Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Рассмотрим обтекание дужки К, опирающейся своими концами на отрезок АВ длины 2с оси Ох, потоком со скоростью Ъ', образующей 'с.,рр ', р , р р ° ..ррррр стР. 94-'96." 302 плоскОГ ББЗВихгеВОЕ !твяя!ение жядкОГти )гл. у с осью Ом угол й . Сравним поставленную зада!у с р;нее разрешенной в ф 40 з:да !ей ОО аналогичном о,1т *канин пластинки АВ (рис. 92). При!ем и в том и и другом сгу.же будем предполагать, что задняя кромка В с оордишго,! а . с обгекается Оезотрывно.
В случае пластинки, согласно форму,е (60'), тако!.О рода обтекание будет происходить с сопря1кенноя скорост1,! 'г —. Г = П „--- !Пьч 1/ причел! на самой пластинке (у ==- О, — ! х - --'- с) сопряисенная скорость будет иметь проекции: Г(-- п == и,, о„. $г —. и ==-. !!, Л' где верхний з!юк о!носн!ся ! верхнен поверхносги ю.гстннкн, а нижний — к нижней.
Разоб1,ем, как у:ке это де:ю: Ош, рпнее, Вектор скорости М на вектор ссорости пг!Осьо!П11И!Плс. 1,кого ного: а Ч„п нек!Ор скорости Возму!ценна тг . Тогча в слу !Пе нбте'шпш нлзстгпп,н Оудеч имет!и П === П вЂ” -П () 01) или, вводя угол !! м,,клу Р;ца!ель;нк! к дужк и Ось!о и, — 1 „„== —. (и . 'ок1п. и! -- о, соз ~п, у)! - и з1п !! -' О, сОВ !!) = и,, Е1Е !! — О - сое О. БУДЕМ НРЕДПОЛЕГП!Ь, Ч.!О 1тОЛ '! ГДОЛ, ВСЕН ДУЖКИ ВЕСЬМП Мал, так что е1п 6 =.—. 10 !! =-= Г (и).
СОЕ 0 = !; кроме того, в силу малости ордншп дужки, Оудем с!нгать граничное условие )г„=0 выпош!енным не !ш дужке, а на хорде АВ. Тогда предыдущее выра!кение нормзльной к дужке компоненты скорости приведется к следую!цену граничному услови!о: — с.=-х=-+с, у=0, эв =-= и Г'(и) — о, (102) Р;1сс\!Вт)1няая ОО!с!жни! л 1!!к! !т, 'Пьян! у!вснк:дат!И чтО проекция Р'я полной скорости Ч ! з норм 1, ь л)я.ке дол1кпа бып, равна нулю Вдо:и л1жки, '1;!к .';". 1,11ж !л я1, «.1ся лн нк ! Ока; !аким 06~1азоа1, получим 0= — Р и+1;,.
ег 4ь1 злдл'!л Ов овтгкзнии ольго изогиу!Ой ду ккн 303 Таким ооразом, зада и! об обтекзпии слабо изогнутой дужки приводится к зада !е разыскзння возмущенной скорости зЕ'. по грани шому условию (102) для проекции ее на ос!, Оу я к о!евидному услови!о 11« -+ 0 при х -! со и у -+ го илк, в комплексном виде, к рзкысьапи!о гололгорфной, исчеза!с!цси на бесконечное!ии фуннг1ии (гг(г й ,книлшн чанль которой на отрезке дезен!лин!еггьной оси ( — с-=- л - !с) удоел! тзорнеп! заданному услоеи!о м. я.
)Ее = о — и „Р'(х), (103) н.ш, !го нсе равно, условию (102). Условия (101) пз пластинке соогвстстиу!о! пзшшию оз отрезке г(В еихрееого слоя с интенсивносгью Я 301 ; (.«) — и (х)-- и, 1'.«1= — 2«!,, ~/ — ', !- х нрпп М! Ио ОО!Ов!Июу свой«! в«пихргв и' ! сг!оя; (х) и («) 'в (х) ' о 1«1 —" ! (х! ;!зда ш об обтекшши д! >ккн К !нкн!е гся ш!общепи, м,шл.«п об об!,ко!ип пляс!инка ЛВ. Ь с!унес об!скг!шг! лужки можно предо! .,!!, с бе з огре,кс .111 впош, и, кагоры! шс резон слои, но уж! с н.а!засел!!!ой иня!нгсиенасн!гча '1 1 ! 1 и и !<о!хг!! нип сос Г '.нгпнонв й ш! '!,к ги, зздзппо!! рзвенсгшгя 11021, !рсврюп, ь !нзмся во второе ргщ ю!го (!01) при Е (г) =-.
