местную скорость звука а, дтр, т мхл дф х мхх да) т»Л — ' -С тз !Л1 + — у! — + !Л1 — — ! — „- = О. дев ' ~, а»Удв ~, ат( дол 147') Диссертация С.
А. Чаплыгина содержит изложение ряда применений предыдущих уравнений к расчету струйных обтеканий тел, Для решения этой задачи устанавливаются общие разложения в ряд, которые позволяют непосредственно судить о влиянии сжимаемости газа при дозвуковом течении на струйное обтекание тел. Отсылая интересующихся к оригиналу, ' обратимся к рассмотрению другой задачи — о дозвуковом безотрывном обтекании крылового профиля. 5 64. Метод С. А. Христиановича.
Приближенные формулы учета влияния сжимаемости на распределение давления Следуя С. А. Христиановичу,з введем прежде всего в уравнения Чаплыгина (46) вместо независимой переменной т новую переменную Л, равную 148) а г Л вЂ” ! тогда, замечая, что д дЛ д .ю/~ — '1 1 д л ! дт дтдЛ й» вЂ” 12у дь» — ! 2»д»' перепишем уравнения Чаплыгина (46) в виде: дч др дз» 1,Н»-х дх ' ~-- —,,; ) дч 1 — Лх ду! 149) (1 — ~ ' Лх) л -)- ! Г 1 — Ле дЛ Г У 1 — Лх дЛ »+1 -л,! ' В настоящее время вышло новое язаакке работы С.
А. Чаплыгина „О газовых струях' в серяк „Классики естествознания', Гостехиздат, 1949. "- С. А. Х р нст н анович, Обтекание тел газом прп больших дозвуковых скоростях. Труды ЦАГИ, вып. 481, 1940, а также С. А. Х р н ст на н ов и ч и И. М. Ю р ьев, Обтекание крылоного профиля прн докрнтнческой скорости потока. Прнкл. мзтем. н мех»и., т. Х!, вып.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
