Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Ленингр. политехн. ин-та, !925; Приближенное конформное преобразование и его применение в теории мехзнизмов. Журнал прикладн. физики, т. Ч, вып. 3 — 4, 1928; Осиовзния синтетической теории коиформпых трансформаторов движения.Журнал прикладн. физики, т. Ч, 1928, Для этой цели следовало бы применять математические механизмы: конформиый трансформатор длв преобразования заданного профиля в .почти- круг" и гармонический анализатор для определении коэффициентов Фурье а„, Ь„. Механизмы, осуществляющие коиформные преобразования (99') и (100), уже давно изобретены советскнмн учеиымн,' но еще ие внедрены в аэродинамическую практику.
Аналитическое установление связи (11О) между рэ н » нс представляет каких-либо трудностей, но требует кропотливых вычислений. Перепишем соотношение (100) в виде (опускаем индекс нуль) плоское вззвихндвоя движкник жидкости (гл. т Задаваясь парами значений координат профиля (к, у), последовательно вычисляем г', г", т', Т", а затеи Р', Р", т', а" и Р, э. Ггри а = 2, т. е. в случае обычного преобразования Жуковского — Чаплыгина, формулы упрощаются. По вычисленным значениям !и Р, э строим график 1п †'. Для обработки Рэ (э). а полученной кривой к виду (110) можно применять любые известные приемы гармонического анализа. В ранее цитированной работе Я.
М. Серебрийского излагаются остроумные приемы, позволяющие легко получать тригонометрические представления резких местных отклонений иа кривой вблизи точки т = Ч при помощи комплексов вида 1 + соз (э — я,) ')я ) > названных автором „горками". Применение широко затабулированных автором .горок" сильно сокращает объем вычислений, необходимых для определения коэффициентов а„ и Ья. Опуская изложение практических деталей вычислительного характера— их можно найти в ранее цитированной работе Я.М. Серебрийского, — будем считать, что рял (!10) уже составлсн и коэффгщиепты его а„, Ь„ опредетсны.
Обратимся к установлению приближенных формул конформйого отображения области вне „почти-круга" К* в плоскости комплексного переменного ь нз область вне круга Е в плоскости м. Введем обозначения; с =-- Реь, м = ),ае'э, (111) где р, т являются полярными координатами точек плоскости ", а величины Ла и б соответственно полярными координатами точек плоскости ы! з последнем случае радиус-вектор выражен как произведение радиуса круга а на переменный коэффшшент Л, причем окружности Е соответствует значение Л = 1. Следуя Я. М. Серебрийскому. будем искать функцию, отображающую внешнюю по отношению к „почти-кругу К* часть плоскости ".
на внешнюю по отношению к кругу Е часть плоскости м, в виде ОЗ С = м елр ~~~ Ся <о-», (П2) э где при я) 0 коэффициенты С„являются колшлексными величинами, а Сэ представляет действительную величину. Тогда, согласно (111), найдем !и !гИ = йт!г Р ')+ ! (ч — б) ья " С„а— (112') или, полагая Сяа —" =а„+ !Ья, Сэ= аэ, (112Я) и сравнивая в (112') действительные и мйимые части, будем иметь: СО 1и ! Р ) = аз+ (а„соэ яз+ ь„з1п яб) Л, ~Ля/ я»1  — е ~~.
(а„э!и пз — Ь„соэ пй) Л я ! Кзк уже ранее указывалось, при достаточно тщательном расположении преобразуемого крылового контура К относительно точек К и К' и удачном 9 48) овтнклнин пноизволш!ого кгылоного г!говиля 313 Это равенство полностью совпадает с ранее установленным разложением (110). Таким образом, искомые коэффициенты ап и Ьп, входящие в преобразование (112) через комплексные коэффициентй С„, оказываются уже известными. После этого не трудно по (112") вычислить комплексные коэффициенты С, тем самым полностью определить основное преобразование П12) и решить поставленную задачу.
Опыт многочисленных расчетов показал, что для употребительных на практике крыловых профилей изложенное первое приближение оказывается вполне достаточным. Совокупность равенств (100) н (112] дзет преобразование части плоскости л вне крылоного контура К на внешнюю по отношению к окружности круга Е часть плоскости ш, т. е. как раз то основное конформиое преобразование (74), о котором говорилось в 8 42 (всномнить рис. 85). Желая найти распределение скоростей по поверхности крылоного профиля К или вне его, используем комплексный потенниал у(ш) обтекания кругового контура Е с наложенной на него циркуляцией. Будем иметь "Е 8У. )г(а) = — = — ° — ° — ' Из иш !(Е Ил Величину наложенной циркуляции определим, пользуясь постулатом Чаплыгина о плавном обтекании задней кромки крыла, представленным формулой (80). Заметим, что последние два сомножителя в только что составленном выражении комплексной скорости имеют чисто геометрический характер и ие зависят от кииематнческих условий обтекания — скорости и угла атаки.