'!. "гс«штривзя ог1 мж 200 ко. сг! р и ш ...,, "!!л«з! имш!, к н. и н г,ы чае плес паки, сг!«ду!они!с соотп ппсн!ж ме кду кзсател!,ными и ш>рмзльным! к!шпонсншми скорости во туп:ш!ия жидкосги шгхрсвым слш з! сверху и снизу слоя: и,(.«) = — - и (х), о (х) =-= с! (х) ==о (х). 1104) !! !шстошпее вреьш суп!сствус! пес!;л!,ко методов решешш постаял! пшш залечи. Ейожно бьшо оы сост: он!к общее выражение сопряжсншщ скорости потока, нпдунировзшкзн вихревым слоем негшвестной иптг! «явности Т(«); +е — ! ( т(х') ггх! 2к! .1 г — х' 'опсршнв предегп шш' пер!ход з х г, некоторую тош у Я (х) сгк!я, написать условие рзненс газ яниной «:сти этого предельного зн!ше ия скорости заданной функция юг(х), согласно (102).
Тзкой путь решения з:!д:шн привел оы к необходимости решать относительно неизвестной интенсивности 3(х) сингулярное интегральное 304 плоское вззвихяквов движгния жидкости [гл. ч уравнение первого рода че — —,с1х = и Е (х) — о ! 1(х1 2я .[ х — х' — е Уравнение зто будет иметь единственное решение, если потребовать дополнительно, чтобы Т(с) = О, т.
е. чтобы задняя кромка пластинки была бы точкой плавного схода струи с конечной скоростью. Решение указанного сингулярного уравнения может быть представлено несобственным интегралом типа Коши от правой части уравнения. Имея в виду, что после разыскания функции Т(х) необходимо производить еще дополнительные и довольно сложные расчеты скорости, естественно обратиться к методам, позволяющим непосредственно находить скорость движения (интенсивность вихревого слоя может быть после этого при желании легко найдена как разность касательных скоростей на нижней и верхней границах слоя).
Такой метод решения рассматриваемой задачи был разработан Л. И. Седовым.' Представим искомую сопряженную скорость возмуп!енного движения как произведение !" = 1/ — '.,', Ле), (1Об) где у(г) — ограниченная голоморфная вне отрезка АВ и исчезающая на бесконечности функция; при таком выборе вида функции Г" будут выполняться условияЮе (с) = О, Ъ'(с) = и безотрыеноао обтекания задней кромки (л = с). На передней кромке (е = — с) скорость в общем случае обращается в бесконечность. По известной формуле Коши будем иметь следующее интегральное представление функции г (з) через ее значения на контуре: у(е) = —,, ' — „' г, 8 у(й! (1 06) где ь — контур выреза АВ с двумя бесконечно малыми кружками, выделяющими точки разветвления А и В подинтегральной функции У~) = ~/ —,'+; ~"з(0), причем в верхней части разреза АВ у корня следует брать знак плюс и считать Р(г) = 1/ ~ [а+ (Е) — !о~ (5)) = — 11/ — ь [и+ (с) — !о' ($)1, т См.
Л. И. Седов, Теория плоских движений идеальной жидкости. Оборонгяз, !939, стр. 37 — 40; подробный анализ решения Л. И. Седова при- веден также а курсе К н бель. Кочня и Розе, Теоретическая гидро- механика, ч. 1, Гостекяздат, 1948, стр. 288 — 298. 8 47! зздза ов оптзкьнни шыво нзогнятой дтжкн 305 на нижней половине разреза У(".) = — 1à —. [й (1) — юо' (ч)! = 1~/ — ''1и" ($) т' г1)!. тогда, согласно (104), (106) и граничному условию (102), сможем приассгн равенство 1105) к виду: +с Р'1) = — —,. )Уг —,, ~ ", "~~ —,„11, 1107) представляющему искомое выражение возмущенной сопряженной скорости. Возвращаясь к полной скорости 1г и замечая, что в силу малости угла 6 можно ноложитгн и =!Ъ' !, о =!1г„! О., окончательно получим: 1108) Имея общее выражение сопряженной скорости, можно вычислить главный вектор и главный момент снл давления потока на дужку.
