Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Б самом деле, углу я в то~хе Р' соответствует угол 21г в точке Р, в чем легко убедитьой нерепиаявзя преобразование 198) в форчс (99) и производя срзвнение аргументов левой и правой частей для з и '., мяло отличающихся от -":.с [см. (79) 9 42). Показатель степени в пр вой ~асти 199) приводит к удвоению углов, имеющих вершины в особых точках. В то нгзх А; и А', как видно из рис. 94, конформность пе нзрушзется. г!сновная идея построения теоретических профилей Жуковского— Чаплыгина заключается в следующем. Возьмем в плоскости ч круг К*, '1ентр которого несколько смещен влево так, чтобы круг Кв соприкзсался с кругами С и С, в точках нз оси О;.
В силу непрерывности вреобрззовзния легко сообразить, что кругу К» в плоскости г, расволежеппоыу з кольце между кругами С и С~, будет соответствовать пеко1орый ззмкнутый контур К в плоскости з, расположенный в отвести между эллипсом С, и отрезком РР'. При этом в точке Р конгур К будет имегь острую кромку с нулевым внутренним углом впенппим углом, р шнь я 2я. Симметричный контур К с задней острой кромкой, известный нод нззванием „руля Жуковского", имеет Обтскзсмую форму п предсщвляет первый пример крыловых профилей ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОВ ДВИ>КЕПИГ жИДКОСтИ [ГЛ. ч! Жуковского — Чаплыгина.
Проводя другие окружности со смецгенными относительно начала координат О" центрами, причем такие, чтобы Рвс. 98!. всегда по крайней мере одна нх точка совпала.!а с особой точкой ГВ, получим всевозможные профили Жуковского †Чаплыги. Вместо (98) и (99) иногда рассыатрива!От преобразования: Г! з= + —, (98!) с- -2с / -- с,! гс с -!- 2с ~, ". + ! !! ' (99') 9 46) члстныв сля>ли конеоимного отовилжвння 297 б, — ге!» и, согласно (98), е = — (:+ — />= — (ге!»+ — е-!»). 1 ' сэ ч 1 / . сэ 2, б) 2».
Сравнивая в этом равенстве действителы>ые и мнимые части, полу >им: 1/, с>1 1/ еэ' х- — —,1г-- — созч у — — г — )з>п . 2» ' г/ ' 2(, Исключая из этих двух равенств г, найдем, >то хяяпэч — уясозэч =сяяпэчсозз ч. Г другой стороны, соединив точку М с центром /ч>» круга К, радиусом а„, получим МэМ = ОеМ -',- О*Хо — 2ОеМ ° ОаМозш илв, как видно из чертежа (р — угол между линией центров Л>з, г>! смещенных окружностей и осьи> О*В), — =гз+ев18вр- — 2сг1~~з1п ч, соээ Р о!куда следует 2у гэ — с' — = 2с 1!» р э!п э1ич г соззч = 1 — —.
У с ° 1я 8 Б>печ = —, у с !а8' ' Ем. К и бел ьч К о ч и и и Ровс, Курс теоретической гилримехзииии, '. 1, 1948, сгр. 278 — 288; „Лэролииэмика", пол ред. Л>о р э ила, т. 1!. ОбиРоягиэ, !933, стр. 92. отличающиеся от предыдущих масштабным коэффициентом ',„так, преобразования (98') и (99') переводят основной круг Ся в отрезок на оси Ох, з дза раза больший чем диаметр круга.
Не вдаваясь в детали геометрического построения профилей Жуковского — Чаплыгина, ' приводим на рис. 95 различные типы профилей. Если центр круга К,* находится з точке Л/> оси Ос, то в плоскости х получим „руль Жуковского" К, (показанный на рисунке пунктиром). Круг С* переходит в отрезок гг"' (круг С"' и отрезок Гг"' показаны пунктиром), служащий „скелетом' руля Жуковского в том смысле, что при уменьшении относительной толщины руля контур его К, будет стягиваться к отрезку )ег'.
Поместив центр круга К, в точку Мэ на оси Огь получим в плоскости з круговую лужку Кэ, опирающуюся в концы отрезка гГ', В самом деле, соединяя точку М окружности Кэ отрезком О'И == г с началом координат Оя н обозначая полярный угол через ч, будем иметь: 298 !гл. т плоское ввзвихвевое движение жидкости 11одсгавгн|я эти величины в равенство !е), после нростых приведений получим ураянение круга: ха+(у+с с!н2'")я = с'-' сзсе23, с иск>рок> в точке (О, — с с!е 23) и ради>сом ссвс29, по н доказываег ранее сделанное утверждение.
Полагая в уравнении круга х .. !>, >падем стрелку нрогнба Ь дужки (рнс. 95, снизу): О ~ ношение с>редки нро! иба 8 к хорд РР' = 2« определяет «огну>лоси>ь дужки !'.=-= —,'- =-- —, Ве !о ! 2« 2 и«н, нри малых !>, ./' — — Г 1 2 Наконсд, круг К': с дснтром в .лобок >очке Лг плоское>и ", нро: одян>ий через особую точку Г:". переходит в изогнутый профиль Жуковского — ь!аплыгина К. Лужки Кв с«у>кит «мгла>ио.н для профиля К, так яке как отрезок Гг>' — для руля Ко Вогнутость дужки Ка представляет вместе с тем и весну«ость профиля К.
Если, сохраняя вогнутостж профиля К, )мен>лоать его то>никну, то профи: ь будет с~ягивагься и своему „скеле~!." — дужке К«. Рассмогрим теперь зад«чу об ос>гекании нрофиггя К но>оком со скорое.гьв> !г,„, направленной нод углом и., к оси Ох.