Это делает простым пересчет распределений скоростей с одного угла атаки ((ш г(Е на другой, еслн комплексные величины — и — ' для заданной формы кры- Н". с(я лового профиля уже определены. Расчет поля скоростей вокруг профиля представляет особые вычислительные трудности, удачно обойденные Я.М. СеРебрийским путем применения специальных приемов. В методе С. Г. Йужина промежуточное отображение на „почти-нруг отсутствует и решение задачи сводится к непосредственному отображению области, внешней по отношению к крыловому контуру К, на область вне круга Е (см. рис.
9?). Лля этого между физической плоскостью течения я и вспомогательной "эоскостью ш устанавливается соответствие в форме ряда Лорана ьс ж, спа» + шп й! (1! 3) с !шнэвсстнымн комнлекснымн коэффициентами гг! = Рс+ ! "и подборе угла т, а следовательно, и э, контур ,почти-круга" Кс будет мало отличаться от контура круга Е, соответствующие точки будут близки друг к другу н.
как показал Я М. Серебрийский, можно с лостаточной для практики точностью пренебречь в первом приближении разницей между полярнымн углами с и З соответствующих точек в плоскостях 1 и ш, При желании метод позволяет получить следующие приближения, учитывающие разницу между углами с н 0. Замечая, что для точек, лежащих на контурах К* и Е, будет: х = 1, р„(с), перепишем в принятом приближении (Ь = с) первое равенство предыдущей системы в виде !и — = а„+ ~л (а„соэ нс -(- Ь„щп лс). Ра (с) а п 1 ПЛОСКОЕ ВЕЗВИХРЕНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ Ггл. ч З)4 Полагая в (113) м = аен н выделяя в нем действительную и мнимую части, получим систему двух действительных равенств: х(О) = р„+асов О -1- ~~~ (росоз п0+ гьэгп п0), и=! -,-" .й!,.ч.
-„;» ( л=! (НЗ) 1 Г х, (В) = — ~х (О) + х (2л — О)1 = рэ+ 2а соэ Π— ~~~~ Ва соэ пз, э ! х (О) = — ~х(0) — х(2л — 0)~ = ~„Аээ!и а'!, ! Г э ! (114) Ут(0) .= 2 ~У(О)+У (2г: — О) = Аэ-! ~~ Аасы нО, 1 Г и =.! ! Г Э Уэ (0) 2 ~У (О) — У (2г — О) ~ = Р Влэ!ало, л=-! Входящие сюда навис коэффициенты Фурье: Аи — э„, Вл —— — !ьо, В! = а — р! (114'! могут быть определены по обычным формулам л л Аэ= — ~ У,(О) с!О, Ао = — ~ Ут(0) соя пВИО 1 /' 2 о о (115 2 Р В„= — ~ ут (О) э!п пВ аа Неизвестные коэффициенты Ао, В„определяются следующим процессом последовательных приближений. За нулевое приближение принимается: х!з)= — соя 0, у(о)=-0, А!о)= В(Л=- Р)=0, а = что соответствует отображению на нруг пчастинки.
Затем, задаваясь последовательными значениями В и соответствующими значениями х!'э, определяют по чертежукрылового профилв величины ординату!!) (01,а также у!г)(В) иуэ!О (0) проведенных через выбранные абсциссы. Пользуясь интегральными выражениями коэффициентов Фурье (! 15), по найденным значениям у!!г! ГВ) н у!Ог! (О) представляющих параметрическое уравнение крылоного контура, выраженное через параметр 0 — угол в плоскости и между радиусами-векторами точек на круге й, соответствующих точкаи иа контуре К, и действительной осью. Разобьем коордннаты х(0) и у(0) иа полусуммы и полуразности их значений на круге 5 в точках с угловыми координатами 0 и 2л — О, поло!низ х(О) = - (О) — , 'х,(0) у(О)=у (0)+тт(О); 48! овтв«апик произвольного кгылового пгофиля 815 определяют новые значения коэффициентов Ао, А» и В„ в первом прибли- П) гй (Ц »<енин.
Эти значения коэффициентов позволяю~ найти новые функции х!В(0), сэц(0). а это в свою очеред~ по предыдущему приведет к уточненным значениям ординат и т. д. Не останавливаясь на весьма интересных деталях метода С. Г. Нужина, облегчающих проведение выкладок и делающих их наглядными, заметим, что автору метода удалось провести доказательство сходижости процесса последовательных приближений, что выгодно характеризует метод с теоретической стороны.
Можно заметить, что наибольшие вычислительные трудности в обоих только что рассмотренных методах связаны с необходимостью определения коэффициентов ряда Фурье, выражающего логарифм отнокгения радиуса-вектора точек „почти-круга' к радиусу круга через угол в промежуточной плоскости в методе Серебрийского, или координаты крылового профиля в физической плоскости в функции от полярного угла в вспомогательной плоскости в методе Нужина. В первом нз указанных методов для этой цели с успехом используется способ, горок", во втором приходится непосредственно вычислять квадратуры (115). В методе Л. А. Симонова основную роль играет преобразование внешней по о~ношению к контуру крыла К части плоскости л на часть плоскости и вне кругз А, аналогичное (1!3), с той лишь разницей, что прн м в первой степени сохраняется комплексный коэффициент.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