Лля этого следует лишь произвести разложения в ряд по отрицательным степеням выражений: 1 1 ~ 11 1!з) и, подставив их в 1108), сравнить результат подстановки с разложением сопряженяой скорости (91) 9 44. Таким образом, найдем значения основных коэффициентов разложения: по= И, +ч пг==,~ ) )Р ('ч) — 0 ! тг г — с а = — —. ~ 1Р 11) — 8, !)гс — ('й, !! ! 1,:я 20 зак.
~згь л. г. лозаннские. плОскОе везвихгевое движение жидкости (гл. и а следовательно, н общие вырюкения главного вектора и главного момента Ь'.= — 2лрс~ У ! 0 -'- 2с~У„,! 0 ~ В (с)У вЂ”;дь., +о й, =2ярс~ У ~ЯΠ— 2р) У !а ~ Г'(!)1/ — '-'.-дс', — с -ьс Ц= — ярса~ У )Я0 +2р) У. )а ~ Р'('.) 1/са — ('ад(. — о (1 09) В случае пластинки В'(0) =О, и равенства (109) приводят к известным уже формулам (с точностью до 0 в первой степени): Д =О, Рв=2ярс) У ~Я0, /. = — арса~ У ~зй.„.
Замечая, что, согласно основным допущениям теории тонкой дужки, в общем случае функпия Г(о) представляет малую величину того же порядка„что и О, видим, по Й является величиной второго порядка малости. При заданной форме дужки у=В(х) величины сев и /о могут быть вычислены по (109); прн этом удобно пользоваться заменой переменной: ! = — ссозе, О =--.
а - -.. -„ / с —,-" У' ,' — „= !о— сасс 2 хз) где 0 — стрелка прогиба, будем иметь: сгь — — 2прс ~ У 1е(0 + — ), Е.о — — — арса! У !Я0 Как видно из этих формул, в принятом приближении относительо лая воанутосспь/= — увеличивает подъемную силу, но не влияет 2с на момент оспносипсельно начала координат О, расположенного на середине отрезка АВ. Найдем положение фокуса О'; для этого вспомним, что Ео — -~о,+хйа, Заметим, что интегральные члены в правых частях вь!ражений (109) для 1са и Ц определяют влияние вою!угости лужки. Так, например, для дужки парпболы 807 8 47~ зюгачь оя оятгкьнни Слава нзогнгтой Лтяссссс ожсуда В, =-Ге — х)7 = — крез! Р )Я81 — х ° 2ярс( Ъ' ~з(8 -1- — ). Приравнивая нулю часть ьшмента, зависяшую от угла атаки, получим, как и ранее для пластинки: с х,,= —, 1 момент относительно фокуса будет равен Е,,=яр(1' (~8 =щ~~ Ъ' ~~Р—.
Выражения 77 и 7., для параболической дужки ничем не отлив о' чшотся от аналогичных формул для слабо изогнутой дужки круга. Это и не удивительно, так как с выбранной степенью точности уравнение дузкки круга совпадаесп с уравнением параболической дужксс. Чтобы в этом убелиться, перепишем уравнение дуги круга (8 46) хя+ (у+ с с!д 23)я = ся сзся 2р в виде: у — -- )'сзсзсз23 — хй — сс1 2,'=ссзс2~~1 — (--) з1пг23~ — ссг 23=- = — с сзс 28 — с с1и 2~ — — ( — ) с гйи 28 -';-... ='- Ъ 2(,с) =' с ° 18 ~ — ( — ) с я1в р соя р =' 8 11 — Я . Согласно формуле для Йв, направление бесциркуляционного обтекания (О =. — — 1 совпадает с направлением прямой, проведенной сг через вершину дужки и заднюю кромку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