Проведем во вспомоппельиой члоскосгн ' оси МУ и Лт!' с началом в нснтре смегденного круга Л'. 1!лоскость;омнлексного переменного " .=- Г+ гт!' повернута относительно плоскости Г. па угол — !", так по, положив Таким ооразом, получим: гт с"- (с — а« 'а! + гаг .-Ы ! ! са >, > 2 с' 2 откуда, сравнивая с !94), найдем: 1 ! л>, =- —, н>в:= — (с — ае !. >л! га «ь, = -- — са (с — ас !. 2 . — — ся, ! 2'' приходим к соответствию между плоскостями г. и,"а с параллельными осями координат: -=с — аа ьч йй! юспгые кочки кончин много о~па, мкюгия (:огласно (йО), будем иметь (ее= — р): Г = — 2па ) (г,, ) з!и (р+'! ), следовательно, подоенная снлз будег равна; ) (т(:.--о~ !г ( (Г! — --2пйа ( Ь'„!Яв!п(~+ !! ).
1!вправление бесцг!ркуляцнонного обтекания найдем, положив ~ К , '=- О; бУдем иметь (б )чч —.- -- Р. Коэффициент подъемной силы можно полу |иль если задаться кя ны-нибудь характерным размером крыла, через который выразнляс1 бы величина а. Так, еглн обозначить расстояние М„М через Л, чо легко найти: с (а — Л) сов," =- с, а = — ': -- Л; сов,а '! н Л обычно очень малые величины: первая характеризует вогнуьиогтнь профиля К и ~ роьто связана со стрелой прогиба дужки Ке, вторая зависит ог вводи!аны про.Ьилп. 1!римем условно за хорду профиля К отрезок гтгт' длиной 2с, сгя.явакмций скелет профиля К.
Тогда для коэффициента подьемноя силы полу гнм яыргикспие: о(Г ' 2г илп, приьгиыая,~. — и угол агаки й. малинн, буснгч нметж с сч = 2я Д+ 0„)', 1рн,""=-О, А=О пол1чим известный уже результат для пластинки. Фокус слабо изогнутого тонкого крыла расположен в непосред- сзвенпоЙ близости фокуса пластинки. т. е. на четверти длины РР' от точки Г'. действительно, по (97) при малых ~9 и Ь: 1;, 1 се '- = — (с — аг — "1 — — — е'З= 2 ' ' 2 а а ! 2- (с — (с+ Ь)(соь !т — ! ьйп р)) — — (с — Л) !соя'» —, 1 я!и !т) =— = — [с — (с -~- й) (1 — ф)! — -; — (с — й) ! 1 + ф ! =- 1 ! 2 — с-1- яел. 2-го пор, т!алости.
1 2 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДЗИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (гл. и Независящий от угла атаки постоянный момент 1.о относительно фокуса О' равен по (96'): у о, == — 2СР т„~ 1' 1з д. ч. 1т,е — -'" = 1 е 1 з 2 = — 2пе — ~ 1е 1е ° — сад. ч. 1еаю= = — пр ° ~ 1Т 1гсзз1па2Р =БР~ 1г 1асар, 1 а коэффициент момента относительно фокуса— ьо и 1 ( 1е ~ а(2с)а (1ОО) Вьшсним геометрический смысл параметра т. Вблизи точек г =- ас положим: ч= с+ре'*', ~= — с и г = ее+ ге'; тогда с точностью до малых высших порядков получим откуда следует: з = — ее (2 — — ") . Углу е" =-г к точке ".
=.- с соответствует угол г = 2К вЂ” -. кблизн г =а пс. Отаода вытекает, по круг, проходящий в плоскостк ~ через У сим,иетричного профиля (руля Жуковского) Р=О, и фокус является постоянным центром давления. Результат этот позволяет пользоваться симметричным профилем как удобной формой для рулей. При этом ось вращения руля проводят через постоянный центр давления О', что дает сравнительно малые вращательные моменты. Преобразование (99) или (99') приводит всегда, как было показано, к крыловым профилям с нулевым углом на зааней кромке. Такая кромка недостаточно прочна и при фактическом выполнении профилей приходится несколько утолщать кромки.
Чтобы избежать этого недостатка, можно пользоваться обобщенными профилями,Жуковского — Чаплыгина, соответствующими обобщеннолу преобразованию (при и= 2 это преобразование сводится к обычному преобразованию Жуковского — Чаплыгина (99')): 9 47) ЗАдАчА ОБ ОБтвкАнии слАБО ЙВОГнутОЙ дужки ЗО1 то 1ку ч = с, преобразуется в плоскости е в профиль с углом на задней кромке, равным т. 11ример такого профиля показан ца рис.
96. ь1е останавливаясь на выводе, ' заметим, что наклон кривой ее(а) У' Рис. 96. у обобщенных профилей несколько больше, чем у обычных профилей Жуковского — Чаплыгина, т. е. 2я, а именно Отношение моментов относительно фокуса для обобщенного профи.ш и обычного равно 1 — —. Зв ф 47. Задача об обтекании слабо изогнутой дужки произвольной формы (теория тонкого крыла) ~1ля оценочных расчетов крыловых профилей авиационного типа, имеющих, как правило, сравнительно малую относительную толщину в вогнутость, допустимо заменять эти профили дужкой, уравнение которой у = 1-"(х) яо'кно, например, получить, строя полусумму ординат у,=Г,(х) и уе — — !' (х) верхней и нилсней поверхностей заданного крылоного профиля 1 1 .1 2(у' уе) 2( т( )+ Задача об обтекании дужки малой вогнутости потоком, набегающим на дужку под небольшим углом атаки„может быть сравнительно легко разрешена для л|обои заданной формы дужки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
